2024年中考数学复习专项训练---02 方程（组）与不等式（组）（精讲）

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热点突破
热点1 一次方程（组）及其应用
【例1】 （2024•海南一模）已知是方程的解，则的值为
A．2B．8C．0D．
【答案】
【分析】根据是方程的解，得到关于的方程，解出即可求解．
【解答】解：是方程的解，
，
解得：．
故选：．
【例2】 （2024•大庆一模）某种羽绒服的进价为800元，出售时标价为1760元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但保证利润率为，则可打
A．4折B．5折C．6折D．7折
【答案】
【分析】设该羽绒服可以打折销售，利用利润售价进价，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该羽绒服可以打折销售，
根据题意得：，
解得：，
该羽绒服可以打5折销售．
故选：．
【例3】 （2024•鞍山模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设天后相遇，根据题意所列方程正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】此题属于相遇问题，把南海到北海的距离看作单位“1”，凫的速度是，大雁的速度为，根据凫天的路程大雁天的路程，即可列方程．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
【例4】 （2023•宁化县模拟）解关于的一元一次方程．
【答案】．
【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
【例5】 （2024•碑林区校级一模）小远在文具店买了一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元．已知他买一盒马克笔的钱比6根黑色中性笔的钱多3元．求该文具店中这种黑色中性笔的单价．
【答案】该文具店中这种黑色中性笔的单价是2元．
【分析】设该文具店中这种黑色中性笔的价格为元根，则一盒马克笔的价格为元，根据“购买一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元”列出方程并解答．
【解答】解：设该文具店中这种黑色中性笔的价格为元根，则：
．
解得．
答：该文具店中这种黑色中性笔的单价是2元．
热点2 分式方程及其应用
【例1】 （2024•台安县一模）分式方程的解为
A．B．C．D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：．
【例2】 （2024•盘龙区校级模拟）甲乙两地相距，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了，而从甲地到乙地的时间缩短了．设长途客运车原来的平均速度是 ，根据题意可列的方程是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设长途客运车原来的平均速度是 ，则提速以后的平均速度为 ，根据“从甲地到乙地的时间缩短了”即可列出方程．
【解答】解：设长途客运车原来的平均速度是 ，则提速以后的平均速度为 ，
由题意得，，
故选：．
【例3】 （2024•碑林区校级二模）解方程：．
【答案】．
【分析】利用去分母的方法将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程组的解为．
【例4】 （2024•浙江一模）小汪解答“解分式方程：”的过程如下，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①，
去括号得：②，
移项得：③，
合并同类项得：④，
系数化为1得：⑤，
是原分式方程的解．
【答案】错误步骤的序号为①，过程见解析．
【分析】错误步骤的序号为①，解方程去分母转化为整式方程，，进而解这个整式方程，最后检验，即可求解．
【解答】解：错误步骤的序号为①，
，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：③，
合并同类项得：④，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
【例5】 （2024•大连一模）2021年冬，某单位党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让他们栽植．已知每棵甲种树苗的价格比乙种树苗贵10元，用800元购买甲种树苗的棵数恰好与用600元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）春节过后，党支部决定再次购买甲、乙两种树苗共200棵，用于对本村道路的绿化．此时，甲种树苗的售价比上次购买时降低了，乙种树苗的售价不变．如果这次购买两种树苗的总费用不超过6720元，那么他们最多可购买多少棵甲种树苗？
【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）他们最多可购买120棵甲种树苗．
【分析】（1）设乙种树苗每棵的价格是元，则甲种树苗每棵的价格是元，根据甲种树苗的价格比乙种树苗的价格贵10元，用800元购买甲种树苗的棵数恰好与用600元购买乙种树苗的棵数相同解方程即可得到结论；
（2）设他们可购买棵甲种树苗，根据再次购买两种树苗的总费用不超过6720元，列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设乙种树苗每棵的价格是元，则甲种树苗每棵的价格是元，
依题意有，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）设他们可购买棵甲种树苗，依题意有，
解得
答：他们最多可购买棵甲种树苗1120棵．
热点3 一元二次方程及其应用
【例1】 （2024•石家庄模拟）将一元二次方程化成形如的形式，则的值为
A．7B．3C．D．10
【答案】
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边计算加上4，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值，然后计算它们的和即可．
【解答】解：，
，
，
，
所以，，
所以．
故选：．
【例2】 （2024•沈丘县一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是
A．1B．C．D．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意得，，
则．
故选：．
【例3】 （2024•南昌一模）已知关于的方程．
（1）当时，求原方程的解．
（2）若原方程有两个相等的实数根，求的值．
【答案】（1），；
（2）的值为．
【分析】（1）把代入方程，得，运用因式分解法解答即可；
（2）根据判别式的意义列不等式求解即可．
【解答】解：（1）当时，得方程为：
，
，
解得，；
（2）根据题意得且△，
解得，
即的值为．
【例4】 （2024•台江区校级模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）计算根的判别式得到△，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）解方程得到，，则，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：△
，
此方程总有两个实数根；
（2），
，，
此方程恰有一个根小于，
，
解得，
即的取值范围为．
【例5】 （2024•锦江区校级模拟）2023年亚运会在杭州举行，吉祥物莲莲、琼琼、底底”称之为“忆江南组合”．随着杭州亚运会的开幕，某特许零售店“亚运会吉祥物”的销售日益火爆．据调查“亚运会吉祥物”每盒进价8元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“亚运会吉祥物”售价每增长1元，月销量就将减20盒．若老板希望“亚运会吉祥物”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售份比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了盒，于是月销售利润达到了1650元，求的值．
【答案】（1）每盒售价最高为15元；
（2）的值为1．
【分析】（1）设每盒的售价为元，则月销量为盒，根据月销量不低于270盒，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）利用月销售利润每盒的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每盒的售价为元，则月销量为（盒，
依题意得：，
解得：．
答：每盒售价最高为15元；
（2）依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为1．
热点4 一元一次不等式（组）及其应用
【例1】 （2024•庐江县一模）不等式组的解集在数轴上表示为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解得，
不等式组的解集是，
故选：．
【例2】 （2024•大渡口区模拟）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】．
【分析】先解不等式组，然后根据不等式组的解集为，可得，从而可得：，再解分式方程可得，从而根据分式方程的解为负整数，可得且，进而可得且，最后根据分式方程的解为负整数可得或，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
，
解得：，
，
，
解得：，
分式方程的解为负整数，
且，
且，
且，
分式方程的解为负整数，
或，
所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：．
【例3】 （2024•临潼区一模）解不等式组：．
【答案】．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【例4】 （2024•台安县一模）照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、灯三个阶段，目前性价比最高的是灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号的照明灯共200只，甲型号照明灯的进价为30元只，乙型号照明灯的进价为60元只．
（1）若购进甲、乙两种型号的照明灯共用去7200元，求甲、乙两种型号照明灯各购进多少只．
（2）若商场准备用不多于8400元购进这两种型号的照明灯，问：甲型号照明灯至少购进多少只？
【答案】（1）甲型号照明灯购进160只，乙型号照明灯购进40只；
（2）甲型号照明灯至少购进120只．
【分析】（1）设甲型号照明灯购进只，乙型号照明灯购进只，根据购进甲、乙两种型号的照明灯共200只共花费7200元列出方程组求解即可；
（2）设甲型号照明灯购进只，则乙型号照明灯购进只，根据总费用不超过8400元列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲型号照明灯购进只，乙型号照明灯购进只．
根据题意，得
解得
答：甲型号照明灯购进160只，乙型号照明灯购进40只．
（2）设甲型号照明灯购进只，则乙型号照明灯购进只．
根据题意，得，
解得．
答：甲型号照明灯至少购进120只．
【例5】 （2024•瓯海区模拟）2023年10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行．某网红店看准商机，推出了和两款龙舟模型．该店计划购进两种模型共200个，购进模型的数量不超过模型数量的2倍．已知模型的进价为30元个，模型的进价为20元个，模型售价为45元个，模型的售价为30元个．
（1）求售完这批模型可以获得的最大利润是多少？
（2）如果模型的进价上调元，模型的进价不变，但限定模型的数量不少于模型的数量，两种模型的售价均不变．航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出的值．
【答案】（1）售完这批模型可以获得的最大利润是2665元；
（2）的值为2．
【分析】（1）设售完这批模型可以获得的总利润为元，利用总利润每个的销售利润销售数量（购进数量），可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（2）由购进模型的数量不少于模型的数量，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合（1）的结论可确定的取值范围，分，及三种情况，找出关于的函数关系式或的值，结合的最大值为2399，可求出的值，取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设售完这批模型可以获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值（元．
答：售完这批模型可以获得的最大利润是2665元；
（2）根据题意得：，
解得：，
又，且为正整数，
且为整数．
当时，，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，
解得：；
当时，，
即，不符合题意，舍去；
当时，，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：的值为2．
热点考题
一、选择题（共4小题）
1．（2023•广州）不等式组的解集在数轴上表示为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：．
2．（2023•永州）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用2022年间每年人均可支配收入年间每年人均可支配收入每年人均可支配收入的增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得．
故选：．
3．（2023•广元）关于的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】
【分析】先确定、、的值，在计算即可．
【解答】解：，，，
，
方程没有实数根．
故选：．
4．（2023•宿迁）古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？设有车辆，则根据题意，可列出方程是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【解答】解：设有辆车，则可列方程：．
故选：．
二、填空题（共3小题）
5．（2023•重庆）若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】4．
【分析】先解不等式组，根据至少有2个整数解求出的取值范围，再解分式方程，根据解是非负整数，可求出满足条件的的值，进一步求解即可．
【解答】解：解不等式组，得，
至少有2个整数解，
，
，
解分式方程，
得，
的值是非负整数，，
当时，，
当时，，
当时，，
是分式方程的增根，
（舍去），
满足条件的的值有3和1，
，
所有满足条件的整数的值之和是4．
故答案为：4．
6．（2023•宜宾）若关于的方程两根的倒数和为1，则的值为 ．
【答案】2．
【分析】设关于的方程两根为，，可得，，根据两根的倒数和为1，有，即，得，再检验可得答案．
【解答】解：设关于的方程两根为，，
，，
两根的倒数和为1，
，
，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
当时，原方程为，
△，
符合题意，
故答案为：2．
7．（2023•重庆）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】13．
【分析】先通过不等式组的解确定的范围，再根据分式方程的解求值即可得出答案．
【解答】解：解不等式组，
得：，
原不等式组的解集为：，
，
，
解分式方程，
得，
且，
且，
且，
，且，
符合条件的整数有：，0，2，3，4，5，
．
故答案为：13．
三、解答题（共5小题）
8．（2023•辽宁）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元．
（1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
（2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
【答案】（1）每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）最多可购买甲种驱蚊手环31个．
【分析】（1）设每个甲种驱蚊手环的售价是元，每个乙种驱蚊手环的售价是元，根据“卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种驱蚊手环个，则购买乙种驱蚊手环个，利用总价单价数量，结合总价不超过2500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个甲种驱蚊手环的售价是元，每个乙种驱蚊手环的售价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）设购买甲种驱蚊手环个，则购买乙种驱蚊手环个，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为31．
答：最多可购买甲种驱蚊手环31个．
9．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数、、、有，，，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：，，．
（1）求，，的值；
（2）已知关于的方程，，有两个实数根，求的取值范围．
【分析】（1）用新定义运算法则列式计算；
（1）先根据新定义得到，再把方程化为一般式，接着根据题意得到△且，解不等式即可．
【解答】解：（1），，；
（2）根据题意得，
整理得，
关于的方程，，有两个实数根，
△且，
解得且．
10．（2023•乐至县）端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？
（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子？
【答案】（1）每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
（2）至少购进600个粽子．
【分析】（1）设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，根据“购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元”列出方程组并解答；
（2）设购进个粽子，根据“全部售完后利润不低于1600元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，则：
．
解得．
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
（2）设购进个粽子，
根据题意，得．
解得．
因为是正整数，所以最小值取600．
答：至少购进600个粽子．
11．（2023•无锡）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先分别解两个不等式得到和，然后利用同小取小得到不等式组的解集．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
所以，；
（2），
解不等式①得，
解不等式②得，
所以不等式组的解集为．
12．（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的1.6倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解．
乙：，解得，经检验是原方程的解．
则甲所列方程中的表示 型玩具的单价 ，乙所列方程中的表示
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？
【答案】（1）型玩具的单价；型玩具的数量；
（2）116个．
【分析】（1）根据所列方程即可判断出的意义；
（2）设可购进型玩具个，则，解不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的表示型玩具的单价；乙所列方程中的表示型玩具的数量；
故答案为：型玩具的单价；型玩具的数量；
（2）设可购进型玩具个，则型玩具个，
根据题意得：，
，
整数最大值是116，
答：最多可购进型玩具116个专题热度
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命题热点
1．一次方程（组）及其应用
2．分式方程及其应用
3．一元二次方程及其应用
4．一元一次不等式（组）及其应用
热门方法
代入消元法、加减消元法、换元法、因式分解法、公式法、配方法
热点题型
解答题
名师点拨
1．一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的整式方程叫做一元一次方程．其中“一元”指只含一个未知数，“一次”指的是未知数的次数都是1．
2．解一元一次方程的一般步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→未知数的系数化为1
3．二元一次方程组的解法
（1）代入消元法的一般步骤
①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．
②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．
③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．
④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
（2）加减消元法的一般步骤
①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．
②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．
③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．
④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
（3）解二元一次方程组的方法选择
①当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
②当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
③方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法；
④当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”．
4．列二元一次方程（组）解应用题的主要步骤
（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系；
（2）设：设未知数（一般求什么，就设什么）；
（3）找：找出应用题中的相等关系；
（4）列：根据相等关系列出方程（或方程组）；
（5）解：解所列的方程（组），求出未知数的值；
（6）检：检验所求未知数的值是否符合题意；
（7）答：写出答案（包括单位名称）．
▲列一元一次方程（组）解应用题的关键是：寻找相等关系．
名师点拨
1．分式方程的定义
分母中含有未知数的等式叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
3．分式方程的应用基本思路和方法
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
名师点拨
1．判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
（1）一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
（2）一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
（3）一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．
2．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的常用解法
（1）当时，利用直接降次法解形如的一元二次方程，开方后不要丢掉负根．
（2）配方时，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，这种做法的前提是二次项系数必须是，这是最容易忘记的．
（3）公式法解一元二次方程的步骤：
①把方程化为一般形式；
②确定、、的值；
③计算的值；
④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式．
（4）若方程中有括号，不要急于去掉括号，观察方程是否可采用因式分解法求解．
（5）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为的形式，进而得到或来求解．
3．用根与系数的关系求值时的常见转化
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择
（1）当b=0时，首选直接开平法．
（2）当c=0时，首选因式分解法或配方法．
（3）当a=1，b≠0，c≠0时，首选配方法或因式分解法．
（4）当a≠1，b≠0，c≠0时，首选公式法或因式分解法．
5．列一元二次方程解应用题的主要步骤
（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）验；（6）答．
名师点拨
1．用数轴表示不等式的解集：
大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图．
x>ax>b
x＞a
两大取大
x