2022-2023学年云南省昭通市昭阳区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年云南省昭通市昭阳区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．昭通中心城市昭阳西环高速公路，是全国唯一一条采用机制砂配制滑模推销混凝土路面高速公路、昭通市第一条智慧高速公路，该高速公路于2022年12月26日建成通车，概算投资4188000000元，将数据4188000000用科学记数法表示为（ ）
A．4.188×107B．4.188×108C．4.188×109D．41.88×108
2．若一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝9，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（ ）
A．19.5B．21C．22.5D．27
5．顺次连接下列四边形“各边中点所构成的四边形”中，为矩形的是（ ）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形；⑤对角线垂直的四边形
A．①④B．②④C．②⑤D．③⑤
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝90°B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a＝3，b＝3，c＝4D．a＝2，b＝3，
8．如图，在数轴上表示的点是（ ）
A．PB．QC．MD．N
9．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是11，15，8，11，则最大正方形E的面积为（ ）
A．346B．530C．531D．532
10．如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，且CE＝AB，连接DE，AE，若∠B＝76°，∠BAE＝33°，则∠DEA的度数是（ ）
A．38°B．48°C．52°D．71°
11．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F．若▱ABCD的面积为80，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．39B．40C．41D．42
12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是CD，BC的中点，DF分别交AE，BE于点G，H，连接AC恰好过点H，则下列结论：①△DCH≌△BCH；②∠DBC＝∠EHA；③S△AHE＝S△BHC；④DF⊥AE，其中正确的是（ ）
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分）
13．使有意义的x的取值范围是 ．
14．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于点G，若∠EFG＝55°，则∠AEG＝ ．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知菱形周长为52，AC+BD＝34，则菱形ABCD的面积为 ．
16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为25dm、3dm、3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 ．（结果保留根号）
三、解答题（本大题共8个小题，满分56分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC延长线上的两点，且AE＝CF．求证BE＝DF．
20．观察下列各式：
①
②
③
…
（1）计算：＝ ；（n为正整数）＝ ．
（2）根据上述规律，求的值．
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C，B分别作BD，AC的平行线，两线相交于点P．当AB，BC满足什么关系时，四边形COBP是正方形，请说明理由．
22．如图，四边形ABCD为某街心花园的平面图，经测量AB＝BC＝AD＝50m，，且∠B＝90°．
（1）试判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）若射线BA为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过65m．已知摄像头能监控的最大范围为周围50m（包含50m），请问该监控装置是否符合要求？并说明理由．（参考数据，）
23．如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，P，Q分别是AD，CD的中点，连接PQ并延长，交射线BC于点O，已知∠ABD＝∠CBD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，BD＝16，求OP的长度．
24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设P、Q的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形；
（2）当t为何值时，PQ＝CD．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题只有一个正确选项）
1．昭通中心城市昭阳西环高速公路，是全国唯一一条采用机制砂配制滑模推销混凝土路面高速公路、昭通市第一条智慧高速公路，该高速公路于2022年12月26日建成通车，概算投资4188000000元，将数据4188000000用科学记数法表示为（ ）
A．4.188×107B．4.188×108C．4.188×109D．41.88×108
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
解：4188000000＝4.188×109．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
2．若一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据多边形的外角和为360°求解即可．
解：∵一个多边形的每一个外角都是36°，
∴这个多边形的边数为，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的外角和，熟知多边形的外角和为360°是解答的关键．
3．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
解：A.＝2，不是最简二次根式，故不符合题意；
B．﹣是最简二次根式，故符合题意；
C.＝，不是最简二次根式，故不符合题意；
D.＝，不是最简二次根式，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝9，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（ ）
A．19.5B．21C．22.5D．27
【分析】由矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，可求得BC与CD的长，然后由勾股定理求得AC的长，再由三角形中位线的性质求得OM的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，求得OB的长，继而求得四边形ABOM的周长．
解：∵矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，
∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝9，∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴AC＝＝15，
∴OB＝OA＝OC＝AC＝7.5，
∵M是AD的中点，
∴OM＝CD＝4.5，AM＝AD＝6，
∴四边形ABOM的周长为：AB+OB+OM+AM＝9+7.5+4.5+6＝27．
故选：D．
【点评】此题考查了矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
5．顺次连接下列四边形“各边中点所构成的四边形”中，为矩形的是（ ）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形；⑤对角线垂直的四边形
A．①④B．②④C．②⑤D．③⑤
【分析】由顺次连接任意四边形各边的中点，所得的四边形为平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形为菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形为矩形；顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边的中点，所得的四边形为正方形；即可求得答案．
解：∵顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形为矩形；
对角线垂直的四边形，菱形的对角线互相垂直，
∴所得的四边形为矩形的是菱形；
故选：D．
【点评】此题考查了中点四边形的性质．此题难度不大，注意掌握三角形中位线的性质．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
解：A．原式＝＝＝6，所以A选项不符合题意；
B． 与不能合并，所以B选项不符合题意；
C．原式＝＝，所以C选项符合题意；
D．原式＝3﹣＝2，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝90°B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a＝3，b＝3，c＝4D．a＝2，b＝3，
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
解：A、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝90°，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
C、∵a＝3，b＝3，c＝4，
∴a2+b2＝18≠42，不能判定△ABC为直角三角形，符合题意；
D、∵a＝2，b＝3，c＝，
∴a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．
8．如图，在数轴上表示的点是（ ）
A．PB．QC．MD．N
【分析】根据，可得3＜4，而Q点的取值范围在（3，4），即可得出结果．
解：∵，
∴3＜4，
∵Q点的取值范围在（3，4），
∴在数轴上表示的点是Q，
故选：B．
【点评】本题考查的是实数与数轴和算术平方根，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
9．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是11，15，8，11，则最大正方形E的面积为（ ）
A．346B．530C．531D．532
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
解：根据勾股定理的几何意义，可知
SE＝S1+S1
＝SA+SB+SC+SD
＝112+152+82+112
＝531；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
10．如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，且CE＝AB，连接DE，AE，若∠B＝76°，∠BAE＝33°，则∠DEA的度数是（ ）
A．38°B．48°C．52°D．71°
【分析】首先利用平行四边形的性质和三角形的内角和求得∠AEB和∠C的度数，然后求得∠CED的度数，利用平角定义求得答案即可．
解：∵∠B＝76°，∠BAE＝33°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣76°＝104°，∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣76°﹣33°＝71°，
∵CE＝AB，AB＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠C）＝×76°＝38°，
∴∠DEA＝180°﹣∠CED﹣∠AEB＝180°﹣38°﹣71°＝71°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是了解平行四边形的对边相等，邻角互补，难度不大．
11．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F．若▱ABCD的面积为80，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．39B．40C．41D．42
【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．
解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△AEO＝S△CFO，
∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半，
∴阴影部分面积为×80＝40，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．
12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是CD，BC的中点，DF分别交AE，BE于点G，H，连接AC恰好过点H，则下列结论：①△DCH≌△BCH；②∠DBC＝∠EHA；③S△AHE＝S△BHC；④DF⊥AE，其中正确的是（ ）
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
【分析】利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和三角形的面积公式对每个选项结论进行逐一判断即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝CB，∠DCA＝∠BCA＝∠DAC＝∠DBC＝45°，
∵E，F分别是CD，BC的中点，
∴AE＝EC＝CD，CF＝BF＝BC，
∴DE＝CE＝CF．
在△DCH和△BCH中，
，
∴△DCH≌△BCH（SAS），
∴①的结论正确；
∵∠DBC＝45°，∠EHA＞∠ECA＝45°，
∴∠DBC＜∠EHA，
∴②的结论不正确；
∵＝AB2，＝AB2，
∴S△EAB＝S△ABC，
∵S△AEH＝S△ABE﹣S△ABH，S△BHC＝S△ABC﹣S△ABH，
∴S△AHE＝S△BHC．
∴③的结论正确；
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF．
∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠CDF+∠DEA＝90°，
∴∠DGE＝90°，
∴DF⊥AE，
∴④D 结论正确．
综上，其中正确的有：①③④．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分）
13．使有意义的x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出答案．
解：由题意得：2﹣x≥0，
解得：x≤2．
故答案为：x≤2．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的被开方数为非负数．
14．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于点G，若∠EFG＝55°，则∠AEG＝ 70° ．
【分析】根据长方形性质，得到AD∥BC，由折叠性质及三角形内角和定理，结合平行线性质即可得到答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝55°，
由折叠的性质可知，∠GEF＝∠DEF＝55°，
在△EFG中，由三角形内角和定理可得∠EGF＝180°﹣2×55°＝70°，
∴∠AEG＝∠EGF＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查在长方形背景下求角度，涉及长方形性质、平行线性质、折叠性质及三角形内角和定理，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决问题的关键．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知菱形周长为52，AC+BD＝34，则菱形ABCD的面积为 120 ．
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD＝13，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，则OB＝17﹣x，再由勾股定理得OA＝12或5，OB＝5或12，则AC＝2OA＝24或10，BD＝2OB＝10或24，然后由菱形面积公式即可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为52，
∴，
∵AC+BD＝34，
设OA＝x，则OB＝17﹣x，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：x2+（17﹣x）2＝132，
解得：x＝5或x＝12，
∴OA＝5，或OA＝12，
∴OB＝12，或OB＝5，
∴AC＝2OA＝10或24，BD＝2OB＝24或10，
∴或．
故答案为：120．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为25dm、3dm、3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 dm ．（结果保留根号）
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为25dm，宽为（3+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝252+[（3+3）×3]2＝949，
解得x＝．
故答案为dm．
【点评】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
三、解答题（本大题共8个小题，满分56分）
17．计算：．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：
＝1+2﹣2﹣4
＝﹣3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．先化简，再求值：，其中．
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
解：
＝•
＝•
＝，
当x＝﹣3时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC延长线上的两点，且AE＝CF．求证BE＝DF．
【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，则∠BAE＝∠DCF，再证明△ABE≌△CDF（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．观察下列各式：
①
②
③
…
（1）计算：＝ ；（n为正整数）＝ ．
（2）根据上述规律，求的值．
【分析】（1）根据所给几个计算结果可得规律；
（2）根据（1）中规律，把每项根据规律化简求解即可．
解：（1）根据，，，
可发现：，，
故答案为：，；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查数字类规律探究、二次根式的混合运算，找到变化规律并灵活运用是解答的关键．
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C，B分别作BD，AC的平行线，两线相交于点P．当AB，BC满足什么关系时，四边形COBP是正方形，请说明理由．
【分析】根据矩形的性质得出OC＝OB，根据正方形的判定定理需要∠BOC＝90°，则AB＝BC，进而证明四边形COBP是正方形．
解：当AB＝BC时，四边形COBP是正方形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠ABC＝90°，
又∵OC＝AC，OB＝BD，
∴OC＝OB，
又∵AB＝BC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°；即∠BOC＝90°．
又∵BP∥OC，CP∥OB，
∴四边形COBP是平行四边形．
又∵OC＝OB，
∴平行四边形COBP是菱形．
又∵∠BOC＝90°，
∴四边形COBP是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定定理，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
22．如图，四边形ABCD为某街心花园的平面图，经测量AB＝BC＝AD＝50m，，且∠B＝90°．
（1）试判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）若射线BA为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过65m．已知摄像头能监控的最大范围为周围50m（包含50m），请问该监控装置是否符合要求？并说明理由．（参考数据，）
【分析】（1）根据∠B＝90°，勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理，即可；
（2）过点D作DE⊥BA于点E；作A点关于DE的对称点A′，连接DA′，根据直角三角形的性质，得∠BAC＝45°，根据∠DAC＝90°，则∠DAE＝45°，三角形ADE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE，可推出AA′，即可．
解：（1）△ACD是直角三角形．
理由如下：
∵∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝50m，
∴在Rt△ABC中AB2+BC2＝AC2，
∵AC2＝5000，
∵AD2＝502＝2500，，
∴AD2+AC2＝7500，
∴AD+AC2＝CD2，
∴△CAD是直角三角形．
（2）符合要求，理由如下：
过点D作DE⊥BA于点E；作A点关于DE的对称点A′，连接DA′，
∴∠DEA＝90°，
∵∠B＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝45°，
∵∠DAC＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴DE＝AE，
∴在Rt△DEA中DE2+EA2＝AD2，
∴2AE2＝2500，
∴，
∴，
∵70m＞65m，
∴该监控装置符合要求．
【点评】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理．
23．如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，P，Q分别是AD，CD的中点，连接PQ并延长，交射线BC于点O，已知∠ABD＝∠CBD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，BD＝16，求OP的长度．
【分析】（1）根据平行四边形性质，结合等角对等边，由菱形的判定定理即可得证；
（2）连接AC交BD于点E，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到PQ是△ACD的中位线，即，再证△PQD≌△OQC（AAS），由全等的性质得到PQ＝QO，即可得到OP＝2PQ＝12．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，∠ADB＝∠CBD，
又∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，即AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：连接AC交BD于点E，如图所示：
由（1）知四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝EC，BE＝ED，
∴在Rt△AEB中，，
∴AC＝2AE＝12，
又∵P、Q分别是AD、CD的中点，
∴PQ是△ACD的中位线，
∴，
在△PQD与△OQC中
∵，
∴△PQD≌△OQC（AAS）
∴PQ＝QO，
∴OP＝2PQ＝2×6＝12．
【点评】本题考查几何综合，涉及平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、中位线的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定，并灵活运用是解决问题的关键．
24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设P、Q的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形；
（2）当t为何值时，PQ＝CD．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AP＝BQ，列出方程，解方程即可求解；
（2）分两种情况讨论即可求解．①当四边形PQCD为平行四边形时，PQ＝CD．②当四边形PQCD为等腰梯形时，PQ＝CD．
解：（1）依题意得：AP＝t cm，BQ＝（18﹣3t）cm，
∵四边形ABQP为矩形，
∴AP＝BQ，即：t＝18﹣3t，
∴，
∴当时，四边形ABQP为矩形．
（2）①当PQCD为平行四边形时，PQ＝CD．
∵PD＝（12﹣t）cm，CQ＝3t cm，
∴PD＝CQ，即：12﹣t＝3t，
∴t＝3s．
②当PQCD为等腰梯形时，PQ＝CD．
如图：过点D作DE⊥BC于点E，过点P作PF⊥BC于点F．
则∠PFQ＝∠DEC＝90°，
∵AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，
∴AP＝t cm，BQ＝（18﹣3t）cm，
QF＝BF﹣BQ＝t﹣（18﹣3t）＝（4t﹣18）cm，
CE＝18cm﹣12cm＝6cm，
∵在等腰梯形PQCD中，
PQ＝DC，PE＝DE，
∠PFQ＝∠DEC＝90°，
∴△PQF≌△DCE，
∴QF＝CE，
故4t﹣18＝6，
解得t＝6，
∴综合①、②得：当t＝6s或3s时，PQ＝CD．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．