重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知，则m等于( )
A.1B.3C.1或3D.1或4
2．函数在上的图像大致为( )
A.B.
C.D.
3．在中国地图上，西部五省（甘肃、四川、青海、新疆、西藏）如图所示，有四种颜色供选择，要求每省涂一色，相邻省不同色，则不同的涂色方法有( )种.
A.48B.72C.96D.120
4．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．3个0和2个1随机排成一行，则2个1相邻的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知椭圆C：（）的左右焦点分别为、，P为椭圆上一点，，若坐标原点O到的距离为，则椭圆离心率为( )
A.B.C.D.
7．有2男2女共4名大学毕业生被分配到A、B、C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为( )
A.12B.14C.36D.72
8．已知函数，关于x的方程恰有两个不等实根，，则的最大值为( )
A.eB.C.D.
二、多项选择题
9．下列导数运算正确的有( )
A.B.C.D.
10．已知等差数列是递减数列，为其前n项和，且，则( )
A.B.
C.D.、均为的最大值
11．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则( )
A.全部投入4个不同的盒子里，共有种方法
B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种方法
C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种方法
D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
12．已知函数的定义域为，则下列说法正确是( )
A.若函数无极值，则
B.若，为函数的两个不同极值点，则
C.存在，使得函数有两个零点
D.当时，对任意，不等式恒成立
三、填空题
13．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有__________种.（填数字）
14．已知的展开式中含项的系数为，则______.
15．如图，直三棱柱中，，，P为线段上的一个动点，则的最小值是___________.
16．已知函数有三个零点，，，且有，则的值为________.
四、解答题
17．已知，.
（1）若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；
（2）苦，且，求.
18．已知函数，，a是的极大值点.
（1）求a的值；
（2）求函数的极值.
19．已知数列的前n项和为，满足.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围.
20．如图，四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，且底面ABCD.
（1）证明：平面平面PBC；
（2）若二面角为，求AP与平面PBC所成角的正弦值.
21．已知点，，动点，满足直线与直线的斜率之积为，记动点S的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程.
（2）设经过点且不经过点的直线l与曲线C相交于M，N两点，求证:为定值.
22．已知函数.
（1）若函数的最小值为0，求实数a的值；
（2）证明：对任意的，，恒成立.
参考答案
1．答案：C
解析：由可知:或者，解得:或.
故选：C.
2．答案：B
解析：函数定义域为，
而，且，
即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；
而当时，，排除选项A，选项B符合要求.
故选：B.
3．答案：B
解析：先进行编号：新疆A、甘肃B、青海C、西藏D、四川E，
按的顺序进行涂色，其中B、D颜色可以相同或不相同，
所以不同的涂色方法数有种.
故选：B.
4．答案：D
解析：因为在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
而，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
所以实数a的取值范围为.
故选：D.
5．答案：B
解析：将3个0和2个1随机排成一行，只需要在5个位子中选2个放1即可，有种排法；
其中2个1相邻，只需要将2个1捆绑，在4个位子中选1个放1即可，有种排法；
则2个1相邻的概率为.
故选：B.
6．答案：D
解析：设，，
作，，
由题意可得，，，
即有，，由，
可得，
因为，在直角三角形中，由勾股定理得，
可得.
故选：D.
7．答案：B
解析：由题意，可分为两种情况：
①若A厂只接收1个女生，有种分派方案，
则B、C厂分派人数可以为1，2或2，1，则有种分派方案，
由分步计数原理可得，共有种不同的分派方案；
②若A厂接受2个女生，只有1种分派方案，
则B、C厂分派人数为1，1，则有种分派方案，
此时共有种不同的分派方案，
综上，由分类计数原理可得，共有种不同的分派方案.
故选：B.
8．答案：B
解析：作出函数的图像如下图所示：
由图像可知，当时，直线与函数的图像有两个交点，，
，则，可得，
，
构造函数，，
则，
当，，此时函数单调递增，
当，，此时函数单调递减，
，
故选：B.
9．答案：CD
解析：对于A选项，，故错误；
对于B选项，，故错误；
对于C选项，，故正确；
对于D选项，，故正确.
故选：CD.
10．答案：BD
解析：因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，故C错误；
因为由题意得，，所以，，故D正确；
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种方法，A正确；
对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：
全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种方法，B错误；
对于C：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种方法，C正确；
对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种方法，D正确；
故选：ACD.
12．答案：BCD
解析：对于A，若函数无极值，，，
则或恒成立，则或，
当，则，解得：或，故A不正确；
对于B，若，为函数的两个不同极值点，，所以，
因为，则，，故B正确；
对于C，存在，使得函数有两个零点，与有两个交点，
在处的切线平行于轴，过原点的切线在的左侧稍微旋转后可得两个交点，故C正确；
对于D，当时，对任意，不等式恒成立，
，
，
，，
令，
对任意恒成立，
在上单减，，
对任意恒成立，所以，
在上单减，，
对任意恒成立，故D正确.
故选：BCD.
13．答案：144
解析：第一步：现将除甲乙丙之外的三个人全排列，有种方法，
第二步；将甲乙捆绑看成一个整体，然后连同丙看成两个个体，插空共有种方法，
第三步：甲乙两个人之间全排列，
由分步乘法计数原理可得总的排法有，
故答案为：144.
14．答案：/
解析：，
又的展开式通项为，
的展开式通项为，
，解得.
故答案为：.
15．答案：
解析：将图1中的和放置于同一个平面内，如图2所示，
则.
直三棱柱中，，，
在中，，.
同理，在中，，
，
在图2中，，
，
的最小值是.
16．答案：12
解析：若，则，即，
当时，可得，不成立，故，
等式两边同除以，得，
即，
令，则，
，
方程有两个不等的实根，，，，
令，则，令，，
当时，，当或时，，
即函数在上单调递减，在，上单调递增，，
如下图所示，
函数有三个零点，，，，
，，
由图可知，.
故答案为：12.
17．答案：（1）594
（2）
解析：（1）由于的二项展开式中第7项的二项式系数为且最大，可得，则，所以当时，故展开式中的系数为594.
（2）若，由可知当为奇数时，即x的奇次项系数为正，当为偶数时，即x的偶次项系数为负，所以，又，故.
18．答案：（1）1
（2）极大值，极小值
解析：（1）函数的定义域为，
导函数为，
是函数的极大值点，
，即，
解得或，
当时，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，函数取得极大值，符合题意；
当时，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递減，
当时，，函数在上单调递增，
当时，函数取得极小值，不符合题意；
综上，.
（2）当时，，
由（1）可得当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值.
19．答案：（1）证明见详解；，
（2）
解析：（1）①，
，②.
①-②得，即，
变形可得，
又，得，
故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式可得，
，.
（2）令，则，
，
当或时，，
当，时，，
又，，
因为不等式对任意的正整数n恒成立，
，解得.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）在平行四边形中，，，，
平面，平面，，
，，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：
设，则，在中，，
平面，平面，，
，平面，平面，
在二面角的平面角，即，
在中，，
在平行四边形中，，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，化简可得，
令，，解得平面的一个法向量，
设与平面的夹角为，
.
21．答案：（1），
（2）证明见解析
解析：（1）因为，直线与直线的斜率之积为，
所以，即，，
化简可得:，，
故曲线C的方程为:，.
（2）证明:①当直线l的斜率不存在时，直线，
与曲线C联立可得:，，
此时，，
所以；
②当直线l的斜率存在时，设直线，
因为直线l经过点且不经过点，
所以，，设，，
联立可得:，
所以，解得:，
由韦达定理可得:，，
因为，，
所以
，
综上:为定值2.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当时，函数的定义域为，，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以，可得；
当时，函数的定义域为，，
在上单调递减，无最小值，不合题意.
综上，.
（2）证明：由（1）可得不等式恒成立，用替代x可得，
，由，
即证，即证，
令，构造函数，，
由，，
所以，在上单调递减，，
所以，
由于，在，上同号，在时两式相等，
所以，
所以对任意的，，恒成立.