四川省成都市第七中学（高新校区）2023-2024学年高二下学期尖子生4月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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命题人：于真勇 审题人：杜利超
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 设函数在处存在导数为2，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 3
2. 已知等比数列中，，，则（ ）
A. 4或B. C. 4D. 8
3. 在等差数列中，，则的值是（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 30
4. 已知等差数列中，是它的前项和，若，则当最大时，的值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 16
5. 函数图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）

A. B.
C. D.
6. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（ ）
A. 7年B. 8年C. 9年D. 10年
8. 已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题的四个选项中，有多个符合要求，全选得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 直线是曲线的切线
B. 有两个极值点
C. 有三个零点
D. 存在等差数列，满足
10. 已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则是数列中绝对值最小项
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
11. 已知，其图像上能找到A、B两个不同点关于原点对称，则称A、B为函数的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）
A 可能有三对“友好点”
B. 若，则有两对“友好点”
C. 若仅有一对“友好点”，则
D. 当时，对任意的，总是存在使得
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）：
12. 已知数列满足：，，则数列的通项公式为___
13. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为______．
14. 已知，，若曲线上总存在不同的两点，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为__________．
四、解答题：（本题共5小题，共77分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在处取得极小值5．
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，求函数的最小值．
16. 已知数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17. 已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，求的取值范围.
18. 已知正项数列的前项和为，且．
（1）证明：单调递减数列．
（2）求数列的前项和．
19. 已知函数（，e为自然对数的底数）．
（1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求证：．