2024年广西统一中考数学模拟测试卷（原卷+解析版）

这是一份2024年广西统一中考数学模拟测试卷（原卷+解析版），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A. B. C. D.
2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）

B.
C. D.
3. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 年月日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的时速为每小时万千米，万千米用科学记数法表示应为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A B. C. D.
6. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7. 若一个多边形的每一个内角都等于，则这个多边形的边数为（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 15
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 调查学青会运动员是否服用兴奋剂适合用抽样调查
B. 一组数据，，，，的中位数是3
C. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
D. 甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，说明乙的成绩比甲稳定
9. 如图所示的是一副特制的三角板，用它们可以画出-一些特殊角．在下列选项中，不能用这副三角板画出的角度是（ ）
A. B. C. D.
10. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A. 水温从加热到，需要
B. 水温下降过程中，与的函数关系式是
C. 在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为
D. 上午10点接通电源，可以保证当天10:30能喝到不低于的水
12. 如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（ ）
A. B. 2C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分）
13. 如图，直线，直线被直线所截，若，则______．
14. 分解因式：___________．
15. 南宁市有四个人气较旺的景点：方特东盟神画、青秀山风景区、南宁市园博园、南宁云顶观光，若小平同学随机选择一处去游览，她选择青秀山风景区的概率是______．
16. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于_________cm．

17. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为，那么两排灯的水平距离是 ________________米．
18. 如图，在矩形中，，点E、F分别在边上，点M为线段上一动点，过点M作的垂线分别交边于点G点H．若线段恰好平分矩形的面积，且，则的长为 _____．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
20. 解分式方程：．
21. 如图，在中，对角线，相交于点O，E为的中点，连接，．
（1）实践与操作：利用尺规在线段上作出点F，使得四边形为平行四边形，连接，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）应用与求解：若，求的长．
22. 年2月，C市从甲、乙两校各抽取名学生参加全市数学素养水平监测．样本学生数学测试成绩（满分分）如下表：
（1）表中_______；_______；
（2）请结合平均数、方差、中位数、众数这几个统计量，评判甲、乙两校样本学生的数学测试成绩；
（3）若甲、乙两校学生都超过人，按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平可行吗?为什么?
23. 如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交延长线于点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，sin，求的长．
24. 在锐角中，，矩形的两个顶点，分别在上，另两个顶点均在上，高交于点，设的长为，矩形的面积为．
（1）求的长，并用含的式子表示线段的长；
（2）请求出关于的函数解析式；
（3）试求的最大值．
25. 【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
26. 某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，猜想并计算的值；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，且，求的值；
类比证明】
如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
2024年广西统一中考数学模拟测试卷（一）
（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，
∴四个选项中只有A选项中的数符合题意，
故选：A．
2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）

B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过观察立体图形即可．
【详解】解：该立体图形的主视图是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答．
3. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵要使二次根式有意义，
∴，
∴，
故选：D．
4. 年月日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的时速为每小时万千米，万千米用科学记数法表示应为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【详解】解：万千米用科学记数法表示为米．
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．
5. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及除法，根据底数相同，指数相加减可得到结果，正确理解同底数幂的乘除法则是解题的关键．
【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，所以结果不是，该选项不符合题意；
B、和不是同类项，无法合并，所以结果不是，该选项不符合题意；
C、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以，该选项符合题意；
D、同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以，该选项不符合题意；
故选：C．
6. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式的解集，“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，解题关键是掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法．
【详解】解：由数轴可知，该数轴表示的不等式的解集为，
故选：D．
7. 若一个多边形的每一个内角都等于，则这个多边形的边数为（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】先求出多边形一个外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，
∴多边形的每一个外角都等于180°-150°=30°，
∴边数n=360°÷30°=12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，解题的关键根据外角和定理求出多边形的边数．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 调查学青会运动员是否服用兴奋剂适合用抽样调查
B. 一组数据，，，，中位数是3
C. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
D. 甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，说明乙的成绩比甲稳定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了抽样调查与全面调查的特点，随机事件的定义，方差与稳定性之间的关系，中位数的定义，熟知相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、调查学青会运动员是否服用兴奋剂，涉及公平性，应采用全面调查，原说法错误，不符合题意；
B、一组数据，，，，的中位数是4，原说法错误，不符合题意；
C、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，原说法正确，符合题意；
D、甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，说明甲的成绩比乙稳定，原说法错误，不符合题意；
故选C．
9. 如图所示的是一副特制的三角板，用它们可以画出-一些特殊角．在下列选项中，不能用这副三角板画出的角度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减，逐一分析即可．
【详解】A、18＝90−72，则18角能画出；
B、108＝72＋36，则108可以画出；
C、82不能写成36、72、45、90的和或差的形式，不能画出；
D、117＝72＋45，则117角能画出．
故选：C．
【点睛】此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
10. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可．
【详解】解：设宽为x步，则长为步，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键．
11. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A. 水温从加热到，需要
B. 水温下降过程中，与的函数关系式是
C. 在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为
D. 上午10点接通电源，可以保证当天10:30能喝到不低于的水
【答案】C
【解析】
【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故C符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为10:30时，可以得到饮水机是第二次加热，并且第二次加热了，令，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故D不符合题意．
【详解】解：∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为：，
故A选项说法正确，不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，
故B选项说法正确，不合题意；
当水温升至时，用时，
当水温降至时，，解得：，
∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，
故C选项说法错误，符合题意；
令，则，
即：每20分钟，饮水机重新加热，
∴上午10点接通电源，当天10:20时饮水机是第二次加热，并且第二次加热了10 min，
令，代入，得：，
即：10:30时的水温为，不低于，
故D选项说法正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
12. 如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，在上取一点F，使得，连接，由得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则．
【详解】解：如图所示，在上取一点F，使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分）
13. 如图，直线，直线被直线所截，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：
14. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式进行计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
15. 南宁市有四个人气较旺的景点：方特东盟神画、青秀山风景区、南宁市园博园、南宁云顶观光，若小平同学随机选择一处去游览，她选择青秀山风景区的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了简单概率计算，根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：∵一共有4个景点，每个景点被选择的概率相同，
∴小平同学随机选择一处去游览，她选择青秀山风景区的概率是，
故答案为：．
16. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于_________cm．

【答案】10
【解析】
【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】由题意得：，，
如图，连接，过点作，交于点，交于点，

则，
餐盘与边相切，
点为切点，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，，
，，，
设餐盘的半径为，
则，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
餐盘的半径为，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为，那么两排灯的水平距离是 ________________米．
【答案】
【解析】
【分析】把代入解析式，再解方程即可得结论．
【详解】解：根据题意，当时，则，
解得：，，
∴两排灯的水平距离是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
18. 如图，在矩形中，，点E、F分别在边上，点M为线段上一动点，过点M作的垂线分别交边于点G点H．若线段恰好平分矩形的面积，且，则的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先判断过矩形的对称中心，作，证明，从而求出，进而求得．
【详解】如图， 连接，交于O，
∵线段恰好平分矩形的面积，
∴O是矩形的对称中心，
∴， 作，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
在中由勾股定理得，
，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线，确定相似三角形，再利用相似三角形的性质解决问题是关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．先计算乘方和括号内，然后计算乘法，最后计算加减．
【详解】
．
20. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得；，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
21. 如图，在中，对角线，相交于点O，E为的中点，连接，．
（1）实践与操作：利用尺规在线段上作出点F，使得四边形为平行四边形，连接，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）应用与求解：若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用圆规在上作，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形；
（2）先根据平行四边形的性质和已知条件证明，再证是等边三角形，求出，再证四边形是菱形，推出，最后根据勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解：如图所示：以点O为圆心，长为半径作弧，与线段的交点即为点F，连接，．
【小问2详解】
解：由（1）知，
中，E为的中点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
中，，
四边形是菱形，
，即，
，
，
．
【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握菱形、平行四边形、等腰三角形的性质．
22. 年2月，C市从甲、乙两校各抽取名学生参加全市数学素养水平监测．样本学生数学测试成绩（满分分）如下表：
（1）表中_______；_______；
（2）请结合平均数、方差、中位数、众数这几个统计量，评判甲、乙两校样本学生的数学测试成绩；
（3）若甲、乙两校学生都超过人，按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平可行吗?为什么?
【答案】（1），；
（2）见解析； （3）不可行，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）结合表格可求得中位数和众数；
（2）结合两校平均数、方差、中位数、众数分析即可；
（3）依据抽样得具有代表性分析即可．
小问1详解】
解：结合甲校数据可知：
结合乙校数据可知：
出现的频数最大为3，所以众数为：
故答案为：，；
【小问2详解】
从平均分看，甲、乙两校平均分一样；
从方差看，乙校方差比甲校小，乙校成绩比较稳定，乙校成绩较好；
从众数看，乙校的众数高于甲校，乙校成绩较好；
从中位数看，甲校的中位数高于乙校，甲校成绩较好；
【小问3详解】
不可行，理由如下，
因为甲、乙两校学生都超过人，C市的抽样方法是从甲、乙两校各抽取名学生，样本容量较小，而两所学校学生人数太多，评估出来的数据不够精准，不具有代表性，故不可行．
【点睛】本题考查了抽样调查，求中位数、众数，以及数据的分析和比较；解题的关键是理解相关定义和性质，正确分析数据．
23. 如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．
（1）求证：为切线；
（2）若，sin，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为
【解析】
【分析】（1）作于点，由得到，根据角平分线定理，即可得到，即可得证，
（2）先根据锐角三角函数，求出、的长，由，可求、、的长，根据，即可求解，
本题考查了切线的性质与判定，角平分线定理，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
小问1详解】
证明：作于点，则，
∵与相切于点，
∴，
∵交的延长线于点，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在上，
∵是的半径，且，
∴是的切线，
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴．
24. 在锐角中，，矩形的两个顶点，分别在上，另两个顶点均在上，高交于点，设的长为，矩形的面积为．
（1）求的长，并用含的式子表示线段的长；
（2）请求出关于的函数解析式；
（3）试求的最大值．
【答案】（1）；
（2）
（3）的最大值为6
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积求出，证明，得出，即：，求出结果即可；
（2）先求出，证明四边形为矩形，得出，求出即可；
（3）根据二次函数的性质求出y的最大值即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵为的高，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵，
又∵，
∴当时，y有最大值，且最大值为6．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，求二次函数的最值，矩形的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
25. 【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析
【解析】
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．
26. 某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，猜想并计算的值；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，且，求的值；
【类比证明】
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
【答案】（1）猜想，理由见解析；（2）；（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定：
（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到；
（2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值．
（3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进而可求出，即．
【详解】解：（1）猜想，理由如下：
设与的交点为G，
∵四边形是正方形，，
，
，
，
，，
．
在和中
，
，
，
；
（2）∵四边形是矩形，
，
，
∴，
，
∴．
（3）如图，过点F作，
∴，
，
∴四边形是矩形,
，
又，
，
∴,
，
，
∴，
∴样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
4084
76
b
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
258
样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76
b
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8