2024年高考第二次模拟考试：数学（天津卷）（解析版）

这是一份2024年高考第二次模拟考试：数学（天津卷）（解析版），共14页。试卷主要包含了函数的大致图象为，若，则，已知的一段图像如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，
2，本卷共9小题，每小题5分，共45分
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么．
•如果事件A、B相互独立，那么．
•球的体积公式，其中R表示球的半径．
•圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高。
选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，，
所以.
故选：D.
2．已知且，则“”是“函数是增函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，又因为是增函数，所以是增函数；
当是增函数时，或，
所以“”是“函数是增函数”的充分不必要条件，
故选：A.
3．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于的定义域为,
又，
所以为奇函数，故可排除AB,
由于当时，，故排除C，
故选：D
4．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，
而，即，
，
所以.
故选：B.
5．已知的一段图像如图所示，则（ ）
A．
B．的图像的一个对称中心为
C．的单调递增区间是
D．的图像向左平移个单位长度后得到的是一个奇函数的图象
【答案】C
【解析】由图可知，，所以，解得，
所以，又函数过点，
即，所以，
解得，因为，所以，所以，故A错误；
因为，故B错误；
令，解得，
故函数的单调递增区间为，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位得为偶函数，故D错误；
故选：C
6．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球冠如图，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为，球冠的高为，则球冠的面积已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得圆柱的底面圆直径为，半径为，即球冠底面圆半径为.
已知该灯笼的高为，圆柱的高为，所以该灯笼去掉圆柱部分的高为，
所以，得，，
所以两个球冠的表面积之和为，
灯笼中间球面的表面积为．
因为上下两个圆柱的侧面积之和为，
所以围成该灯笼所需布料的面积为．
故选：B．
7．某品牌手机商城统计了开业以来前5个月的手机销量情况如下表所示：
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量y与x正相关
B．线性回归方程中，
C．时，残差为0.06
D．可以预测时，该商场手机销量约为1.81千只
【答案】B
【解析】对A，由图表可知，变量y与x正相关，
且，即变量y与x正相关，A正确；
对B，由图表数据可得，
因为样本中心满足回归直线，所以，解得，B错误；
对C，时，残差为，C正确；
对D，时，该商场手机销量约为千只，D正确；
故选:B.
8．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设双曲线的方程为，
在椭圆中，
则，因为是以为底边的等腰三角形，
所以，由椭圆的定义可知，，
所以，再由双曲线的定义可得，
所以，因为双曲线与椭圆有公共焦点，
所以，
故双曲线的标准方程为.
故选：C.
9．已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①m的取值范围是；②；③的最小值是4；④的最大值是.其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】作出函数的图象如下图所示：

因为是函数的4个零点，
所以直线与函数的图象有四个交点，且，
结合图象可知：，故①错误；
对于②，由图可知，，则，所以，
，则，所以，
所以，所以，故②错误；
对于③，当时，或，
结合图象可知，，由得，
即，所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，显然不满足，
所以，故③错误；
对于④，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值是，故④正确.
综上，正确结论为④，共1个.
故选：A.
第II卷
注意事项
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
10．已知复数，其中为虚数单位，则 .
【答案】
【解析】∵，
∴.
故答案为：
11．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 .
【答案】
【解析】由题意得随机变量服从正态分布，且，由，所以，
即求的常数项，由二项式定理得常数项为.
故答案为：
12．计算 .
【答案】
【解析】.
故答案为：
13．已知直线和圆相交于两点；弦长，则 ．
【答案】1
【解析】圆的圆心为，半径为
则由题意可得，
则.
故答案为：.
14．在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则 ， ．
【答案】 1
【解析】由题意知．
因为，所以，解得，
所以．
故答案为：；.
15．在边长为的正方形中，是中点，则 ；若点在线段上运动，则的最小值是 .
【答案】
【解析】
以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
因为正方形的边长为，且是中点，
则，
则，
所以；
设，其中，
则，则，
所以，，
则，，
其中，，
当时，有最小值为.
所以的最小值是.
故答案为：30；
解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤。
16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．
(1)求的值；
(2)求值；
(3)若，求．
【解析】（1）由题设及正弦定理知：，则，又，故，
又.
（2）由B为内角且，则，故，，
所以.
（3）由，而，
所以，由（2）知：，则，
综上，.
17．如图，四边形是正方形，平面为的中点.

(1)求证：；
(2)求到平面的距离；
(3)求平面与平面的夹角.
【解析】（1）
依题意，平面，如图，以A为原点，
分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，可得，
.
（2）,
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
故，
，故到平面的距离即在法向量上的投影长度，
则，
故到平面的距离为.
（3）因为，
平面，所以平面，
故为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角为.
18．已知椭圆：的一个焦点为，上顶点到这个焦点的距离为2.
（1）求椭圆的标准方程
（2）若点在圆上，点为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线交椭圆于（异于点），使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】解：（1）由椭圆的一个焦点为知：，
因为上顶点到这个焦点的距离为2，故，所以，
∴所求椭圆的标准方程为；
（2）假设存在过点的直线符合题意，直线的斜率必存在，于是可设直线的方程为，
由，得 .（*）
∵点是直线与椭圆的一个交点，则，
∴，∴，∴，
即点，，
∴，
即
∵点在圆上.
∴，
化简得，解得，∴，，
经检验知，此时（*）对应的判别式，满足题意，
故存在满足条件的直线，其方程为.
19．已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且.
（1）求的通项公式：
（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：.
【解析】（1）由，结合，因此
由
得，
又，得
从而是首项为2公差为3的等差数列，
故的通项公式为.
（2）由可得，
从而
∵，
于是
∴.
20．已知函数，（其中为自然对数的底数）．
(1)若，求函数在区间上的最大值．
(2)若，关于的方程有且仅有一个根，求实数的取值范围．
(3)若对任意的，，不等式均成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）解：当时, ，,
所以，当时，，时，，
所以，在上单调递减,上单调递增,
因为，当时,, 当时,,
所以，在区间上的最大值为．
（2）解：当时, 关于的方程为有且仅有一个实根,
所以，有且仅有一个实根,
设,
则,
所以，当时，，当时，，
所以，在和上单调递减, 在上单调递增,
因为,
当趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，
所以，有且仅有一个实根, 则实数的取值范围是．
（3）解：不妨设,则恒成立．
因此恒成立, 即恒成立,
且恒成立,
所以，函数和均在上单调递增,
设,
则在上上恒成立,
因此在上恒成立，因此,
因为在上单调递减,
所以，时,，即．
由在上恒成立,
因此在上恒成立, 因此,
设,则，解得
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，，即
综上，实数的取值范围是.时间x
1
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销售量y（千只）
0.5
0.7
1.0
1.2
1.6