湖南省益阳市安化县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省益阳市安化县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．给出下列四个说法：①若,则;②若,则或;③若,则;④若,,则.其中正确的说法有_______个( )
A.1B.2C.3D.4
2．在中,若点D满足,则( )
A.B.
C.D.
3．已知P,A,B,C是平面内四点,且＋＋＝,则下列向量一定共线是( )
A.与B.与C.与D.与
4．已知,,,则向量在向量方向上的投影向量是( )
A.B.C.D.
5．设D为所在平面内一点,,若,则等于( )
A.-2B.-3C.2D.3
6．已知向量是与向量方向相同的单位向量,且,若在方向上的投影向量为,则( )
A.B.C.4D.-4
7．如图,已知,,,,则（ ）
A.B.C.D.
8．已知点P是所在平面内一点,若,则与的面积比为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设,是一个非零向量,则下列结论正确的有( )
A.B.C.D.
10．已知向量,,若向量,则可使成立的可能是( )
A.B.C.D.
11．已知平面向量,,满足.若,则的值可能为( )
A.B.-2C.0D.
12．如图所示,在边长为3的等边三角形中,,且点P在以的中点O为圆心,为半径的半圆上,若,则( )
A.B.的最大值为
C.最大值为9D.
三、填空题
13．在中,顶点A的坐标为,边的中点D的坐标为,则的重心坐标为____________．
14．已知向量,,若,则______.
15．在平行四边形中,M,N分别为,上的点,且,连接,与交于点P,若,则的值为____________.
16．在梯形中,,,,,P、Q分别为线段和线段上动点,且,,则的取值范围为____________．
四、解答题
17．已知,,.
（1）求向量,的夹角;
（2）求.
18．已知平面向量,.
（1）若,求x的值：
（2）若,求
19．如图,若,,,点X,Y,Z分别在线段,,上,且满足,,.
（1）求;
（2）求.
20．已知O为坐标原点,,．
（1）若,求;
（2）若,求的取值范围．
21．如图,在中,D是的中点,.
（1）若,,求;
（2）若,求的值.
22．如图,在中,,,AD与BC交于点M,设,．
（1）若,求x及y;
（2）在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设,,求的最小值．
参考答案
1．答案：A
解析：对于①,模长为零的向量为零向量,①正确;
对于②,,的模长相同,但方向不确定,,未必同向或反向,②错误;
对于③,若,则,同向或反向,但模长未必相同,③错误;
对于④,当时,,成立,但此时,未必平行,④错误.
故选：A.
2．答案：D
解析：由,得,
得,得.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为＋＋＝,
所以＋＋-,
即,
所以与共线.
故选：B.
4．答案：D
解析：,,
向量在向量方向上的投影向量为.
故选：D.
5．答案：C
解析：若,,
化为,
又因为,
所以可得,
解得,
故选：C.
6．答案：C
解析：.
故选：C.
7．答案：A
解析：因为,故,
故,
故选：A.
8．答案：A
解析：假设是等腰直角三角形,且A是直角,,
建立如图所示平面直角坐标系,设,
则,,,,
依题意,
即,
,
.
所以与的面积比为.
故选：A.
9．答案：AC
解析：由题意,向量,且是一个非零向量,
所以成立,所以A正确;
由,所以B不正确,C正确;
由,,所以,所以D不正确.
故选：AC.
10．答案：AC
解析：因为,,,
所以,
若,则,解得,,满足题意,A正确;
若,则,解得,,不满足题意,B错误;
若,则,解得,,满足题意,C正确;
若,则,解得,,不满足题意,D错误;
故选：AC.
11．答案：BCD
解析：,
而,
故
故选：BCD.
12．答案：AC
解析：对于A,因为,且点P在以的中点O为圆心,为半径的半圆上,
所以,
则,故A正确;
对于B,,,
则
,故D错误;
对于C,如图,以点O为原点建立平面直角坐标系,
则,,
因为点P在以的中点O为圆心,为半径的半圆上,
所以点P的轨迹方程为,且在x轴的下半部分,
设,,
则,,
所以,
因为,所以,
所以当时,取得最大值9,故C正确;
因为,
所以,
即,
所以,
所以,
因为,所以当时,取得最大值,故B错误.
故选：AC.
13．答案：
解析：设的重心为,则,
因为,,
所以,即,解得,即,
即的重心坐标为.
故答案为：.
14．答案：
解析：,
,解得：,.
故答案为：.
15．答案：
解析：在中,,不共线,因为,,
则有,
又P,M,N三点共线,于是得,解得,
所以的值为.
故答案为：.
16．答案：
解析：以点B为坐标原点,直线为x轴,过点B且垂直于直线的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
则、、、,则,
由题意可得,解得,
,
所以,,
由对勾函数的单调性可知,函数在区间上单调递增,
当时,
因此,的取值范围是.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析： ,,
,,,
解得,由平面向量数量积的夹角公式得,
,.
（2）因为,
所以
.
18．答案：（1）或
（2）2或
解析：（1）,
,
解得或;
（2）,
,即解得或,
当时,,,,;
当时,,,,,
或.
19．答案：（1）;
（2）
解析：（1）设X,Y的坐标为,;
由,可得分点可得
即,得,
所以,
则
（2）设Z点的坐标为,
由得
所以,,即
,,
20．答案：（1）3
（2）
解析：（1）时,,
（2）
,,
的取值范围为．
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
故.
（2）因为,所以,所以,
设.
因为,
所以,.
22．答案：（1）,;
（2）.
解析：（1）设,又,,
所以,,
因为M,B,C三点共线,M,D,A三点共线,
所以,解得,则,
所以,.
（2）由,得：,,
因为,所以,
因为M,E,F三点共线,所以,即,
所以,
当且仅当时取等号,
此时的最小值为．