安徽省芜湖市中华艺术学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份安徽省芜湖市中华艺术学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．使角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则225°是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
2．已知tanα＝2，＝（ ）
A．B．C．D．
3．已知sin（α﹣）＝，则cs（+α）的值等于（ ）
A．B．C．D．
4．在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
5．已知函数图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）关于点对称
C．f（x）在上单调递增
D．若f（x）在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为
二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）6．下列命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD是平行四边形
（多选）7．下列正确的是（ ）
A．sin158°cs48°+cs22°sin48°＝1
B．sin20°cs110°+cs160°sin70°＝1
C．
D．
（多选）8．已知函数的部分图象如图所示，把函数f（x）倍，得到函数y＝g（x）的图象，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．g（x）的图象关于直线对称
D．g（x）在区间上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分.
9．函数y＝tan（2x﹣）的定义域为 ．
10．已知α，β为三角形的两个内角，csα＝（α+β）＝，则β＝ ．
11．已知关于x的方程在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
12．（10分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣8，m），且．
（1）求m的值；
（2）求的值．
13．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调区间．
14．（12分）已知函数在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变），再向左平移个单位（x）的图象，若，求函数y＝g（x）
15．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），则y与时间t（单位：min）之间的关系为y＝Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）．
（Ⅰ）求A，ω，φ，b的值；
（Ⅱ）盛水筒出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
安徽省芜湖市中华艺术学校2022-2023学年高一下学期期中数学试卷
参考答案
一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．使角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则225°是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【分析】利用第三象限角的范围即可做出判断．
【解答】解：因为第三象限角的范围为{α|180°+360°k＜α＜270°+360°k，k∈Z}，
若α＝225°，则k＝0，
所以225°是第三象限角．
故选：C．
【点评】本题主要考查了象限角的判断，属于基础题．
2．已知tanα＝2，＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．
【解答】解：∵tanα＝2，＝＝＝﹣，
故选：A．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
3．已知sin（α﹣）＝，则cs（+α）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】运用诱导公式即可化简求值．
【解答】解：∵sin（α﹣）＝，
∴cs（+α）＝sin[+α）]＝sin（）＝﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
4．在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
【分析】根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
【解答】解：在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为．
故选：B．
【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题．
5．已知函数图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）关于点对称
C．f（x）在上单调递增
D．若f（x）在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为
【分析】利用三角函数图象的对称性及诱导公式求得f（x）的解析式，再结合三角函数的性质对选项逐一判断即可．
【解答】解：因为图象恰好关于y轴对称，即，
所以，解得ω＝4k﹣4，
又因为0＜ω＜π，所以k＝5，，
选项A：f（x）的最小正周期为，正确；
选项B：由可得，错误；
选项C：当时，，
所以由余弦函数的图象可得f（x）＝5cs2x在单调递增，在，错误；
选项D：当时，，
若f（x）在区间上存在最大值，解得a＞0，
即实数a的取值范围为（2，+∞）．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）6．下列命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD是平行四边形
【分析】根据已知条件，结合相反向量、单位向量，向量相等的定义，即可依次判断．
【解答】解：方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；
单位向量方向可以不同，故B错误；
向量可以平移，即使两个向量相同、终点可以不同；
若A，B，C，D是不共线的四点，且，
则AB∥DC，，
故四边形ABCD是平行四边形，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查相反向量、单位向量，向量相等的定义，属于基础题．
（多选）7．下列正确的是（ ）
A．sin158°cs48°+cs22°sin48°＝1
B．sin20°cs110°+cs160°sin70°＝1
C．
D．
【分析】利用诱导公式结合两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系逐项计算，可得合适的选项．
【解答】解：对于A选项，sin158°cs48°+cs22°sin48°＝sin（180°﹣22°）cs48°+cs22°sin48°＝sin22°cs48°+cs22°sin48°＝sin（22°+48°）＝sin70°≠1；
对于B选项，sin20°cs110°+cs160°sin70°＝sin20°cs（90°+20°）+cs（180°﹣20°）sin（90°﹣20°）＝﹣sin220°﹣cs820°＝﹣1，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对．
故选：CD．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）8．已知函数的部分图象如图所示，把函数f（x）倍，得到函数y＝g（x）的图象，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．g（x）的图象关于直线对称
D．g（x）在区间上单调递减
【分析】由顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ，由五点作图求出ω，可得f（x）的解析式，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：根据函数的部分图象，
可得A＝2，2sin（6+φ）＝﹣1，
所以φ＝﹣，故A正确；
结合五点法作图，可得ω×﹣，所以ω＝，
所以f（x）＝2sin（x﹣）．
把函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数g（x）＝6sin（2x﹣，
则g（x+）＝2sin[3（x+]＝2sin（2x﹣））不是偶函数；
由于g（）＝2sin（2×﹣＝2，故g（x）的图象关系直线x＝，故C正确；
由x∈，可得2x﹣，），而正弦函数y＝sinx在（，，
所以g（x）在区间上单调递减．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ，由五点作图求出ω，还考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分.
9．函数y＝tan（2x﹣）的定义域为 ．
【分析】根据正切函数的定义域，解，k∈Z，即可得出原函数的定义域．
【解答】解：解得，，k∈Z，
∴原函数的定义域为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，正切函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．
10．已知α，β为三角形的两个内角，csα＝（α+β）＝，则β＝ ．
【分析】由已知数据可得sinα和cs（α+β）的值，而sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝csαsin（α+β）﹣sinαcs（α+β），代值计算可得．
【解答】解：∵α，β为三角形的两个内角，
∴sin＝，
∵sin（α+β）＝，cs（α+β）＝，
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）csα﹣cs（α+β）sinα＝×﹣（±＝或﹣，
∴β＝或．
由csα＝＜cs＝，故β＝．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系，属中档题．
11．已知关于x的方程在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是 （﹣1，2） ．
【分析】由题意可得，m＝2sin（2x+）在上有两个不同的实数根，作出函数y＝2sin（2x+）在上的图象，结合图象即可求解．
【解答】解；因为关于x的方程在，
即m＝4sin（2x+）在，
结合函数图象可知，﹣1＜m＜2．
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题主要考查了由函数零点个数求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
12．（10分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣8，m），且．
（1）求m的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据三角函数定义可直接构造方程求得m；
（2）根据三角函数定义可得tanα，利用诱导公式化简所求式子，代入tanα的值即可求得结果．
【解答】解：（1）∵sinα＜0，
∴m＜0，
又，解得：m＝﹣6．
（2）由（1）得：，
∴．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，考查转化能力，属于基础题．
13．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调区间．
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）利用整体代换的方法，分别计算，，k∈Z，求解可得答案．
【解答】（1）解：＝＝＝＝，
所以函数f（x）的最小正周期．
（2）令，解得，
∴f（x）的单调递增区间为；
令，解得，
∴f（x）的单调递减区间为．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，还考查了正弦函数的单调性的应用，属于中档题．
14．（12分）已知函数在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变），再向左平移个单位（x）的图象，若，求函数y＝g（x）
【分析】（1）根据函数图象可得A＝2，得B＝1，由图象和公式求得，由求得，即可求解；
（2）根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，利用正弦函数的单调性即可求出函数g（x）的值域．
【解答】解：（1）根据函数图象可得2A＝3﹣（﹣6）＝4，∴A＝2，∴B＝4，
，得，∴，
又∵，∴，
∴，∴，k∈Z，得，
又∵，∴，∴；
（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变）得到，
再向下平移一个单位得到，
再向左平移个单位得到，∴，
当时，，
又函数y＝sinx在上单调递增，在，
∴，∴，即g（x）值域为．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），则y与时间t（单位：min）之间的关系为y＝Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）．
（Ⅰ）求A，ω，φ，b的值；
（Ⅱ）盛水筒出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
【分析】（Ⅰ）由题知T利用周期公式可求ω的值，数形结合可求A，b，进而可求φ的值．
（Ⅱ）方法一、直接由周期求解；方法二、求出函数解析式，由函数最值为1，可得πt﹣＝+2kπ，即t＝+2k，k∈Z，取k＝0得答案；
【解答】解：（Ⅰ）由题知T＝2＝，得ω＝π，
由题意知A＝6，b＝．
（Ⅱ）方法一：∵盛水筒出水后到最高点至少经历个圆周，
∴t＝T＝．
方法二：由f（t）＝3sin（πt﹣）+＝）＝1，
所以πt﹣＝+2kπ+2k，
当k＝3时，盛水筒出水后第一次到达最高点min．
【点评】本题考查三角函数模型的选择及应用，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．