2022-2023学年广东省深圳中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳中学高一（下）期中数学试卷，共42页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）已知复数，则的虚部为
A．5B．C．2D．
2．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）下列结论中，正确的是
A．零向量只有大小，没有方向
B．若，，则
C．对任一向量，总是成立的
D．
3．（5分）（2023春•泉州期末）若，，则等于
A．B．C．D．
4．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）函数的最小正周期和振幅分别是
A．，1B．，2C．，1D．，2
5．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）已知，，，是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
6．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）已知，都为锐角，，，则等于
A．B．C．D．
7．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）若，则
A．B．C．D．或
8．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2023春•泉州期末）已知平面向量，且，则
A．B．C．D．
10．（5分）（2023春•池州期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且．若有两解，则的值可以是
A．4B．5C．7D．10
11．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）已知，则下列选项中可能成立的是
A．B．
C．D．
12．（5分）（2023•盐湖区校级模拟）如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2．点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则
A．B．面积的最小值是
C．D．存在最小值
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2020•南开区学业考试） ．
14．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）设，分别是的边，上的点，，．若，，则 （用，表示）
15．（5分）（2023春•罗湖区校级期中） ．
16．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ．
四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2023春•罗湖区校级期中）已知复数是虚数单位）．
（1）求复数的模和共轭复数；
（2）若，求，的值．
18．（12分）（2023春•泉州期末）已知向量，满足，．
（1）若，的夹角为，求；
（2）若，求与的夹角．
19．（12分）（2023春•南召县期中）已知向量，，函数．
（1）求的最小正周期以及单调递增区间；
（2）将的图像向左平移单位后得到的图像，当，求的值域．
20．（12分）（2023春•武汉期中）某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在，处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点，，，在同一平面内）
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）求点，之间的距离．
21．（12分）（2023春•罗湖区校级期中）已知，是方程的两个实根，且．
（1）若，求的值；
（2）用表示，并求其最大值．
22．（12分）（2023春•罗湖区校级期中）悬索桥的外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数以及双曲正弦函数有关．已知是上的偶函数，是上的奇函数，满足，其中是自然对数的底数．
（1）求和的解析式；
（2）已知，．
解不等式；
设中不等式的解集为，若，恒成立，求的取值范围．（注．
2022-2023学年广东省深圳中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）已知复数，则的虚部为
A．5B．C．2D．
【答案】
【考点】复数的运算
【专题】转化思想；数学运算；数系的扩充和复数；定义法
【分析】把复数化为即可．
【解答】解：因为，
所以的虚部为．
故选：．
【点评】本题考查了复数的基本运算问题，是基础题．
2．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）下列结论中，正确的是
A．零向量只有大小，没有方向
B．若，，则
C．对任一向量，总是成立的
D．
【答案】
【考点】向量的概念与向量的模；命题的真假判断与应用；向量相等与共线
【专题】平面向量及应用；整体思想；数学运算；综合法
【分析】根据向量的定义，以及有关概念，逐一判断各个选项即可．
【解答】解：对于，既有大小又有方向的量叫向量，故错误；
对于，若，满足，，但是与不一定平行，故错误；
对于，零向量的模长为0，故错误；
对于，由于与方向相反，长度相等，故，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了向量的定义，以及向量的有关概念，属于基础题．
3．（5分）（2023春•泉州期末）若，，则等于
A．B．C．D．
【答案】
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系
【专题】方程思想；数学运算；三角函数的求值；综合法
【分析】利用二倍角公式，求得，再判断的符号，得解．
【解答】解：因为，所以，
又，所以．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，三角函数在各象限的符号是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）函数的最小正周期和振幅分别是
A．，1B．，2C．，1D．，2
【答案】
【考点】三角函数的周期性
【专题】综合法；计算题；函数思想；数学运算；三角函数的图象与性质
【分析】利用两角和的正弦公式可求得，进而利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：，
可得的最小正周期，的振幅是1．
故选：．
【点评】本题考查了两角和的正弦公式，正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
5．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）已知，，，是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
【答案】
【考点】平面向量的基本定理；向量相等与共线
【专题】计算题；数学运算；转化思想；逻辑推理；综合法；平面向量及应用
【分析】直接利用向量共线的充要条件求出结果．
【解答】解：由于，，
所以，
所以，
故、、三点共线．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：向量共线的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）已知，都为锐角，，，则等于
A．B．C．D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】转化思想；数学运算；三角函数的求值；综合法
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系求得、的值，再利用两角差的余弦公式，计算求得的值．
【解答】解：，都为锐角，，．
，还是锐角，，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
7．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）若，则
A．B．C．D．或
【答案】
【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值
【专题】转化思想；数学运算；三角函数的求值；综合法
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系，计算求得要求式子的值．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
8．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围．
【解答】解：以、所在直线分别为、轴，建系如图，
设点，易知以为直径的左半圆的方程为：
，
以为直径的右半圆的方程为：
，
点的横坐标的取值范围是，，
又，，
．
故选：．
【点评】本题考查坐标法的应用，圆的方程的应用，向量数量积的坐标运算，属基础题．
二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2023春•泉州期末）已知平面向量，且，则
A．B．C．D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；向量的概念与向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【专题】转化法；平面向量及应用；转化思想；数学运算
【分析】将同时平方可得，，再结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：，同时平方可得，，
故，故错误，
，
则，解得，，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
10．（5分）（2023春•池州期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且．若有两解，则的值可以是
A．4B．5C．7D．10
【答案】
【考点】解三角形；正弦定理
【专题】解三角形；转化法；转化思想；逻辑推理；数学运算
【分析】由题意画出图形，可知，求出的范围，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
要使有两个解，则，
，
，即．
故选：．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）已知，则下列选项中可能成立的是
A．B．
C．D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；向量的概念与向量的模
【专题】平面向量及应用；数学运算；综合法；方程思想
【分析】求得，利用模长公式以及和差角公式可判断选项，，可判断选项；化简，容易判断选项．
【解答】解：，，
，，
，
，
当时，，选项可能成立；
当时，，选项可能成立；
，选项不可能成立；
，，选项不成立．
故选：．
【点评】本题考查平面向量与三角函数的综合运用，考查运算求解能力，属中档题．
12．（5分）（2023•盐湖区校级模拟）如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2．点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则
A．B．面积的最小值是
C．D．存在最小值
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算
【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出，，坐标，根据及即可找到三个点的坐标关系，分别写出即可判断；取中点为，连接，根据，可得，，三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断，求出，再根据基本不等式可判断；写出 进行化简，根据的范围即可得的最值情况．
【解答】解：设中点为，连接，以为原点，，方向分别为，轴建立如图所示直角坐标系：
所以，，
设，，，，，，，且，，
所以，
因为，所以，
即，故，即，所以，
，
因为，所以，
因为，
故，选项正确；
因为，所以，
即，所以，，三点共线，且为靠近的三等分点，
所以，
当且仅当，即时取等，所以选项正确；
因为，所以，
当且仅当，即时取等，故，选项正确：
因为，
所以．
因为且，所以，记，
可知单调递增，没有最值，即没有最值，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目．
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2020•南开区学业考试） ．
【考点】：二倍角的三角函数
【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；56：三角函数的求值；65：数学运算
【分析】由已知利用二倍角公式，特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14．（5分）（2023春•罗湖区校级期中）设，分别是的边，上的点，，．若，，则 （用，表示）
【答案】．
【考点】向量数乘和线性运算
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用向量的线性运算和向量的加法和减法求出结果．
【解答】解：，分别是的边，上的点，，．若，，
则：，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的加法和减法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
15．（5分）（2023春•罗湖区校级期中） 1 ．
【答案】1．
【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值
【专题】数学运算；三角函数的求值；转化思想；综合法
【分析】由题意，利用诱导公式、两角差的余弦公式，化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查诱导公式、两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
16．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 22 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】平面向量及应用
【分析】由，可得，，进而由，，，，构造方程，进而可得答案．
【解答】解：，
，，
又，，
，
故，
故答案为：22．
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到，，是解答的关键．
四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2023春•罗湖区校级期中）已知复数是虚数单位）．
（1）求复数的模和共轭复数；
（2）若，求，的值．
【答案】（1），；
（2），．
【考点】复数的运算；共轭复数
【专题】数学运算；转化思想；转化法；数系的扩充和复数
【分析】（1）根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．
【解答】解：（1），
则，；
（2）因为，
则，即，解得：，．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
18．（12分）（2023春•泉州期末）已知向量，满足，．
（1）若，的夹角为，求；
（2）若，求与的夹角．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】（1）由平面向量数量积运算，结合向量模的运算求解即可；
（2）由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可．
【解答】解：（1）由，，
又，的夹角为，
则；
（2）由，
则，
则，
设与的夹角为，
则，
又，，
则，
即与的夹角为．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题．
19．（12分）（2023春•南召县期中）已知向量，，函数．
（1）求的最小正周期以及单调递增区间；
（2）将的图像向左平移单位后得到的图像，当，求的值域．
【答案】（1）的最小正周期为，增区间为，；
（2），．
【考点】函数的图象变换；平面向量数量积的性质及其运算
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】（1）先由平面向量数量积的运算及三角恒等变换求出，然后结合三角函数的性质求解即可；
（2）由函数图象的平移变换可得，然后求其值域即可．
【解答】解：（1）已知向量，，
则，
则，
令，
则，，
所以的最小正周期为，增区间为，；
（2）由题意知：，
即，
所以当时，，
所以，，
即的值域为，．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了三角函数的性质，属基础题．
20．（12分）（2023春•武汉期中）某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在，处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点，，，在同一平面内）
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）求点，之间的距离．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【考点】正弦定理；解三角形
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】（Ⅰ）由三角形内角关系求出，利用正弦定理可得，计算，利用三角形面积公式计算可得结果；
（Ⅱ）中由余弦定理可得结果．
【解答】解：在中，，，所以，
由正弦定理：，得，
所以，
，
所以的面积为．
（Ⅱ）由，，得．
在中由余弦定理，得
，
所以．
即点，之间的距离为．
【点评】本题考查了正余弦定理和三角形面积的计算问题，属于中档题．
21．（12分）（2023春•罗湖区校级期中）已知，是方程的两个实根，且．
（1）若，求的值；
（2）用表示，并求其最大值．
【答案】（1）1．
（2）．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】数学运算；三角函数的求值；综合法；转化思想
【分析】（1）由题意，利用韦达定理，两角和差的正切公式，求得的值．
（2）由题意，利用韦达定理，两角和差的正切公式，用表示，再利用基本不等式求得它的最大值．
【解答】解：（1）由题意知：，
所以．
（2）由题知：，，则，
所以
，
当且仅当时，取等号，取得最大值为．
【点评】本题主要考查韦达定理，两角和差的正切公式，基本不等式的应用，属于中档题．
22．（12分）（2023春•罗湖区校级期中）悬索桥的外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数以及双曲正弦函数有关．已知是上的偶函数，是上的奇函数，满足，其中是自然对数的底数．
（1）求和的解析式；
（2）已知，．
解不等式；
设中不等式的解集为，若，恒成立，求的取值范围．（注．
【答案】（1），．
（2），，．
，．
【考点】函数恒成立问题
【专题】逻辑推理；转化法；函数思想；导数的综合应用
【分析】（1）由于是上的偶函数，是上的奇函数，可得，解得，，即可得出答案．
（2）根据题意可得，则，分析的单调性和奇偶性，进而可得，即，进而可得答案．
原不等式等价于恒成立，令，原不等式等价于恒成立，由基本不扥是，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为是上的偶函数，是上的奇函数，
所以，，
因为，
所以，
所以，
由，
解得，．
（2）因为，
所以，
所以，
令，则单调递增，
因为时，，
所以单调递增，
又因为，
由复合函数的单调性可得，当时，单调递增，
因为为偶函数，
所以原不等式是等价于，
即，
所以，即，
所以或，
又因为，．
所以，，．
原不等式等价于恒成立，
令，
原不等式等价于恒成立，
同可得时，是关于的单调递减函数，
所以，时，，，
，时，，，
因为，
所以，即，
所以，
又因为，
所以，
所以，
即，时，恒成立，
所以，当且仅当时，取等号，
所以当，时，恒成立，
所以，当且仅当时，取等号，
综上所述，的取值范围，．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
3．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
4．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
5．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
6．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
7．二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cs2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
8．三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
【解题方法点拨】
例：sin60°cs（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cs（﹣570°）的值等于
解：，，，，
∴原式＝．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cs（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cs30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【命题方向】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
9．向量的概念与向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
10．向量相等与共线
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
11．向量数乘和线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．
当λ＝0时，λ与平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔＝λ
（2）向量数乘运算的法则
①1＝；（﹣1）＝；
②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；
③（λ+μ）＝λ+μ；
④λ（+）＝λ+λ．
一般地，λ+μ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果＝λ+μ，则称可以用，线性表示．
12．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
13．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||csθ叫做与的数量积，记做
即：＝||||csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的积．
14．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
15．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；
对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；
对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
16．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
18．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
19．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
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正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝