2024年安徽省明光市九年级下学期中考一模数学试题 （原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列实数为无理数的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数和算术平方根，熟记无理数的定义“无限不循环小数是无理数”是解题关键．根据无理数的定义和算术平方根逐项判断即可得．
【详解】解：A、是无理数，则此项符合题意；
B、，是整数，不是无理数，则此项不符合题意；
C、是分数，不是无理数，则此项不符合题意；
D、是有限小数，不是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的混合运算．直接利用同底数幂的乘除法、积的乘方的运算法则和合并同类项分别计算得出答案．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
3. 2024年2月，我国载人月球探测任务新飞行器名称确定，新一代载人飞船名为“梦舟”，月面着陆器名为“揽月”，我国航天员计划在年前登陆与地球平均距离约为万米的月球表面开展科学探索．其中，万千米用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：万千米米米．
故选：．
4. 如图所示的是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．从几何体的上面看所得到的图形即为它的俯视图．
【详解】解：俯视图有3列，从左往右小正方形的个数是1，1，1，
故选：．
5. 某大型超市一月份的营业额为1000万元，预计三月份的营业额比一月份的多440万元．设该超市营业额的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据一月份的营业额为1000万元，三月份的营业额共万元，列出方程即可．
【详解】解：设该超市营业额的月平均增长率为x，
由题意，得：；
故选：B．
6. 在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为，
点的坐标为．
故选：．
7. 已知，将一块等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（ ）
A. 100°B. 135°C. 155°D. 165°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作，利用平行线的性质结合三角板的性质求得和的度数，再利用平角的定义即可求解．
【详解】解：作，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8. 从长为3，5，7，15的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了列举法求概率，以及三角形的三边关系．列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．
【详解】解：从长为3，5，7，15四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，15；3，7，15；5，7，15，共4种，
其中能构成三角形的情况只有：3，5，7；共1种，
则能构成三角形的概率是，
故选：A．
9. 如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的不等式＜x＋4（x＜0）的解集为（ ）
A. x＜－3B. －3＜x＜－1C. －1＜x＜0D. x＜－3或－1＜x＜0
【答案】B
【解析】
【分析】关于x的不等式＜x＋4（x＜0）成立，则当x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再结合函数图象可得答案.
【详解】解：∵反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1
∴关于x的不等式＜x＋4（x＜0）成立，
则当x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，满足条件，
∴关于x的不等式＜x＋4（x＜0）的解集为：﹣3＜x＜﹣1．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生观察图象的能力，用了数形结合思想．
10. 如图，在中，，，，点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动，若点，均以的速度同时出发，且当一点移动终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设运动时间为t，根据题意可得0＜t≤2，则AP=CQ=t，PC=AC-AP=6-t，根据勾股定理，得PQ2=PC2+CQ2=(6-t)2+t2=2t2-12t+36=2(t-3)2+18，根据二次函数的性质求出最小值即可.
【详解】设运动时间为t，根据题意可得0＜t≤2，
则AP=CQ=t，
所以PC=AC-AP=6-t，
根据勾股定理，得PQ2=PC2+CQ2=(6-t)2+t2=2t2-12t+36=2(t-3)2+18，
因为2＞0，
所以当t=2时，PQ2有最小值20，
所以PQ的最小值为
故选:C.
【点睛】考查二次函数的最值，勾股定理，正确理解题意是解题的关键.
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式：2a3b﹣8ab＝_____．
【答案】2ab(a+2)(a﹣2)
【解析】
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式＝2ab(a2﹣4)＝2ab(a+2)(a﹣2)，
故答案为2ab(a+2)(a﹣2)．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12. 若，则代数式的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值．先对已知去分母变形，得到，再对所求式子变形为，整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
13. 如图，圆锥底面半径为r cm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为___cm．
【答案】6
【解析】
【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．
【详解】∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr=×2π×10，
解得r＝6．
故答案为6．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键．
14. 如图，在矩形纸片中，对角线和交于点，将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点．
（1）若，，则的长为________；
（2）若，则的值为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）勾股定理得出，设，则，根据勾股定理即可求解；
（2）同（1）求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵依题意，在矩形纸片中，，，
∴
∴
∵折叠，
∴，，
∴，
设，则，
在中，
即
解得：，
即，
故答案为：．
（2）∵，
设，，
∴
∴
∵折叠，
∴，，
∴，
设，则，
在中，
即
解得：，
即，
∵，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与矩形折叠问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得．
【详解】解：
，
当时，原式．
16. 解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．
（1）第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示）
（2）是否存在某个图，其小圆的个数恰好为个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）第个图中小圆的个数恰好为个
【解析】
【分析】本题考查了图形规律探究和一元二次方程的解法．（1）第1个图形中小圆的个数为；第2个图形中小圆的个数为；第3个图形中小圆的个数为；…；则知第个图形中小圆的个数为．（2）假设存在第个图的小圆个数为，列方程为，再解方程即可．
【小问1详解】
解：由题意可知第1个图形有小圆个；
第2个图形有小圆个；
第3个图形有小圆个；
第4个图形有小圆个；
第个图形有小圆个，
故答案为：．
【小问2详解】
解：设第个图中小圆的个数恰好为个，根据题意得
，（不符题意，舍去）
答：第个图中小圆的个数恰好为个．
18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；
（2）请画出关于原点成中心对称的图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到、、的坐标，然后描点连线即可；
（2）利用关于原点对称的点特征得到、、的坐标，然后描点连线即可．
【小问1详解】
解．如图， 即为所求，
【小问2详解】
解．如图， 即为所求，
．
【点睛】本题考查了作图-中心对称变换：根据中心对称的性质可知，找到对应点，顺次连接得出对称后的图形．也考查了平移变换．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，为测量一座山峰的高度，将此山的某侧山坡划分为和两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长，，坡角，．
（1）求段山坡的高度；
（2）求山峰的高度．（，结果保留整数）
【答案】（1）段山坡的高度为；
（2）山峰的高度为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度与坡角问题．
（1）作于，如图，在中根据正弦的定义可计算出的长，从而得到的长；
（2）先在中利用的正弦计算出，然后计算和的和即可．
【小问1详解】
解：作于，如图，
在中，，
，
．
答：段山坡的高度为；
【小问2详解】
解：在中，，
，
．
答：山峰的高度为．
20. 如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）相切
（2）
【解析】
【详解】解：（1）直线CE与相切.
理由如下：
四边形ABCD是矩形，
，
又，
．
如答图所示，连接OE，则．
，
.
，即．
又OE是的半径，
直线CE与相切.
（2）, ，
，
.
又，
.
.
方法一：在中，, .
连接OE，设的半径为r，则在中，，即，解得.
方法二：，过点O作于点M，则.
在中，
六、（本题满分12分）
21. 积极回应人民群众对美好生活的向往，进一步完善“民声呼应”工作机制，是建设美好安徽的重要举措之一．我省某机构针对公民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是四类生活信息关注度的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题．
（1）本次参与调查的人数有 人；
（2）关注城市医疗信息的有 人，并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，D部分的圆心角是 度；
（4）请写出一条你从统计图中获取的信息．
【答案】（1）1000
（2）150，见解析 （3）144
（4）从图中可以直观的观察可知，市民最关心的是交通问题（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，读懂条形统计图和扇形统计图是解题关键．
（1）利用部分的人数除以其所占百分比即可得；
（2）利用总人数减去其他三个部分的人数可得部分的人数，据此补全条形统计图即可；
（3）利用乘以部分所占百分比即可得；
（4）从图中直观的观察即可得．
【小问1详解】
解：本次参与调查的人数有（人），
故答案为：1000．
【小问2详解】
解：关注城市医疗信息的有（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：150．
【小问3详解】
解：部分的圆心角度数为，
故答案为：144．
【小问4详解】
解：从图中可以直观的观察可知，市民最关心的是交通问题（答案不唯一）．
七、（本题满分12分）
22. 在正方形中，，分别在，上，且，交于．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在上取一点，使，在上取一点，使．求证：；
（3）在（2）的条件下，如果，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）．
【解析】
【分析】（1）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，即可得；
（2）通过证明，可得，可得，可证，即可得结论；
（3）由勾股定理可求，由相似三角形的性质可求，通过证明，可得，即可求的长．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，且，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：四边形是正方形，
∴，
，
，
，且，，
即，
，
∴，且，
；
【小问3详解】
解：，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
∵，
，
，
即：，
．
【点睛】本题是四边形综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求线段的长是本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C．
图1 图2
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值；
（3）如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标．
【答案】（1）；
（2）的最大值为；
（3）点Q的坐标为．
【解析】
【分析】（1）将点代入，求得，即可得解；
（2）求得点和的坐标，推出，作轴于点，交于点，得到是等腰直角三角形，，设，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）作轴于点，作轴于点，求得，证明，利用正切函数的定义求得，证明是等腰直角三角形，求得，再求得直线的解析式，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线交x轴于点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
解：当时，；
当时，，
解得或；
∴，，
∴，
∴，
作轴于点，交于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：作轴于点，作轴于点，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
同理直线的解析式为，
联立得，
解得或；
当时，，
∴点Q的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键．