江苏省2024届高三下学期江苏七市二模考后提升卷数学模拟训练二

这是一份江苏省2024届高三下学期江苏七市二模考后提升卷数学模拟训练二，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题5分）已知a=1,2，b=x,−3，若a⊥a+b，则x=（ ）
A．1B．−1C．−32D．−12
2．（本题5分）四面体P−ABC中.若PA=PB=PC.则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（ ）
A．重心B．内心
C．外心D．垂心
3．（本题5分）某统计数据共有11个样本xii=1,2,...,11，它们依次成公差d=2的等差数列，若第60%位数为25，则它们的平均数为（ ）
A．25B．19C．21D．23
4．（本题5分）已知奇函数fx满足fx+2=fx，当x∈0,1时，fx=2x，则flg23=（ ）
A．−83B．−43C．−23D．−13
5．（本题5分）已知x>0，y>0且x+y=1，则x21+x2+y21+y2的最小值为（ ）
A．15B．25C．35D．45
6．（本题5分）对任意x∈(1,+∞)，都有csπ2x≥ax−a成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,−1)B．(−∞,−1]C．−∞,−π2D．−∞,−π2
7．（本题5分）已知抛物线C的方程为y=14x2，F为其焦点，点N坐标为0,−4，过点F作直线交抛物线C于A、B两点，D是x轴上一点，且满足DA=DB=DN，则直线AB的斜率为（ ）
A．±112B．±152C．±2D．±3
8．（本题5分）已知角α,β满足：sinα+sinβ=5sinα−β，其中α−β≠π+2kπ，α≠π+2kπ，β≠π+2kπk∈Z，则tanα2tanβ2=（ ）
A．1B．32C．2D．52
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（本题6分）抛物线C:x2=2py的焦点为F、P为其上一动点，当P运动到t,1时，PF=2，直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(2，2)，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：x2=8y
B．抛物线的准线方程为：y=−1
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．以M为中点的弦的直线方程为：y=x
10．（本题6分）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A．P(A1)=35B．P(B)=1150
C．PBA1=950D．P(A2B)=211
11．（本题6分）已知函数fx的定义域为R,∀x,y∈R，fx+y−fx−y=2f12−xfy，且f12=1，则（ ）
A．fx为偶函数
B．fx=2fx2f1−x2
C．f1+2f2+3f3+⋅⋅⋅+2023f2023=1
D．[fx]2+f12−x2=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（本题5分）i为虚数单位，复数z+z=8+4i，复数z的共轭复数为z，则z的虚部为 ．
13．（本题5分）在△ABC中，AB=5，C=π4，且tanA=3，则AB边上的高ℎ= .
14．（本题5分）已知球O的表面积为12π，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为△BCD的外心，棱AB与球面交于点P．若A∈平面α1，B∈平面α2，C∈平面α3，D∈平面α4，αi//αi+1(i=1,2,3)且αi与αi+1(i=1,2,3)之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与α2交于点Q，R，则△PQR的周长为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）生物病毒（Bilgical virus，以下简称病毒）是一种个体微小，结构简单，只含一种核酸（DNA或RNA）的非细胞型生物．一部分病毒可以感染人类，导致人类出现病毒性疾病．研究人员为了研究某种病毒在常温下的存活时间与空气相对湿度（以下简称湿度）的关系，对100株该种病毒的存活时间（单位：小时）进行统计，如果存活时间超过8小时，即认为该株病毒“长期存活”，经统计得到如下的列联表，
(1)在犯错误概率不超过0.05的前提下，判断该病毒“长期存活”是否与湿度有关；
(2)以样本中的频率估计概率，设在常温下，空气相对湿度在40%及以下的1000株病毒中恰有kk∈N*株病毒为“长期存活”的概率为Pk，求当Pk取得最大值时，k的值．
附：K2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d；
16．（本题15分）已知函数fx=mx2−x−lnxm∈R.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若对任意的x>0，不等式fx>2x2恒成立，求m的取值范围.
17．（本题15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求证：PB⊥平面DEF;
(2)求二面角B−DE−F的正弦值．
18．（本题17分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2=2ann∈N∗.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足6n2−t+3bnn+2bn=0（t∈R，n∈N*）.
①试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入bk个2，得到一个数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m．
19．（本题17分）已知复平面上的点Z对应的复数z满足z2−z2−9=7，设点Z的运动轨迹为W．点O对应的数是0．
(1)证明W是一个双曲线并求其离心率e；
(2)设W的右焦点为F1，其长半轴长为L，点Z到直线x=Le的距离为d（点Z在W的右支上），证明：ZF1=ed；
(3)设W的两条渐近线分别为l1，l2，过Z分别作l1，l2的平行线l3，l4分别交l2，l1于点P，Q，则平行四边形OPZQ的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
空气相对湿度
是否存活
合计
长期存活
非长期存活
湿度40%以上
15
35
50
湿度40%及以下
5
45
50
合计
20
80
100
PK2≥k0
0.1
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
参考答案：
1．A
【详解】a+b=x+1,−1，由a⊥a+b得a⋅a+b=1×x+1+2×−1=0，
解得x=1.
故选：A.
2．C
【详解】设P在平面ABC射影为O，
∵PA=PB=PC,PO=PO=PO（公用边），∠POA=∠POB=∠POC=90°，
∴△POA≅△POB≅△POC，
∴OA=OB=OC.
∴O是三角形ABC的外心．
故选：C．
3．D
【详解】由题意可知共有11个样本，且xii=1,2,...,11从小到大依次排列，
因为11×60%=6.6，所以x7=25，
所以x1+x2+...+x11=11×x1+x112=11×2x62=11x7−d=253，
所以这11个样本的平均数为25311=23，
故选：D
4．B
【详解】因为lg23∈lg22,lg24=1,2，
所以−lg23∈−2,−1，2−lg23∈0,1，
故f−lg23=f2−lg23=22−lg23=22÷2lg23=43，
因为fx为奇函数，所以flg23=−f−lg23=−43.
故选：B
5．B
【详解】因为x+y=1，所以x+y=1≥2xy，当且仅当x=y=12时等号成立，
所以00，所以x1x2=−4．
又DA=DB=DN=a2+42，即x1−a2+y12=x2−a2+y22=a2+42，
即x12+y12−2ax1−16=0，x22+y22−2ax2−16=0，
故Ax1,y1，Bx2,y2是方程x2+y2−2ax−16=0的解，
将y=kx+1代入方程x2+y2−2ax−16=0，
整理得1+k2x2+2k−2ax−15=0，显然Δ>0，
∴−151+k2=x1x2=−4，
∴k2=114，即k=±112．
故选：A．
8．B
【详解】因为sinα=sinα+β2+α−β2=sinα+β2⋅csα−β2+csα+β2sinα−β2，
sinβ=sinα+β2−α−β2=sinα+β2csα−β2−csα+β2sinα−β2，
所以sinα+sinβ=2sinα+β2csα−β2，又sinα−β=2sinα−β2⋅csα−β2，
于是由sinα+sinβ=5sinα−β可得2sinα+β2csα−β2=5×2sinα−β2csα−β2，即2csα−β25sinα−β2−sinα+β2=0，
所以csα−β2=0或5sinα−β2−sinα+β2=0．
因为α−β≠π+2kπk∈Z，所以csα−β2≠0，
所以5sinα−β2−sinα+β2=0，即5sinα−β2=sinα+β2，
所以5sinα2csβ2−csα2sinβ2=sinα2csβ2+csα2sinβ2，即4sinα2csβ2=6csα2sinβ2，
所以tanα2=32tanβ2，即tanα2tanβ2=32.
故选：B．
9．BCD
【详解】对于A：当P运动到t,1时，PF=1+p2=2，故p=2，即抛物线为x2=4y，故A错误；
对于B：由x2=4y，故抛物线的准线方程为：y=−1，故B正确；
对于C：当直线l过焦点F时，设A为x0,y0，则FA=y0+p2=y0+1，
故以AF为直径的圆的半径为y0+12，又F0,1，故以AF为直径的圆的圆心坐标为x02,y0+12，
圆心到x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与x轴相切,故C正确；
对于D：设M(2，2)是Ax1,y1,Bx2,y2的中点, x12=4y1,x22=4y2，相减可得y2−y1x2−x1=x2+x14，
由于x2+x12=2，故kAB=y2−y1x2−x1=1,又直线经过点M2,2,故直线方程为y=x，则D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【详解】依题意可得P(A1)=35，P(A2)=25，PBA1=C32C52=310，PBA2=C22C52=110，
所以PB=PA1PBA1+PA2PBA2=35×310+25×110=1150，故A正确、B正确、C错误；
P(A2B)=PA2BPB=PB|A2PA2PB=110×251150=211，故D正确.
故选：ABD
11．BD
【详解】因为∀x,y∈R,fx+y−fx+y=2f12−xfy，
令x=0，得fy−f−y=2f12fy=2fy，即f−y=−fy，所以函数fx为奇函数，故选项A不正确；
用x2替换x，令y=x2，得fx2+x2−fx2−x2=2f12−x2⋅fx2，即fx−f0=2f1−x2fx2，
又函数fx为奇函数，所以f0=0，所以fx=2f1−x2fx2，故选项B正确；
令x=12，得f12+y−f12−y=2f0⋅fy=0，
即f12+y=f12−y=−fy−12，即fy+1=−fy，
所以fy+2=−fy+1=fy，所以函数fx的周期为2，
再由fx=2f1−x2fx2，令x=1，可得f1=2f0⋅f12=0，
由函数的周期性可知，f1=f3=f5=⋅⋅⋅=f2023=0，f2=f4=f6=⋅⋅⋅=f2022=0，
所以f1+2f2+3f3+⋅⋅⋅+2023f2023=0，故选项C不正确；
由fx+y−fx−y=2f12−xfy，
令y=12−x，得fx+12−x−fx−12+x=2×f12−x2，
即1−f2x−12=2f12−x2①．
由fx+y−fx−y=2f12−xfy，
令x=12−y，得f12−y+y−f12−y−y=2[fy]2，
即1−f12−2y=2[fy]2，可得1−f12−2x=2[fx]2②．
由①+②整理后可得2=2f12−x2+2[fx]2，即[fx]2+f12−x2=1，故选项D正确.
故选：BD．
12．−4
【详解】解法一：
设复数z=x+yix,y∈R，则x+yi+x2+y2=8+4i，
由复数相等，得x+x2+y2=8y=4，解得x=3，即复数z=3+4i，
所以z=3−4i，所以z的虚部为−4．
解法二：
由z+z=8+4i，得z=8−z+4i．因为z是实数，所以8−z也是实数，
则有z=8−z−4i，所以z的虚部为−4．
故答案为：−4
13．6
【详解】tanA=3=sinAcsA，注意到sin2A+cs2A=1，A∈0,π，
可得sinA=31010，csA=1010，sinB=sinA+C=31010⋅22+1010⋅22=255，
由正弦定理得ABsinC=ACsinB，得AC=210，
所以ℎ=AC×sinA=210×31010=6.
故答案为：6.
14．1+7
【详解】设αi与αi+1(i=1,2,3)之间的距离为d，设球O的半径为R，则由题意得4πR2=12π，解得R=3，
所以OB=OP=3，所以AB=BC=3OB=3，所以OA=AB2−OB2=6，
由A，P，B三点共线，故存在实数λ使得OP=λOA+1−λOB02+1x+lnxx2，
设gx=2+1x+lnxx2，x∈0,+∞，
则g′x=−1x2+1−2lnxx3=−x+1−2lnxx3，
设ℎx=−x+1−2lnx，x∈0,+∞，
因为ℎ′x=−1−2x0，即g′x>0，所以gx在0,1上单调递增，
当x∈(1,+∞)时，ℎx0，则d=a−83=a−83，
ed=324a−83=324a−22，ZF1=a−32+b2
由a28−b2=1得b2=a28−1，代入得ZF1=a−32+b2=a−32+a28−1=98a2−6a+8=324a−222 =324a−22=ed
所以ZF1=ed，原式得证．
（3）由（1）得W的两条渐近线l1：y=24x，l2：y=−24x，
由对称性，不妨设z=a+bia,b∈R,a>0，则kl3=kl1=24，
所以l3：y=24x−a+b，同理得l4：y=−24x−a+b．
联立l2和l3：y=−24xy=24x−a+b，得Pa2−2b，b2−28a，
易知直线OZ：bx−ay=0，所以点P到直线OZ的距离d=ba2−2b−ab2−28aa2+b2=28·8b2−a2a2+b2
由（1）a2−8b2=8，所以d=28·8b2−a2a2+b2=28·8a2+b2=2a2+b2
而OZ=a2+b2，所以S△OPZ=12·d·OZ=12×2a2+b2×a2+b2=22
S▱OPQZ=2S△OPZ=2，故平行四边形OPQZ的面积为定值2．