2024年中考数学模拟预测题（六）（原卷版+解析版）

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A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式以及幂的乘方和积的乘方法则分别判断．
【详解】解：（a-b）（-a-b）=b2-a2，故选项A错误；
2a3+3a3=5a3，故选项B错误；
6x3y2÷3x=2x2y2，故选项C正确；
（-2x2）3=-8x6，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法．
2. 如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可求，由，即可求解．
【详解】解：如图，

由题意得：，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
3. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有（ ）
A. 7个B. 6个C. 5个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】在俯视图中写出小正方体的最少情形时的个数可得结论．
【详解】解：组成这个几何体的小正方体的个数最少有（个）．
故选：B．
或
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
4. 在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作轴于点，先证明，再由全等三角形对应边相等的性质解得，最后由待定系数法求解即可．
【详解】解：正方形中，过点作轴于点，
设直线所在的直线解析式为，
代入，得
，
故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【详解】解：，
由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键．
6. 如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）

A. 1B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．
【详解】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7. 从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出点坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线上的坐标的个数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案．
【详解】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同数，点的坐标共有6种情况：，，，，，，并且它们出现的可能性相等．
点坐标在双曲线上有2种情况: ，．
所以，这个事件的概率为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率．
8. 已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（ ）
A. 5B. C. 5或1D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】将往右平移m个单位后得到，由此即可求解．
【详解】解：比较抛物线与抛物线，
发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，
∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，，
∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1，
当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解．
9. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程的两根分别为a，b，
∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确．
【详解】①∵抛物线开口向下，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
由图象可得时，，
即，
而，
∴．故①错误；
②∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线．
故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵，，
即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
故，故②正确；
③由图象可知：二次函数与直线有两个不同的交点，
即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；
④∵函数图象经过，对称轴为直线，
∴二次函数必然经过点，
∴时，的取值范围，故④正确；
综上，②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11. 函数 的自变量x的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零次幂有意义的条件列出不等式组，即可求解．
【详解】解：∵
∴且
故答案为：且
【点睛】本题考查了求函数的自变量的范围，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零次幂有意义的条件是解题的关键．
12. 若，则____．已知，则 ______．
【答案】 ①. 1 ②. 15
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法的运算法则“底数不变，指数相加减 ”，
逆用同底数幂的除法和乘法即可解答，
【详解】解：
，
，
故答案为：1，15
13. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 _______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件，
把m当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出m的取值范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解，
【详解】解：
，
关于x的方程的解为非负数，
解得：，
又
即，
即，
故答案为：且
14. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
15. 如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：正方形，
∴，，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴
∴阴影部分的面积为扇形的面积，即，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合图形依次求出的坐标，再根据其规律写出的坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，
是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
同理可得：均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得：
由此可推出：点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出的坐标，找出其坐标的规律．
17. （1）化简求值：，其中x是不等式组的一个整数解．
（2）
【答案】（1），，（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，
（1）利用分式的混合运算将分式进行化简你，再求出一元一次不等式组的解集，再根据分式有意义的条件，可确定出x的值，即可得出结论；
（2）利用零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进而可解答；
【详解】解：（1）
，
解①得，
解②得，
则不等式组的解集为：，
不等式的整数解有：，
由题意可得：且，
原式；
（2）
18. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．

根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】（1）80，16，
（2）40 （3）恰好抽到2名女生的概率为．
【解析】
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可；
（2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：接受问卷调查的学生共有（人，
（人，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：80，16，；
【小问2详解】
解：根据题意得：
（人，
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；
故答案为：40；
【小问3详解】
解：由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图像直接写出不等式的解集；
（3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或，
（3）或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据图像位置关系即可得解；
（3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可．
【小问1详解】
解：将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
将点、分别代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、，
设，则，
∴，
则，
，
，
，
，
∵的面积为，
∴，
∴，
即点的坐标为．

如图，过作轴于点，过作轴于点，设，

由（1）得：，，
∴，，
∴，，，
则
，
，
∴，
即点的坐标为，
综上所述：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键．
20. 某校无人机兴趣小组为学校“五四青年节庆祝活动”提供空中摄像支持，提前在学校操场上试飞无人机．如图1，为了测算无人机飞行高度，兴趣小组进行了如下操作：无人机从C处垂直上升到D处，在此处测得操场两端A，B的俯角分别为，，且A，B，C在同一水平线上，已知操场两端米．

（1）求无人机飞行的高度（结果保留根号）；
（2）如图2，无人机由点D沿水平方向飞行至点F，当时，求飞行的距离（结果精确到1米，）．
【答案】（1）米
（2）205 米
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，，得到米，根据计算即可．
（2）过点A作交于点H，证明四边形是矩形，解， 即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴米，
在中，，
解得：米，
答：无人机飞行的高度为米．
【小问2详解】
解：过点A作交于点H，
∵，
∴四边形是矩形，，米，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，（米），
在中，（米），

∴（米），
答：无人机飞行的距离约为205 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
21. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答；
（2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
，
∴，
；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
设,则，
可得方程，
解得，
即的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．
22. 如图，在菱形中，于H，以为直径的分别交于点E，F，连接．
（1）求证：①是的切线；
②；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】本题考查圆的综合应用，涉及锐角三角函数，勾股定理，菱形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
（1）（1）①由垂直的性质和平行线的性质“两直线平行内错角相等，即可证明，”
②连接，由圆周角定理可得由直径所对的圆周角为直角，再根据
同角的余角相等，可得，进而可证明结论；
（2）连接交于G．由菱形的性质和勾股定理求出，在菱形中，再用等面积法求出，再由由可得进而由即可求解；
【小问1详解】
证明：
，
四边形是菱形，
为的半径的外端点，
是的切线；
②连接，
为直径，
，
在中，，
在中，，
【小问2详解】
解：连接交于G．
菱形
在中，
由知：
23. 信阳毛尖又称豫毛峰，属绿茶类，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一其主要产地在信阳市濒河区，平桥区和罗山县，由汉族茶农创制．某茶叶店经营信阳毛尖，据了解，市场上A种茶的价格比B种茶贵50元，用600元在市场上购进的A种茶盒数比购买的B种茶少2盒．
（1）求购进的A，B两种茶每盒的价格；
（2）该茶叶店决定在茶叶厂家购买A，B两种茶共100盒，且A种茶的盒数不低于B种茶盒数的．茶叶厂家为扩大影响，对A，B两种茶均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【答案】（1）种茶业每盒150元，则B种茶业每盒100元
（2）本次购买最少花费10530元
【解析】
【分析】（1）设种茶业每盒x元，则B种茶业每盒元，根据用600元在市场上购进的A种茶盒数比购买的B种茶少2盒，列出方程，解方程即可；
（2）设购买A种茶业m盒，则购买B种茶业盒，花费y元，根据等量关系列出关系式，根据A种茶的盒数不低于B种茶盒数的求出m的取值范围，根据一次函数增减性求出最小值即可．
【小问1详解】
解：设种茶业每盒x元，则B种茶业每盒元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是所列方程的解，但不符合实际舍去，
∴，
（元），
答：种茶业每盒150元，则B种茶业每盒100元；
【小问2详解】
解：设购买A种茶业m盒，则购买B种茶业盒，花费y元，根据题意得：
，
∵
∴，
∵，
∴y随m的增大而增大，
∵m取整数，
∴当时，y最小，且最小值为（元），
答：本次购买最少花费10530元．
【点睛】本题主要考查了分式方程应用、一元一次不等式组的应用和一次函数应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和函数关系式．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【答案】（1）
（2）点P的坐标为；的最大值为
（3）点M的坐标为：，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出，根据轴，得出，根据，求出点P的坐标和最大值即可；
（3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，．
【小问1详解】
解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：

设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴，
∵轴，
∴，
∴
∵，
∴
，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为．
【小问3详解】
解：根据折叠可知，，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
，
，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴或，
解得：或或，
∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在，
∴，
∴点M的坐标为，．
【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形．
25. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______，______；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．请猜想之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1），
（2），理由见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质．
（1）设交于点G，由，得，而，，即可根据“”证明，所以，，则，于是得到问题的答案；
（2）根据等腰三角形性质，利用证明即可得出结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论．
【小问1详解】
如图1，设交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：30．
【小问2详解】
，
理由如下：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
，
理由如下：如图3所示：
∵和都是等腰三角形，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴