湖北省华中师范大学第一附属中学、湖南省湖南师范大学附属中学等三校2024届高三下学期4月模拟考试（二模）数学试卷（原卷版+解析版）

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★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置．
2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．
3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内．答在试题卷上或答题卷指定区域外无效．
4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集确定集合，根据对数函数的定义域确定集合，再根据集合的交集运算得结果.
【详解】因为集合，
则.
故选：D．
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项.
【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
3. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.
【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，
所以
.
故选：D．
4. 青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到方程组，求出，根据得到.
【详解】依题意，，两式相减可得，，
故，而，故.
故选：C．
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】由
.
故选：A．
6. 已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
【答案】C
【解析】
【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解．
【详解】如图，设，分别延长交于点，此时，
连接交于，连接，
设平面与平面的交线为，则，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，设，则，
此时，故，连接，
所以五边形为所求截面图形，
故选：C．

7. 已知数列的前项和为，，，且是，的等差中项，则使得成立的最小的的值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得到是等比数列，进而得到，利用错位相减法求出，构造函数，并利用导数判断函数的单调性，即可求出符合条件的的最小值.
【详解】是，的等差中项，
，故，
而，，
故数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
，
记，则，
，
两式相减可得，，
即，令，即，
设，则，
，，在单调递减，
是递减数列，
当时，，
当时，，
使得成立的最小的的值为11.
故选：D.
8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指对混合型不等式，利用指对运算将不等式转化成，根据结构相同设函数，利用函数的单调性及取值情况，将问题转化为，令，求导确定最值即可得实数的取值范围.
【详解】依题意得，，故，
令，则，令可得，
所以时，，则在上单调递减，时，，则在上单调递增；
且当时，，当时，；
则由，得，则
令，则，
故当时，，单调递减，当时，单调递增，
故，则，则实数取值范围为.
故选：D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若函数在上单调，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】BD
【解析】
【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.
【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下：
结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或；
②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下：
结合图象可知，要使函数在上单调，
则，或，或，或
解得：，或，
综上：或；
故选：BD
10. 已知函数，则（ ）
A. 若，，则将函数的图象向右平移个单位后关于y轴对称
B. 若，函数在上有最小值，无最大值，且，则
C. 若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为
D. 若在上至少有2个解，至多有3个解，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角函数图像平移及正弦函数性质可逐一判定各选项.
【详解】对于A：若，，则，将函数图象向右平移个单位后得，
其图象关于y轴对称，故A正确；
对于B：依题意，当时，有最小值，所以，
所以，所以，
因为在区间上有最小值，无最大值，所以，即，
令，得，故B错误；
对于C：依题意有，则或，故C正确；
对于D：因为，则或，
则或，
则需要上述相邻三个根的距离不超过，相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过，
即，解得，故D正确；
故选：ACD．
11. 已知抛物线C：的焦点为，点在抛物线C上，则（ ）
A. 若三点共线，且，则直线的倾斜角的余弦值为
B. 若三点共线，且直线的倾斜角为，则的面积为
C. 若点在抛物线C上，且异于点，，则点到直线的距离之积为定值
D. 若点在抛物线C上，且异于点，，其中，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】分别设定抛物线C和直线的方程，设，，联立求得关于点坐标的韦达定理形式，进而转化各个选项即可；选项A，将转化为，求解即可；选项B，，求解即可；选项C，求得点的坐标，进而求得点到直线的距离，求解即可；选项D，设点到直线的距离为，可得，求解即可.
【详解】对A，设抛物线C：，设直线：，
设，，联立，
则，，
由于，可得，代入上式得：，
解得：，且直线的斜率为，
设直线MN的倾斜角为，则，且，
则，解得，故A错误；
对B，设抛物线C：，且直线的倾斜角为，
设直线：，
设，，联立，
则，，
，故B正确；
对C，由于点在抛物线C上，此时抛物线C：，
设，，
设直线AM：，
联立
则，解得（舍去，此时重合）或，
则点到直线的距离为，
同理可得，因为，则到直线的距离为，
故所求距离之积为，故C正确；
对D，由于点在抛物线C上，此时抛物线C：，
设直线AM：，
与抛物线方程联立可得，
则，则，用替换可得，
则，
则，，
故直线MN：，即，
则点F到直线MN的距离，
而
即，
，
得，
令，
故，
，
当且仅当时等号成立，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：若点在抛物线C上，且异于点，，则直线的斜率为定值，且该定值为处切线斜率的相反数.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 关于双曲线C：，四位同学给出了四个说法：
小明：双曲线C的实轴长为8；
小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线C的离心率为；
小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是______；双曲线C的方程为______．（第一空的横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）
【答案】 ①. 小强 ②. ．
【解析】
【分析】根据题意，小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的，小明和小红正确，小强的说法错误，得解.
【详解】由此确定
由题意，小明正确则有，小红正确有，小强正确有，小同正确则有，
由此分析小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的，
即，则小明和小红正确，即双曲线C：，故小强的说法错误．
故答案为：小强；.
13. 已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长，取线段的中点，取线段的中点，根据向量的线性运算及数量积的运算性可得，且再由三角形三边关系列不等式得结论.
【详解】依题意，设的外接圆的半径为，则，故，
在等边中由正弦定理得，则；
取线段的中点，连接，则，
所以；
取线段的中点，连接，则在线段上，且，所以，
则又，
故，则．
故答案为：.
14. 已知空间四面体满足，则该四面体外接球体积的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设分别为的中点，连接，结合三角形全等可证是线段的垂直平分线，同理可证是线段的垂直平分线，故而判断球心在上，由三角形两边之和大于第三边可得的范围，结合图形判断球心的位置以及半径，从而求出结果.
【详解】设分别为的中点，连接，
由已知，，故，因为是的中点，所以，
因为为的中点，故，即是线段的垂直平分线；
同理可得，是线段的垂直平分线，故球心在上，
设球的半径为，球心为，则，即，故，
此时为线段的中点，且，故所求外接球体积的最小值为．
故答案为：

四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
（1）观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；
（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式：.参考数据：.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据表格数据利用公式求出即可求解.
（2）将代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可.
【小问1详解】
依题意，，
，
故，
，故所求回归直线方程为.
【小问2详解】
由（1）可知，当时，，
故所求残差为.
16. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，求得，
解法1：根据题意，转化为，结合，结合基本不等式，即可求解；
解法2：根据题意，转化为，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，，解得，
当时，，
两式相减可得，，
则，
叠加可得，，则，
而时也符合题意，
所以数列的通项公式为．
【小问2详解】
解：由（1）知，可得，
故；
解法1：由，可得，
即，即则，又由，
当且仅当时取等号，故实数的取值范围为．
解法2：由，
可得，
当，即时，，
则，故实数的取值范围为．
17. 已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）不妨设，根据线面垂直的性质证明，利用勾股定理证明，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
不妨设，
因为平面平面，故，
在中，，
由余弦定理，，
得，故，则，
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
【小问2详解】
由（1）知，两两垂直，
如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
则，
故，
，所以，
设，则，即，
所以；
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，所以，
因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故．
18. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，讨论曲线与曲线的交点个数．
【答案】（1）；
（2）2．
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，
（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.
【小问1详解】
依题意，，故，
而，故所求切线方程为，即．
【小问2详解】
令，故，
令，
，令，
．
①当时，，
在上为减函数，即在上为减函数，
又，
在上有唯一的零点，设为，即．
在上为增函数，在上为减函数．
又
，
在上有且只有一个零点，在上无零点；
②当时，单调递减，
又，
在内恰有一零点；
③当时，为增函数，
，
单调递增，又，所以存在唯一，
当时，递减；当时，递增，，
在内无零点．综上所述，曲线与曲线的交点个数为2．
【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
19. 已知椭圆C：短轴长为2，左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，，，直线与直线MO交于点，直线与直线NO交于点．
（1）若的坐标为，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足，，成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；
（3）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由椭圆的性质可得，再由两中线的交点为重心和重心的性质得到点，代入椭圆方程可得即可；
（2）由等差中项的性质得到，再由弦长公式得到，然后分当AB斜率存在时由点差法得到，再由点斜式写出弦的中垂线方程，当时，得到；当AB斜率不存在时，此时AD：，；最后得到范围；
（3）解法一：根据重心性质及面积公式得，，再结合已知不等式条件解不等式组可得，然后直曲联立得到；转化为对任意的t恒成立，解不等式即可；解法二：根据重心的性质可得，再由几何图形的面积关系结合三角形的面积公式得到；，后同解法一.
【小问1详解】
依题意，，故椭圆C：；
易知点为的重心，则，故，
代入椭圆方程得∴椭圆C的方程为；
【小问2详解】
∵，，成等差数列，．∴．
设，，AD中点．，
由弦长公式
，
∵，∴，
同理，代入可得，
①当AB斜率存时两式作差可得，，
∴，
∴弦AD的中垂线方程为，
当时，，即AD的中垂线的纵截距．
∵在椭圆C内，∴，得，且．
②当AB斜率不存在时，此时AD：，．
∴综上所述，即弦AD的中垂线的纵截距的取值范围为．
【小问3详解】
解法一：易知点，分别为，的重心，设，，设点，，则根据重心性质及面积公式得，
，
而∴，
∴，∴，，
设直线l：，则联立椭圆方程得
消元化简得，，，
∴，，
∴，
∴对任意的t恒成立，
即，故实数a的取值范围为．
解法二：易知点为的重心，，
∴，，，
此时，设点，，，，则根据重心的性质可得，
∴，，，
∴，；；
而，∴，
∴，；
设直线l：，则联立椭圆方程得
消元化简得，，，
∴，，
∴，
∴对任意的t恒成立，
即，故实数a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：
（1）三角形重心分得线段长度比为；
（2）当求椭圆的中点弦或中点弦的垂直平分线时可用点差法较为容易.天数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
作物高度y/cm
9
10
10
11
12
13
13
14
14
14