2022-2023学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（下）期中数学试卷，共48页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）（2023•南宁二模）已知复数，则的虚部为
A．B．C．1D．
2．（5分）（2023•贵州模拟）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是
A．B．C．D．
3．（5分）（2018•大连模拟）已知直线、，平面、、．则下列条件能推出 的是
A．，，B．，，
C．，D．，
4．（5分）（2022•郴州模拟）已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是
A．B．C．D．
5．（5分）（2023春•南京期中）已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为
A．B．C．D．
6．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，已知角，，所对边长分别为，，，且满足，，为的中点，，则
A．B．3C．D．4
7．（5分）（2023•绵阳模拟）已知球的体积为，圆锥的顶点及底面圆上所有点都在球面上，且底面圆半径为，则该圆锥侧面的面积为
A．B．或C．或D．
8．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，中，，，．在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．（5分）（2022秋•鼓楼区校级期末）已知为虚数单位，，，，则
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知单位向量，，则下列命题正确的是
A．向量，不共线
B．若，，且，则
C．若，记向量，的夹角为，则的最小值为
D．若，则向量在向量上的投影向量是
11．（5分）（2023•和平区校级一模）在正方体中，，，分别为棱，，上的一点，且是的中点，是棱上的动点，则
A．当时，平面
B．当时，平面
C．当时，存在点，使，，，四点共面
D．当时，存在点，使，，三条直线交于同一点
12．（5分）（2023春•运城期末）已知的内角，，所对边的长分别为，，，为的外心，，，的面积满足．若，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）（2023•南宁二模）已知向量，，且满足，则 ．
14．（5分）（2022春•咸宁期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示．已知为坐标原点，，，．在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为 ．
15．（5分）（2023•鹰潭一模）的内角，，的对边分别为，，，若，且为锐角，则当取得最小值时，的值为 ．
16．（5分）（2018•全国Ⅰ卷模拟）正方体的棱长为2，设为中点，为线段上的动点， ，过点、、的平面截该正方体所得截面记为．以下结论正确的有 （填上所有正确的说法的序号）
①不可能是菱形；
②可能是五边形；
③时，的面积为
④时，将棱截成长度比为的两部分．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（10分）（2023春•龙岗区校级期中）已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数）．
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
18．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）（1）已知，，且与的夹角为，求的值；
（2）在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，求的值．
19．（12分）（2020春•新源县校级期末）如图，在四棱锥中，，，为的中点，是线段上的一点．
（1）若为的中点，求证：平面平面；
（2）当点在什么位置时，平面．
20．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）若，，求的周长；
（2）已知，，且边上有一点满足，求．
21．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，，，是上的一个动点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求四棱锥的体积的最大值．
22．（12分）（2023春•成都期末）如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数，，，，的图象，图象的最高点坐标为．第二部分是长为1千米的直线段，轴．跑道的最后一部分是以为圆心的一段圆弧．
（1）若新校门位于图中的点，其离的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于点的万象楼，求该学生走过的路的长；
（2）若点在弧上，点和点分别在线段和线段上，若平行四边形区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值．
2022-2023学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．（5分）（2023•南宁二模）已知复数，则的虚部为
A．B．C．1D．
【答案】
【考点】复数的运算
【专题】数学运算；转化思想；数系的扩充和复数；转化法
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
【解答】解：，
则的虚部为1．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2．（5分）（2023•贵州模拟）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】正弦定理；解三角形
【专题】综合法；数学运算；解三角形；整体思想
【分析】由已知三角形有两解得，代入即可求解．
【解答】解：因为三角形有两解，
所以，
即，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查三角形解的个数，不等式思想，属基础题．
3．（5分）（2018•大连模拟）已知直线、，平面、、．则下列条件能推出 的是
A．，，B．，，
C．，D．，
【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系；：空间中直线与直线之间的位置关系
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离
【分析】利用直线与平面平行，平面与平面平行的判断定理以及性质定理，判断选项的正误即可．
【解答】解：，，，可知 或与是异面直线．所以不正确；
，，，满足平面与平面培训的性质定理，所以正确；
，，可知 或与是异面直线．所以不正确；
，，可知 或与是相交直线．所以不正确；
故选：．
【点评】本题考查空间直线与平面，平面与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，是基本知识的考查．
4．（5分）（2022•郴州模拟）已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【专题】整体思想；定义法；立体几何；数学运算
【分析】分别计算侧面积和面积作比即可．
【解答】解：设底面圆的半径为，则母线长为，
得侧面积是
轴截面是一个正三角形，边长为，
则其面积．
所以面积之比是．
故选：．
【点评】本题考查圆锥的侧面积和轴截面面积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（5分）（2023春•南京期中）已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】平面向量及应用；向量法；转化思想；计算题；数学运算
【分析】根据题意可设，，从而得出，且设，，从而可得出，然后根据辅助角公式即可求出最大值．
【解答】解：均为单位向量，且，设，，
，且，设，，
，且，
的最大值为．
故选：．
【点评】本题考查了设出向量的坐标，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐标的减法和数乘、数量积的运算，辅助角公式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
6．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，已知角，，所对边长分别为，，，且满足，，为的中点，，则
A．B．3C．D．4
【答案】
【考点】余弦定理
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】在和中，利用余弦定理求出和，再利用建立关系式即可求出结果．
【解答】解：因为，，为的中点，，
在中，根据余弦定理可得，，
在中，根据余弦定理可得，，
又因为，所以
故有，得到，即，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
7．（5分）（2023•绵阳模拟）已知球的体积为，圆锥的顶点及底面圆上所有点都在球面上，且底面圆半径为，则该圆锥侧面的面积为
A．B．或C．或D．
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【专题】数学运算；转化思想；逻辑推理；空间位置关系与距离；综合法
【分析】先由球的体积求球的半径，再画图，用勾股定理结合扇形公式能求出圆锥的侧面的面积．
【解答】解：由球的体积为，得，解得，
如图1，
当时，，
，，
，，
圆锥的侧面积为扇形，
该圆锥侧面的面积为，
如图2，
当时，有，
，，
，，
该圆锥侧面的面积为：
．
故选：．
【点评】本题考查圆锥、球、圆锥的侧面积、球的体积、勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，中，，，．在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】将都用基底表示，再代入求解即可求得．
【解答】解：设，则，
由正方形得，
，
所以，
因为，
所以，
故选：．
【点评】本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，是中档题．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．（5分）（2022秋•鼓楼区校级期末）已知为虚数单位，，，，则
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】
【考点】复数的运算；复数的模
【专题】数系的扩充和复数；综合法；数学运算；转化思想
【分析】根据复数的基本运算，复数相等的概念，即可分别求解．
【解答】解：对选项，，又，
，选项错误；
对选项，当时，复数为虚数，也为虚数，
而虚数不能比较大小，选项错误；
对选项，，
，
，，，选项正确；
对选项，，
，
，，，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查复数的基本运算，复数相等的概念，属基础题．
10．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知单位向量，，则下列命题正确的是
A．向量，不共线
B．若，，且，则
C．若，记向量，的夹角为，则的最小值为
D．若，则向量在向量上的投影向量是
【答案】
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；投影向量
【专题】计算题；平面向量及应用；向量法；转化思想；数学运算
【分析】的长度都是1，方向可能相同，得出可能共线，然后可判断的正误；
．可得出，从而得出或，然后可求出，，进而可求出，从而可判断的正误；
两边平方即可得出，从而得出角的范围，从而可判断的正误；
．根据投影向量的计算公式即可判断的正误．
【解答】解：是单位向量，方向可能相同或相反，所以，可能共线，错误；
．，，
又，
或，且，
或，
，错误；
．，，
，且，
，
的最小值为，正确；
．，在上的投影向量为，错误．
故选：．
【点评】本题考查了向量数量积的运算，投影向量的计算公式，单位向量的定义，相等向量的坐标关系，考查了计算能力，属于中档题．
11．（5分）（2023•和平区校级一模）在正方体中，，，分别为棱，，上的一点，且是的中点，是棱上的动点，则
A．当时，平面
B．当时，平面
C．当时，存在点，使，，，四点共面
D．当时，存在点，使，，三条直线交于同一点
【答案】
【考点】平面的基本性质及推论；直线与平面平行
【专题】逻辑推理；立体几何；综合法；转化思想；计算题
【分析】依据每个选项的条件，结合图形可判断其正确性．
【解答】解：当时，易知平面，错误；
当时，，，分别为，，的中点，连接，，；
由图1易知四边形与均为平行四边形，则，，
所以，则，，，四点共面，平面，正确；
如图2，延长与的延长线交于点，连接与的交点即为点，
则，，，Ⅰ四点共面，正确；
如图3，连接并延长与的延长线交于点，连接与的交点即为点，
则存在点，使，，三条直线交于同一点，正确．
故选：．
【点评】本题考查空间几何体的性质，考查空间想象能力，考查推理论证能力，属中档题．
12．（5分）（2023春•运城期末）已知的内角，，所对边的长分别为，，，为的外心，，，的面积满足．若，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理
【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】利用余弦定理与三角形的面积公式判断，利用外心的性质判断，利用平面向量的数量积运算判断．
【解答】解：对于，由余弦定理知，，
，，
，
即，，
，，，正确，
对于，，错误，
对于，为的外心，
，同理，
，正确，
对于， ①，
②，
由①②得，，，，正确．
故选：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，正余弦定理的运用，外心的性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）（2023•南宁二模）已知向量，，且满足，则 4 ．
【答案】4．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【专题】平面向量及应用；转化法；转化思想；数学运算
【分析】根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，，
则，，且满足，
故，解得．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
14．（5分）（2022春•咸宁期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示．已知为坐标原点，，，．在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为 ．
【答案】．
【考点】斜二测法画直观图
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；数学运算
【分析】根据题意，由斜二测画法作出四边形，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，斜二测画法作出四边形，
过点，作，交与点，
又由，则，
又由，则，
又由，且，则四边形是矩形，则，
故四边形的周长；
故答案为：．
【点评】本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
15．（5分）（2023•鹰潭一模）的内角，，的对边分别为，，，若，且为锐角，则当取得最小值时，的值为 ．
【答案】．
【考点】正弦定理
【专题】转化思想；计算题；数学运算；三角函数的求值
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系可求的值，进而利用余弦定理，基本不等式即可求解．
【解答】解：由，及正弦定理可得：，
可得：，
由，可得，
而是锐角，
所以，则，
则，当且仅当时，取得最小值，
故，
故，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
16．（5分）（2018•全国Ⅰ卷模拟）正方体的棱长为2，设为中点，为线段上的动点， ，过点、、的平面截该正方体所得截面记为．以下结论正确的有 ②③④ （填上所有正确的说法的序号）
①不可能是菱形；
②可能是五边形；
③时，的面积为
④时，将棱截成长度比为的两部分．
【考点】：命题的真假判断与应用
【专题】15：综合题；31：数形结合；48：分析法；：空间位置关系与距离
【分析】当时，为梯形，说明①错误；取，可得为五边形，并求得将棱截成长度比为的两部分，说明②④正确；取，可知为等腰梯形并求得的面积为，说明③正确．
【解答】解：对于①，当时，如图所示，截面即是菱形，故①错误；
对于②，当时，如图所示，，
点是的中点，可得，，
与的交点满足，此时是五边形，且将棱截成长度比为的两部分．
故②、④正确；
对于③，当时，如图所示，为等腰梯形，
可得，，等腰梯形得高为，
则的面积为．
故③正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了空间位置关系、平行线的性质、线面平行的判定与性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（10分）（2023春•龙岗区校级期中）已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数）．
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【考点】复数的运算
【专题】计算题；对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】（1）由已知列式求出值，把值代入，直接利用复数模的计算公式求解；
（2）把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解．
【解答】解：，，
，
又为纯虚数，
，解得，
；
（1），
；
（2），
又复数 所对应的点在第一象限，
，解得：，
实数的取值范围为．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是中档题．
18．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）（1）已知，，且与的夹角为，求的值；
（2）在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，求的值．
【答案】（1）13；（2）．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】（1）由平面向量的数量积与模的运算直接计算即可；
（2）由题意设，再借助条件和平面向量的线性运算和数量积运算计算即可求得．
【解答】解：（1），，且与的夹角为，
，
．
（2）矩形中，，
点在边上，设，
，
，
，，
．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
19．（12分）（2020春•新源县校级期末）如图，在四棱锥中，，，为的中点，是线段上的一点．
（1）若为的中点，求证：平面平面；
（2）当点在什么位置时，平面．
【考点】直线与平面平行；平面与平面平行
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理
【分析】（1）推导出，，由此能证明平面平面．
（2）连接，交于，交于，推导出，从而，进而，由此得到当时，平面．
【解答】解：（1）证明：四棱锥中，，
为的中点，为的中点，
，，
，，
平面平面．
（2）连接，交于，交于，
，，，，
，，
，
是线段上的一点，平面，，
．
当时，平面．
【点评】本题考查面面平行的证明，考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
20．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）若，，求的周长；
（2）已知，，且边上有一点满足，求．
【答案】（1）9；
（2）．
【考点】正弦定理；解三角形
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】（1）利用诱导公式，正弦定理边化角，结合二倍角正弦求出，再利用余弦定理求解作答；
（2）由余弦定理求出，由面积关系可得，再利用余弦定理建立方程组求解作答．
【解答】解：（1）由可得：，
又，得，由正弦定理得，
因为，即有，显然，又，有，
于是，即，则，若，，由余弦定理，
得，解得，
所以的周长为9；
（2）设，则，由（1）知，
在中，由，及余弦定理得：，即，
由，知，
在中，，即，
在中，，即，
联立解得，，
所以．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题．
21．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，，，是上的一个动点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求四棱锥的体积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算
【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圆柱底面的半径为，进而求出结果．
（2）利用余弦定理结合基本不等式求出，再利用体积公式能求出四棱锥的体积的最大值．
【解答】解：（1）连接，在中，，，，
由余弦定理得：
，
，
设圆柱底面半径为，
由正弦定理得，
，
圆柱的表面积．
（2）由（1）知，中，，，
由余弦定理得：
，
即，
当且仅当时，等号成立，
，
，，
四棱锥的体积：
，
四棱锥的体积的最大值为．
【点评】本题考查圆柱的结构特征、四棱锥的体积公式、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22．（12分）（2023春•成都期末）如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数，，，，的图象，图象的最高点坐标为．第二部分是长为1千米的直线段，轴．跑道的最后一部分是以为圆心的一段圆弧．
（1）若新校门位于图中的点，其离的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于点的万象楼，求该学生走过的路的长；
（2）若点在弧上，点和点分别在线段和线段上，若平行四边形区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值．
【答案】（1）千米．（2）．
【考点】由的部分图象确定其解析式；三角函数应用；根据实际问题选择函数类型
【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】（1）由题意可得，，代入点求，从而求解析式，令由求解，从而求景观路的长；
（2）作图求，从而可求最值．
【解答】解：（1）由已知条件，得，
又，，．
又当时，有，．
曲线段的解析式为，，．
由，
得，，
，，
又，，，．．
，
学生走过的路长为千米．
（2）如图，，，，，
作轴于点，在中，，
在中，，
．
，．
当时，即时，平行四边形面积最大值为．
【点评】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了学生的作图能力，属中档题．
考点卡片
1．三角函数应用
【知识点的认识】
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
2．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
3．投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
4．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
5．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
6．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；
对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；
对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
7．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
8．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
9．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
10．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
11．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
12．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
13．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
14．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
15．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
16．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
17．平面图形的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．
2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
18．斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
19．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
20．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
21．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
22．平面与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
平面与平面之间的位置关系：
23．平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/10 23:55:16；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：29841565定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α

直线和平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A

直线和平面平行
无
a∥α

位置关系
公共点个数
符号表示
图示
两平面平行
无
α∥β

两平面相交
有一条公共直线
α∩β＝l