中考数学（江西卷）-2024年中考第一次模拟考试

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2、锻炼学生管理时间。通过模拟考试就会让同学们学会分配时间，学会取舍。
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中考的取胜除了平时必要的学习外，还要有一定的答题技巧和良好心态。此外，通过模拟考试还能增强学生们面对高考的信心，希望考生们能够重视模拟考试。
2024年中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】本题考查倒数的定义，
乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可．
【详解】解：的倒数是，
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式对各选项依次判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式的运算法则，完全平方公式等知识．熟练掌握各运算法则和的应用是解题的关键．
3．第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口的直径与托盘的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
【详解】解：∵茶口的直径与托盘的直径相同，
∴俯视图如选项B所示，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
4．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．随的增大而增大
B．它的图象经过第三象限
C．它的图象与轴的交点坐标为
D．将该函数的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质分析即可得到答案．
【详解】解：A．，
随的增大而减小，故A错误，不符合题意；
B． ，
函数图象经过一、二、四象限，故B错误，不符合题意；
C．当时，，解得，它的图象与轴的交点坐标为，故C错误，不符合题意；
D．将该函数的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
5．如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为（ ）

A．40°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【分析】根据中点性质和翻折性质得到，得到，根据三角形外角性质得到，根据翻折性质得到，根据等边三角形性质得到，根据三角形内角和定理得到．
【详解】∵D是中点，
∴，
由翻折知，，
∴，
∴，
∴,
∴，
∵等边中，，
∴中，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形，折叠，等腰三角形，三角形内角和等．解决问题的关键是熟练掌握等边三角形性质，折叠图形全等的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理及三角形外角性质．
6．如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①，②（为任意实数）；③若点为对称轴上的动点，则有取大值，最大值为；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的序号有（ ）．
A．①②③④B．①②③C．③④D．①②④
【答案】D
【分析】根据抛物线开口向下可得，根据对称性求出对称轴为直线，则，再由抛物线交y轴的正半轴，得到，由此即可判断①；根据时，二次函数有最大值，最大值为，则，即可判断②；由对称性可知，则，即可判断③；先求出，进而推出，则，由m是方程的一个根，得到或，然后分别计算出的值即可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与x轴交于点，，
对称轴为直线，
，
抛物线交y轴的正半轴，
，
，故①正确；
对称轴为直线，开口向下，
时，二次函数有最大值，最大值为，
（m为任意实数）即，故②正确；
对称轴交y轴的正半轴于点C，
，
由对称性可知，
，故③不正确；
抛物线与x轴交于点，
，
，
，
，
，
m是方程的一个根，
或，
当时，，
当时，，
若m是方程的一个根，则一定有成立，故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，解决本题关键是运用二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与x轴交点进行计算．

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解＝ ．
【答案】
【分析】提公因式后运用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
8．节俭办赛是北京申奥的一大理念和目标．根据此次冬奥会财政预算，赛事编制预算约为亿美元，亿可用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：亿．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示形式和的值的取值要求是解题关键．
9．已知菱形的对角线的长度是关于的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 ．
【答案】24
【分析】本题考查根与系数的关系，以及菱形的性质．根据根与系数的关系得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出结果．掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
∵是菱形的对角线，
∴菱形的面积等于；
故答案为：24．
10．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．

【答案】
【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵和均为直角
∴，
∴，
∴
∵，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．如图所示， ．

【答案】360
【分析】如图：根据三角形外角的性质可得、，进而得到，最后根据四边形的内角和即可解答．将所求角的和转化为四边形的内角和是解题的关键．
【详解】解：如图：根据三角形外角的性质可得、，则．
故答案为360．

12．如图，正方形的边长为12，为边上一动点，在运动的过程中，始终保持于，于．若的长为整数，则的长可以为 ．

【答案】6或7或8
【分析】如图，连接，由正方形性质，得，可证四边形是矩形，得，进而可证点E位于的中点时，由等腰三角形三线合一及垂线段最短知此时取最小值；勾股定理求得此时；图中，，；于是，得的整数值为6，7，8．
【详解】解：如图，连接，
正方形中，，，，
∴
∴四边形是矩形．
∴．
当点E位于的中点时，
∵
∴，此时，取最小值；
中，．
中，，即的最小值为6.
如图，，；
∴
∴
∴的整数值为6，7，8．

【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形性质，垂线段最短；运用矩形的性质作线段的等量转换是解题的关键．
解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）1≤x＜3．
【分析】（1）先根据零次幂、绝对值和负整数次幂化简，然后计算即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，然后再求不等式组的解集．
【详解】解：（1）
=
=3；
（2）
由①得：x≥1
由②得：x＜3
所以该不等式组的解集为：1≤x＜3．
【点睛】本题考查了实数的运算和不等式组的解法，掌握实数的运算法则和解不等式的方法是解答本题的关键．
14．如图，，，，垂足分别为，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
15．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC；
（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，弧AC=弧BC，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．
【详解】（1）如图1，直径CD为所求；
（2）如图2，弦AD为所求．
16．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为_______．
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，；
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）通过画树状图，可得共有种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）通过卡片上的字，可以看到是轴对称图形的为“文”，
∴卡片上的字是轴对称图形的概率为，
故答案为：，
（2）画树状图如解图，

由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种，
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为．
17．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)C是反比例函数的图象上的一点，连接，若，求直线的函数表达式．
【答案】(1)反比例函数的表达式为；
(2)直线BC的函数表达式为．
【分析】（1）分别把，代入，求出和的值，因为反比例函数 的图象经过点，由此求出值即可；
（2）过点作轴于点，由，得，设点的坐标为，则，解方程求出值即得点的坐标，再用待定系数法求解即可．
【详解】（1）把代入 得，
，
把解得代入 得，
，
点的坐标为．
反比例函数 的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2），
．
如图，过点作轴于点，
，
，
设点的坐标为，则，解或（负值舍去），
点的坐标为．
设直线的函数表达式为，
把，代入得，解得，
直线的函数表达式为．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．某区中小学举行硬笔书法比赛，由学校初赛选拔人员参加全区比赛，为选拔人员参赛，校经过宣传，组织硬笔书法爱好者训练后举行校内硬笔书法比赛，赛后评审中根据作品的质量确定五种获奖等级的人数，并对获奖情况进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题．

(1)求参赛的总人数，并将条形统计图补全；
(2)求在获奖中人数的中位数和方差；
(3)为勉励学生努力提升人文素养，培养书法人才，对各校初赛获一等奖者颁发“小小书法家”证书，全区各校统一制作证书，若各校初赛统一按总比例确定初赛人数和获奖人数，若校有名学生，该区共有名中小学生，估计该区获得“小小书法家”证书的总人数．
【答案】(1)参赛的总人数人，补全条形统计图见解析
(2)获奖人数的中位数为，获奖人数的方差为
(3)可估计该区名中小学生中，获得“小小书法家”证书的总人数为人
【分析】（1）根据“参与奖”的获奖人数为人，且占比为解答即可；
（2）根据中位数的定义及方差的定义解答即可；
（3）根据抽样中一等奖的占比估算该区的总人数即可解答．
【详解】（1）解：∵“参与奖”的获奖人数为人，且占比为，
∴参赛的总人数为（人）.
∴一等奖的人数为（人）
补全条形统计图如下：

（2）解：∵获奖人数为，，，，，
∴获奖人数的中位数为，
∵获奖人数的平均数为，
∴获奖人数的方差为；
（3）解：∵校有名学生中，有人获一等奖，
∴可估计该区名中小学生中，获得“小小书法家”证书的总人数为
人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数的定义；方差的定义，样本估算整体，读懂条形统计图和扇形统计图的信息关联是解题的关键．
19．如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽为1.2米
（参考数据：，，，，，）

(1)当车门打开角度为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由
(2)若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？
【答案】(1)车门不会碰到墙，理由见解析
(2)
【分析】（1）如图：过点A作，垂足为点G．解三角形求出AC的长度，然后比较即可；
（2）如图：过点A作，垂足为D，，求出即可．
【详解】（1）解：车门不会碰到墙，理由如下：
如图：过点A作，垂足为点C．

在中，，
∴，
∵，
∴车门不会碰到墙．
（2）解：过点A作，垂足为D，

在中，
∵，
∴．
∴，
又∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴靠墙一侧车门能打开的最大角度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形并灵活解直角三角形是解答本题的关键．
20．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，9月份“江南忆”的销售量为256件，11月份的销售量为400件．已知每件“江南忆”的进价为35元，售价为58元．
(1)求该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，12月份该款吉祥物的销售量将与9月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物每件的售价为多少元时，月销售利润能达到8400元？
【答案】(1)该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为
(2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用：
（1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：
因为商场为了减少库存，故不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．在中，，平分交于点，以为半径作．

(1)求证：直线是的切线．
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过作于，得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到与相切；
（2）设则根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：过作于，

，
平分，
，
，
（），
，
与相切；
（2）解：，
设
则
，，
，
，
，
，
在中，，
即：，
解得或（舍去），
的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)，，，．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）分点在左侧和点在由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图像及性质，进而求解．
【详解】（1）解：把代入中，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点，

把代入中，得：，
∴点坐标是，
设直线，
把，，代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为
设，则，
∴
由得：，
∴
整理得：
解得：
∵，
∴的值为或，
当时，，
当时，，
∴点的坐标为或；
（3）解：存在．
由，，，得，
∴，
①当点在左侧时．
在轴上取点，，延长交抛物线于点．
在和中
，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入，得
，
解得，
∴设直线的解析式为，
由得：或，
∴；
②当点在右侧时，
作关于的对称，交二次函数于点，则，，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
令中，，则，
解得或，
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴
∴在点抛物线上，即点满足条件．
故存在满足条件的点有两个，分别是，，，．

【点睛】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质，轴对称给的性质，掌握这些知识是解题关键．
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边中，，点在射线上运动，连接，以为一边在右侧作等边．

(1)【问题发现】如图（1），当点在线段上运动时不与点重合,连接则线段与的数量关系是___________ ；直线与的位置关系是___________ ；
(2)【拓展延伸】如图（2），当点在线段的延长线上运动时，直线相交于点，请探究的面积与的面积之间的数量关系；
(3)【问题解决】当点在射线上运动时点不与点重合，直线相交于点，若的面积是，请求出线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)1或4
【分析】（1）证，得，再证，则；
（2）证，得，再证，即可解决问题；
（3）由（1）（2）可知，，则，则，再证，得，设当点在线段上时则，求出，则，解方程即可；当点在线段的延长线上时，解法同上．
【详解】（1）解：和是等边三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
和是等边三角形，
，
，
即，
，
，
，
；
（3）解：由（1）（2）可知，无论点在线段上还是在线段的延长线上，都有，，
，
，
，
的边上的高的边上的高，
，
，
，
，
，
设，
当点在线段上时，如图，

则，
，
，
，
，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
；
当点在线段的延长线上时，如图，

则，
，
，
，
，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
；
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形面积、一元二次方程的解法以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．