2023-2024学年河南省安阳市滑县八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省安阳市滑县八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子一定是二次根式的是( )
A. −5B. 5C. 34D. a
2.若 a−5在实数范围有意义，则a的值可能是( )
A. 2B. 0C. 5D. −5
3.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2+ 3=5C. 2× 3= 6D. 2× 3=6
4.已知x，y为实数，且 x−2+(y+3)2=0，则x−y的值为( )
A. −5B. 5C. 1D. −1
5.下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1， 3，2B. 1，1， 3C. 2，3，4D. 3，2， 5
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是( )
A. 365B. 1225C. 94D. 3 34
7.实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a|+ (a−b)2的结果是( )
A. −2a+bB. 2a−bC. −bD. b
8.等式 xx−3= x x−3成立的条件是( )
A. x≥0且x≠3B. x≠3C. x≥0D. x>3
9.如图，已知正方形A的面积为25，正方形C的面积为169时，那么正方形B的面积为( )
A. 100
B. 121
C. 144
D. 25
10.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形(如图所示)，若大正方形的面积为13，小正方形面积为5，直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则(a+b)2的值为( )
A. 13
B. 19
C. 25
D. 21
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算： 3× 6− 8= ______．
12.当a=______时，最简二次根式 2a−1与− 3a−7可以合并．
13.如图，一艘轮船从港口O出发向东北方向航行了16km到达A处，在港口的东南方向12km处有一灯塔B，此时A，B之间的距离为______km．
14.△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D.则BD长为______．
15.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为______cm．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)(3 48− 20)+(3 5−2 12)；
(2)( 3+1)( 3−1)+ 24−(12)0．
17.(本小题8分)
已知x=2+ 5，y=2− 5，求代数式x2−xy+y2的值．
18.(本小题8分)
已知a、b为直角三角形的两条边长，且 a−3+2 6−2a=b−4，求这个直角三角形的第三边长．
19.(本小题9分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C恰好在格点(网格线的交点)上．
(1)求△ABC的周长．
(2)求△ABC的面积．
20.(本小题9分)
在修建沿太行高速公路时，某段施工过程中要沿直线AB打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC的长，现测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=12km，请根据上述数据，求出隧道BC的长(计算结果保留根号)．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，边BC上的中线AD=2，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE．
(1)求证：CE⊥AE；
(2)求BC的长．
22.(本小题10分)
阅读材料：
因为( a+ b)( a− b)=( a)2−( b)2=a−b.利用平方差公式可以有效地将( a+ b)( a− b)中的“ ​”去掉.例如：2 3+1=2×( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3−1)( 3)2−1= 3−1这样可以把分母中含有“ ​”的式子进行化简．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
(1)化简 2+1 2−1的值为______．
(2)计算：1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 10+ 9．
23.(本小题11分)
现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为18cm2和32cm2的正方形纸片A，B．
(1)裁出的正方形纸片A的边长为______cm．
(2)求图①中阴影部分的面积．
(3)小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积是25cm2的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A． −5无意义，故A不符合题意；
B. 5是二次根式，故B符合题意；
C.34是三次根式，故C不符合题意；
D. a没有说明a的取值范围，a<0时无意义，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的定义及二次根式的被开方数一定是非负数判断即可
本题主要考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2.【答案】C
【解析】解：∵ a−5在实数范围内有意义，
∴a−5≥0，
解得：a≥5，
符合条件的选项为C，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 2和 3不是同类二次根式，不能直接合并，故原选项计算错误，不符合题意；
B、 2和 3不是同类二次根式，不能直接合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 2× 3= 6，故原选项计算正确，符合题意；
D、 2× 3= 6，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加法和二次根式的乘法法则计算即可得出答案．
本题考查了二次根式的加法、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算是关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵ x−2+(y+3)2=0，
∴x−2=0，y+3=0，
∴x=2，y=−3，
∴x−y=2−(−3)=5，
故选：B．
根据几个非负数和为0，那么这几个非负数均为0即可解答．
本题考查算术平方根的非负性，平方的非负性，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、12+( 3)2=22，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、12+12≠( 3)2，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、32+22≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、( 3)2+22≠( 5)2，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB= AC2+BC2=15，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=9×1215=365，
则点C到AB的距离是365．
故选：A．
根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．
此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据数轴可知：a<0|b|．
∴|a|+ (a−b)2=−a−(a−b)=−2a+b．
故选：A．
根据数轴表示a<0，|a|=−a． (a−b)2=|a−b|．
本题是一道考查有关二次根式的性质、有理数的减法的题目，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
8.【答案】D
【解析】解：根据二次根式的意义，有x≥0，且x−3>0，
解得x>3．
故选：D．
根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解．
主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
二次根式的运算法则：乘法法则 a⋅ b= ab.除法法则 ba= b a．
9.【答案】C
【解析】解：设A、B、C的边长为a、b、c，
由题意得：12a2=25，12b2=169，
∴正方形B的面积为：12b2=12(c2−a2)=169−25=144．
故选：C．
设A、B、C的边长为a、b、c，结合勾股定理和正方形的面积公式得出正方形B的面积=正方形C的面积−正方形A的面积，即可得解．
本题考查了勾股定理的应用，关键是勾股定理的熟练应用．
10.【答案】D
【解析】解：由题意得：a2+b2=13，(b−a)2=5，
∴b2−2ab+a2=5，
∴2ab=a2+b2−5=13−5=8，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=13+8=21，
故选：D．
由四个全等的直角三角形，大正方形，小正方形之间的面积关系得出a2+b2=13，(b−a)2=5，进而得出2ab=8，再由完全平方公式即可求出答案．
本题考查了勾股定理与完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
11.【答案】 2
【解析】解：原式= 3×6− 8
= 18− 8
= 9× 2− 4× 2
=3 2−2 2
= 2．
故答案为： 2．
原式第一项利用二次根式的乘法法则化简，将两项化为最简二次公式后，合并同类二次根式即可得到结果．
此题考查了二次根式的混合运算，涉及的知识有：二次根式的乘法法则，合并同类二次根式，以及二次根式的化简，熟练掌握法则是解本题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：∵最简二次根式 2a−1与− 3a−7可以合并，
∴2a−1=3a−7，
解得：a=6，
故答案为：6．
根据同类二次根式的定义和已知得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键．
13.【答案】20
【解析】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠AOB=90°，
根据勾股定理得：AB= OA2+OB2= 162+122=20(海里)．
故答案为：20．
根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．
14.【答案】45 5
【解析】解：如图，由勾股定理得AC= 12+22= 5，
∵S△ABC=12BC×2=12AC⋅BD，
∴12×2×2=12× 5BD，
∴BD=4 55．
故答案为：4 55．
利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度．
本题考查了勾股定理，三角形的面积．利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：由勾股定理得，AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．
∴BE=AB−AE=10−6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2+BE2=BD2
即CD2+42=(8−CD)2，
解得：CD=3cm．
由折叠的性质知CD=DE，AC=AE.根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE．
本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．
16.【答案】解：(1)(3 48− 20)+(3 5−2 12)
=12 3−2 5+3 5−4 3
=8 3+ 5；
(2)( 3+1)( 3−1)+ 24−(12)0
=3−1+2 6−1
=1+2 6．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用平方差公式和零指数幂的意义计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、零指数幂的意义和乘法公式是解决问题的关键．
17.【答案】解：∵x=2+ 5，y=2− 5，
∴x+y=2+ 5+2− 5=4，xy=(2+ 5)(2− 5)=4−5=−1，
∴x2−xy+y2=(x+y)2−3xy=42−3×(−1)=16+3=19．
【解析】利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，由题意得出x+y=4，xy=−1，再将式子x2−xy+y2变形为(x+y)2−3xy，代入计算即可得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算是关键．
18.【答案】解：由题意得：a−3≥0，6−2a≥0，
解得：a=3，
∴b−4=0，
即b=4，
∵a、b为直角三角形的两条边长，
∴当a、b为直角三角形的两条直角边时，第三边长为 32+42=5，
当a为直角边，b为斜边时，第三边长为 42−32= 7，
综上所述，这个直角三角形的第三边长5或 7．
【解析】由二次根式有意义的条件得出a=3，从而得出b=4，分两种情况：当a、b为直角三角形的两条直角边时；当a为直角边，b为斜边时；分别求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件、勾股定理，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据题意可得，
AB= 22+42= 20=2 5，
AC= 22+12= 5，
BC= 42+32= 25=5，
AB+AC+BC=2 5+ 5+5=5+3 5，
∴△ABC的周长为5+3 5；
(2)∵AB=2 5，AC= 5，BC=5，
∴BC2=25，AB2+AC2=20+5=25，
∴BC2=AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=12AC⋅AB=12× 5×2 5=5，
∴△ABC的面积为5．
【解析】(1)根据勾股定理，分别求出AB、BC、AC的长，进而可得△ABC的周长；
(2)由(1)AB、BC、AC的长可得，BC2=AB2+AC2，则△ABC是直角三角形，S△ABC=12AC⋅AB，进而可得△ABC的面积．
本题考查了勾股定理知识点，结合图形熟练应用勾股定理三角形三边的值，并应用其逆定理判定三角形的形状是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
20.【答案】解：∵∠ABD=150°，∠D=60°，
∴∠BCD=90°，∠CBD=30°，
∴在直角△BCD 中，CD=12BD=12×12=6(km)，
∴BC= BD2−CD2= 122−62=6 3(km)．
答：隧道BC的长为6 3km．
【解析】首先根据三角形的内角和定理的推论求得∠BCD=90°；再根据含30度直角三角形的性质求得CD的长，最后运用勾股定理求得BC的长即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用和勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
21.【答案】(1)证明：∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD，
在△CDE和△BDA中，DE=AD∠CDE=∠BDACD=BD，
∴△CDE≌△BDA(SAS)，
∴CE=AB=3，
∵DE=AD=2，
∴AE=4，
∵AE2+CE2=42+32=25，AC2=25，
∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，CE⊥AE；
(2)解：∵CE⊥AE，
∴CD= DE2+CE2= 22+32= 13，
∴BC=2CD=2 13．
【解析】(1)证明△CDE≌△BDA(SAS)，得出CE=AB=3，证出AE2+CE2=AC2，由勾股定理的逆定理即可得出结论；
(2)由勾股定理求出CD= DE2+CE2= 13，即可得出BC=2CD=2 13．
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理和勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】3+2 2
【解析】解：(1) 2+1 2−1
=( 2+1)2( 2−1)( 2+1)
=3+2 2；
故答案为：3+2 2；
(2)1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯⋯+1 10+ 9
= 2−1( 2+1)( 2−1)+ 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)+ 4− 3( 4+ 3)( 4− 3)+⋯⋯+ 10− 9( 10+ 9)( 10− 9)
= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋯⋯+ 10− 9
= 10−1．
(1)根据阅读材料的方法，分母有理化即可得答案；
(2)将每个加数分母有理化，再相加即可．
本题考查分母有理化，解题的关键是读懂阅读材料，应用平方差公式进行分母有理化．
23.【答案】3 2
【解析】解：(1)根据题意得：截出的正方形纸片A的边长为 18=3 2(cm)，B的边长为=4(cm)，
故答案为：3 2；
(2)根据题意得：截出的正方形纸片B的边长为 32=4 2(cm)，
则长方形的长为3 2+4 2=7 2(cm)，宽为4 2cm，
∴阴影部分的面积=7 2×4 2−(18+32)=56−50=6(cm2)；
(3)不能截出，理由如下：
∵面积为25dm2的两个正方形纸片的边长均为 25=5(cm)，
5+5=10= 100>=7，
∴不能在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板．
(1)由正方形A的面积可得边长为 18cm，再利二次根式的性质化简，即可求解；
(2)由正方形B的面积可得边长为4 2cm，求出长方形的长和宽，再用长方形的面积减去两个正方形的面积，即可求解；
(3)先求截出的两个正方形木板的边长，再与长方形木板的长比较即可．
本题考查二次根式的应用，正方形的性质，熟练掌握二次根式的化简和运算，长方形的面积公式是解题的关键．