河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试（九）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试（九）数学试题（原卷版+解析版），文件包含河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试九数学试题原卷版docx、河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试九数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ）
A. 12个B. 10个C. 8个D. 7个
【答案】B
【解析】
【分析】根据能被5整除的数的特征，分类讨论，结合排列组合即可求解.
【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5，
当末位数字为0时，此时有个符合条件的三位数，
当末位数字为5时，此时有个符合条件的三位数，
因此一共有个，
故选：B
2. 已知复数为虚数单位)，则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）条件
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的几何意义，即可判断和选择.
【详解】，则在复平面内对应的点为；
点位于第四象限的充要条件是，即；
故“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.
故选：A
3. ，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.
【详解】令，则，，，
而且，即时单调增，时单调减，又，
∴，.
若有两个解，则，，
即，，
令，则，即在上递增，
∴，即在上，，若即，故，有
∴当时，，故，
综上：.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用函数与方程思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.
4. 已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（ ）
A. 16B. 12C. 8D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，利用数形结合转化求解即可．
【详解】因为，、，在圆上，，
因为，则是等腰直角三角形，
表示、到直线的距离之和的倍，
原点到直线的距离为，如图所示：
，，是的中点，作于，
且，，，
，当且仅当三点共线，且在的两侧时等号成立，
又，故的最大值为
的最大值为．
故选：B．
5. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小．
【详解】依题意，有，所以，
同理，，所以，
同理，，所以，
所以．
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．
6. 已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点，设左右焦点分别为，是与在第一象限的交点，是以为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，，根据是以为底边的等腰三角形，可知，利用椭圆和双曲线定义可得到，由此可将化简为，利用三角形三边关系可确定的取值范围，进而得到的取值范围.
【详解】由题意可设：椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距均为，
设，，
是以为底边的等腰三角形，，
由椭圆定义知：；由双曲线定义知：；
，
；
，，则，
，，即的取值范围为.
故选：A.
7. 设函数，若对于任意的，都有，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，可得1是函数的一个极大值点，再构造函数，利用导数求解作答.
【详解】函数是定义在R上的可导函数，因对于任意的，都有，
则1是函数的一个极大值点，求导得，由，得，
因，则，，当时，当时，
即1是函数的唯一极值点，并且是极大值点，满足对于任意的，都有，
令，即，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因此，即，A正确.
故选：A
【点睛】思路点睛：两个实数的大小比较，可以作差构造函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
8. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式以及正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】由于，所以，
而,
因此，
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设随机变量，其中，下列说法正确的是（ ）
A. 变量的方差为1，均值为0B.
C. 函数在上是单调增函数D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及可判断B，根据正态曲线的性质可判断C，根据正态曲线的对称性可判断D.
【详解】随机变量，则A正确；
，则B错误；
随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确；
正态分布的曲线关于对称，，则D正确，
故选：ACD．
10. 满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（ ）
A. 存在非零实数t，使得为等差数列
B. 存在非零实数t，使得为等比数列
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A、B：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C：借助代入即可得；对D：由，得到，从而将展开后借助该式裂项相消即可得.
【详解】对A：若数列为等差数列，则有，
即，由，
故有恒成立，即有，无解，
故不存在这样的实数，故A错误；
对B：若数列为等比数列，则有，
即，由，
故有恒成立，即有，
即，解得，此时，
故存在非零实数t，使得为等比数列，故B正确；
对C：由，
则，
即有，故C正确；
对D：由，
故，
故
，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于由，得到，从而将展开后可借助该式裂项相消.
11. 如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点．将沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（ ）

A.
B.
C. 点的轨迹的长度为
D. 直线与平面所成角的余弦值的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A、B选项结合线面角最小，二面角最大可判断;对于C，先由旋转，易判断出，故其轨迹为圆弧，即可求解.对于D求直线与平面所成角的余弦值，即求，，用表示，再结合三角恒等变换求出函数的最值即可
【详解】
依题意，将沿直线翻折至，连接,由翻折性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分，
故，又在平面内的射影在线段上，
所以平面，平面，所以，
，平面，平面
所以平面.
平面，平面，平面，
，
，且即为二面角的平面角
对于A选项，由题意可知，为与平面所成的线面角，故由线面角最小可知，故A错误；
对于B选项， 即为二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正确；
对于C选项， 恒成立，故的轨迹为以为直径的圆弧夹在内的部分，易知其长度为，故C正确；
对于D选项，如下图所示

设，
在中，，，
在中，，，
所以，设直线与平面所成角为，
则
，
当且仅当时取等号，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一光源在桌面的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆（其中球与截面的切点即为椭圆的焦点），如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的离心率_____________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】作出球的截面图，易得，结合正切的二倍角公式求出的值，进而知长轴的长，再由球与相切的切点为椭圆的一个焦点，可得的值，最后由，得解．
【详解】如图，是球的一个截面，圆分别与相切于点，，
因为，球的半径为2，所以，，
所以，
所以，
因为是椭圆的长轴长，所以，所以，
根据球与相切的切点为椭圆的一个焦点，
所以，所以，
所以离心率．
故答案为：．
13. 已知正数满足，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，利用导数判断的单调性，结合函数值域，求得，再求即可.
【详解】，；
令，则，
故当，，单调递增；
当，，单调递减；
又，故，即
故，当且仅当时，取得等号；
由题可知，，故，
则，故，即，故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数，利用导数求得其值域，从而求得.
14. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数判断函数单调性并求得最值以及，再解不等式即可.
【详解】，，
又，故当，，单调递增；
则，;
，即，解得，又，故.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）求证：；
（2）若是边长为2的等边三角形，点满足，且平面与平面夹角的正切值为，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面与平面垂直的性质定理证明；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，设E点坐标，计算平面与平面的法向量，根据平面与平面夹角正切值求得参数，得几何体的高，计算体积.
小问1详解】
证明：因为，为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
【小问2详解】
因为是边长为2的等边三角形，
所以是以为直角顶点的直角三角形，
过作，交于，
结合题设，以为原点，，，为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，因为，可设（），
所以，，设面法向量为，
则，令，得，
易知平面法向量为，平面与平面夹角正切值为，所以余弦值为，
故，解得，
所以，故.
16. 定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.
（1）证明：是倍角三角形；
（2）若，当取最大值时，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；
（2）由正弦定理结合题中条件得到，结合三角形面积公式化为关于的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.
【小问1详解】
因为，
又,所以，
则，
又由余弦定理知，，
故可得，
由正弦定理，,
又,
代入上式可得,
即，
，
则有,
故是倍角三角形.
【小问2详解】
因为，所以,
故，则，又，
又，则,
则
,
设，，
则
令得或者（舍），
且当时，，
当时，，
则在上单调递增，
在上单调递减，
故当时，取最大值，
此时也取最大值，
故为所求.
17. 已知抛物线：（），点在抛物线上，点在轴的正半轴上，等边的边长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线：与抛物线相交于，两点，直线不经过点，面积为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据题意得到点的坐标，代入抛物线方程求出点的坐标，即可求出抛物线的标准方程；
（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，，根据弦长公式得到，再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，得出的面积，代入，利用的取值范围，即可求出的取值范围.
【详解】解：（1）是边长为的等边三角形，点在抛物线上，点在轴的正半轴上，
，
即，
解得：，
抛物线方程为.
（2）将直线的方程为与抛物线的方程联立，
消去，得，
设，，
则，，
，
点，
点到直线：的距离为，
的面积，
，
，
设，则，
在上单调递增，
即，
故的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用弦长公式以及点到直线的距离公式求出的面积，写出的表达式.
18. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）若在上的最大值为，求证：.
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接求导分析即可；
（2）零点不可求，隐零点代换表示，然后求出的范围，再利用的单调性即可获解.
【详解】（1）因为函数，定义域为，
所以.
由，得；由，得.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以的极小值为，无极大值.
（2）因为，
所以.
令，则，
当时，，所以在上单调递增.
因为，，
所以存在使得，即，即.
故当时，，此时；
当时，，此时.
即在上单调递增，在上单调递减，
则.
令，则，
所以在上单调递增.则当时，，，
所以.
由（1）知在上单调递减，
因为，，
所以.
【点睛】对于导函数零点不可求，可以先设出零点，然后由这个零点表示出函数的最值，再根据零点的范围得出最值的范围.
19. 为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.
（1）设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望.
（2）为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了名代表，卫生监督管理部门邀请了名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P（X=k）取值最大时，X的估计值为k）
【答案】（1）分布列见解析，3.2
（2）详见解析.
【解析】
【分析】(1)根据离散型随机变量的概率公式计算得分布列及期望；
(2)设收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B，人数，，设参加会议的群众代表的人数为Y，则由离散型随机变量的概率公式可得，
设，
由组合数公式计算得，
分类讨论是否为整数即可得出结果.
【小问1详解】
X的可能取值为2，3，4，则，
，，
则X的分布列为
【小问2详解】
设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A，人数为，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B，人数为，则收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B.人数为Card（A∪B）.
设参加会议的群众代表的人数为Y，则.
若，则，
则，
，
，
令，得，解得，
以代替k，得，
令，得，解得，
所以，
若为整数，则当
或时，取得最大值，
所以估计参加会议的群众代表的人数为或，
若不是整数，则当时，
取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为，
其中，表示不超过的最大整数.
【点睛】思路点睛：第二问设收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B，人数，，设参加会议的群众代表的人数为Y，则由离散型随机变量的概率公式可得，
设，
由组合数公式化简计算得，
关键在于分类讨论是否为整数即可得出结果.
X
2
3
4
P
0.1
0.6
0.3