2023-2024学年广东省中山一中教育集团联盟九年级（下）知识梳理数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省中山一中教育集团联盟九年级（下）知识梳理数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.绝对值等于2的数是( )
A. −2B. 12C. 2D. ±2
2.今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物.已知礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是( )
A. 长方体B. 正方体C. 圆柱D. 三棱锥
3.不等式x−1≥2x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. a⋅a4=a4B. (3a)3=9a3
C. a6÷a3=a2D. (a2)3−(−a3)2=0
5.若代数式 xx−2有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠2B. x≥0C. x>0且x≠2D. x≥0且x≠2
6.已知x=my=n满足方程组x+2y=52x+y=7，则m−n的值为( )
A. 2B. −2C. 0D. −1
7.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM/​/CD交AD于点M，若OM=3，OB=4，则BC的长为( )
A. 2 7
B. 10
C. 5
D. 2 3
8.将直线y=2x−3向右平移2个单位．再向上平移2个单位后，得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是( )
A. 经过第一、二、四象限B. 与x轴交于(2,0)
C. y随x的增大而减小D. 与y轴交于(0,−5)
9.将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为( )
A. π2,180°B. π4,540°C. π4,1080°D. π3,2160°
10.如图，已知点O(0,0)，P(1,2)，将线段PO绕点O按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，则第2021秒时，点P的对应点坐标为( )
A. (1,2)B. (2,−1)C. (2,1)D. (−2,1)
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.如果最简二次根式 1+a与 4a−2是同类二次根式，那么a=______．
12.如图，点A、B、C、D为⊙O上的点，若四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数为______．
13.抛物线y=x2−8x+c的顶点在x轴上，则c的值为______．
14.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为______．
15.如图，直线l1：y=tx−t(t>0)分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线l2y=kx(k>0)交于点D(2,2).点B，C关于x轴对称，连接AC，将Rt△AOC沿AD方向平移，使点A移动到点D，得到Rt△DEF，则线段AC扫过的面积为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：x+1x−1−6x2−1=1．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：( 8−1)0+ 18sin45°−| 2−2−2|．
18.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线．
(1)尺规作图：作BD的垂直平分线交AB于点E，交CD于点F，交BD于点O(不写作法，保留作图痕迹，并标明字母)；
(2)在(1)的条件下，求证：BE=DF．
19.(本小题7分)
某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
20.(本小题7分)
如图，小明家在A处，门前有一口池塘有一条公路l，AB是A到l的小路.现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度．
21.(本小题8分)
为了解某校九年级全体男生引体向上的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
(1)x= ______，y= ______，扇形图中表示C的圆心角的度数为______度.
(2)甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率．
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k>0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=4x图象的一个交点为P(1,m)．
(1)求m的值；
(2)若PA=2AB，求k的值．
23.(本小题10分)
如图，AB是圆O的直径，AB=2 10，圆O的弦CD⊥AB于点E，CD=6，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
(1)求证：CB平分∠FCD．
(2)若点G为弧AD上一点，连接CG交AB于点H，若CH=3GH，求BH的长．
24.(本小题12分)
如图，已知抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A、B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2).点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC．

(1)直接写出结果：b= ______；c= ______；点A的坐标为______；tan∠ABC= ______；
(2)如图1，当∠PCB=2∠OCA时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上，OD=OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD=90°.点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE=DF，求BE+QF的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵|2|=2，|−2|=2，
∴绝对值等于2的数为±2．
故选：D．
根据绝对值的意义求解．
本题考查了绝对值：若a>0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a<0，则|a|=−a．
2.【答案】D
【解析】解：根据主视图可知，只有D选项不可能．
故选：D．
根据主视图即可判断出答案．
本题考查了由三视图判断几何体，熟练掌握主视图的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：x−1≥2x，
移项得：x−2x≥1，
合并同类项得：−x≥1，
解得：x≤−1，
把不等式的解集在数轴上表示为：
故选：B．
先移项，再合并同类项，求出不等式的解集，即可求解．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，解题关键是抓住不等式的解集在数轴上表示出来大于或大于等于向右画；小于或小于等于向左画；注意在表示解集时大于等于，小于等于要用实心圆点表示；大于、小于要用空心圆点表示．
4.【答案】D
【解析】解：A、a⋅a4=a5，故该选项是错误的；
B、(3a)3=27a3，故该选项是错误的；
C、a6÷a3=a3，故该选项是错误的；
D、(a2)3−(−a3)2=0，故该选项是正确的；
故选：D．
根据相关运算法则进行逐项计算分析，即可作答．
本题考查了同底数幂相乘、除，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可知：
x≥0x−2≠0，
∴x≥0且x≠2，
故选：D．
根据分式、二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
6.【答案】A
【解析】解：x+2y=5①2x+y=7②，
由①得，x=5−2y③，
将③代入②得，2(5−2y)+y=7，
解得，y=1，
将y=1代入③中得，x=3，
∵x=my=n满足方程组x+2y=52x+y=7，
∴m=3，n=1，
∴m−n=2．
故选：A．
首先根据x+2y=5可得x=5−2y，接下来将其代入第二个方程，即可求出y的值，进而求出x的值；然后根据方程组的解的定义求出m与n的值，问题便可解答．
本题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
学生在日常学习中应从以下1个方向(【数学运算】)培养对知识点的理解能力．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠ABC=∠D=90°，
∵点O是AC的中点，
∴BO=12AC=AO=OC，
∵OB=4，
∴AC=8，OA=OC=4，
∵OM//CD，OM=3，
∴OMAO=DCAC，
∴DC=OM×ACAO=3×84=6，
在Rt△ABC中AB=DC=6，
根据勾股定理得：
BC= AC2−AB2= 82−62=2 7，
故选：A．
由矩形的性质可得AD=BC，AB=DC，∠ABC=∠D=90°，然后由直角三角形的性质可得AC=8，OA=OC=4，再根据平行线的性质及勾股定理可得答案．
本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、平行线分线段成比例，熟练掌握平行分线段成比例解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：将直线y=2x−3向右平移2个单位．再向上平移2个单位后得到直线y=2x−5，
A、直线y=2x−5经过第一、三、四象限，故A选项错误；
B、直线y=2x−5与x轴交于(52,0)，故B选项错误；
C、直线y=2x−5，y随x的增大而增大，故C选项错误；
D、直线y=2x−5与y轴交于(0,−5)，故D选项正确．
故选：D．
利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意得虚线①所对的圆弧对的圆心角为45°，展开后得到的多边形为正八边形，
所以虚线①所对的圆弧长为45×π×1180=π4，
展开后得到的多边形的内角和为180°×(8−2)=1080°．
故选：C．
把360度折叠三次得到45°，则可根据弧长公式计算出虚线①所对的圆弧长，由于把圆分成两8个相同的部分，从而得到圆的内接正八边形，然后根据多边形的内角和求解．
本题考查了弧长的计算：弧长公式：l=nπR180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)，也考查了多边形内角与外角和折叠性质．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是旋转中的坐标变化，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】
解：如图
由题意，第一次旋转的P1坐标为(2,−1)，
∵将线段PO绕点O按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，每4秒一个循环，
∴2021÷4=505……1，
∴第2021秒时，点P与P1重合，点P的对应点坐标为(2,−1)．
11.【答案】1
【解析】【分析】根据同类二次根式的定义建立关于a的方程，求出a的值．
本题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【解答】
解：∵最简二次根式 1+a与 4a−2是同类二次根式，
∴1+a=4a−2，
解得a=1．
故答案为1．
12.【答案】60°
【解析】解：∵四边形AOBC是菱形，
∴∠ACB=∠AOB，
∵∠AOB=2∠D，∠D+∠C=180°，
∴∠ADB=60°．
故答案为：60°．
根据菱形的性质可得∠ACB=∠AOB，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠D，再由圆内接四边形对角互补可得∠D+∠C=180°，进而可得答案．
此题主要考查了圆周角定理以及菱形的性质和圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13.【答案】16
【解析】【分析】
主要考查了抛物线的顶点坐标公式．此公式要掌握可使计算简便．
利用顶点公式(−b2a,4ac−b24a)进行解答即可．
【解答】
解：∵a=1，b=−8，顶点在x轴上，
∴顶点纵坐标为0，即4ac−b24a=4c−(−8)24=0，
解得c=16．
14.【答案】13
【解析】解：由图形知：tan∠ACB=26=13，
故答案为：13．
结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．
15.【答案】4
【解析】解：连接CF，CE，AE，如图：
∵点D(2,2)在双曲线l2：y=kx(k≠0)上，
∴2=k2，
∴k=4，
∴双曲线l2：y=4x，
点D(2,2)在直线 l1：y=tx−t(t≠0)上，
∵2t−t=2，
∴t=2，
∴直线 l1：y=2x−2，
令y=0，
∴2x−2=0，
∴x=1，
∴A(1,0)，
点B直线 l1：y=2x−2，
令x=0，
∴y=−2，
∴点B(0,−2)，
∵点B，C关于x轴对称，
∴C(0,2)，
又平移后，DE=AO=1，EF=CO=2，
∴点E(1,2)，
∴F(1,4)，
由平移知，AC扫过的部分是平行四边形ACFD，
∵C(0,2)，E(1,2)，D(2,2)，
∴点C，D，E在一条直线上，
同理A，E，F也在同一条直线上，
由平移知，EF⊥DE，则四边形ACED是菱形，
∵F(1,4)，
∴AF=4，
∵CD=2，
∴线段AC扫过的面积等于平行四边形ACFD的面积=12×CD×AF=4．
利用待定系数法和x轴上点的坐标特征求出直线和双曲线的解析式，再得出各点坐标，由平移可知，线段AC扫过的面积等于平行四边形ACFD的面积即可求解．
此题考查了反比例函数综合题，待定系数法，坐标轴上点的坐标特征，平移的性质，对称性，判断出点C，D，E在同一条直线上是解题的关键．
16.【答案】解：x+1x−1−6x2−1=1，
方程两边同乘(x+1)(x−1)，
得(x+1)2−6=(x+1)(x−1)，
整理，得2x=4，解得x=2，
检验，把x=2代入(x+1)(x−1)=3≠0．
所以，原方程的根是x=2．
【解析】观察可得最简公分母是(x+1)(x−1)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了分式方程的解法，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．
17.【答案】解：原式=1+3 2× 22−( 2−14)
=1+3− 2+14
=174− 2．
【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可．
本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，直线EF即为所求；

(2)证明：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠ODF=∠OBE，
由作图过程可知：OD=OB，
在△ODF和△OBE中，
∠ODF=∠OBEOD=OB∠DOF=∠BOE，
∴△ODF≌△OBE(ASA)，
∴BE=DF．
【解析】本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法和得到△ODF≌△OBE．
(1)分别以点B和D为圆心，大于二分之一BD长为半径画弧，即可作BD的垂直平分线；
(2)在(1)的条件下，利用ASA证明△ODF≌△OBE即可得BE=DF．
19.【答案】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：(500−20x)(10+x)=6000，
整理，得x2−15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10．
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克水果应涨价5元．
【解析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额=每千克盈利×日销售量．
20.【答案】解：设AD=x米，
∵∠ABD=45°，∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=AD=x米，
∴CD=BD+BC=(x+50)米，
∵∠ACD=30°，tan∠ACD=ADCD=tan30°= 33，
∴xx+50= 33，
解得：x=25+25 3，
经检验，x=25+25 3是原方程的解，且符合题意，
答：小明他家到公路l的距离AD的长度为(25+25 3)米．
【解析】证明△ABD是等腰直角三角形，得BD=AD=x米，则CD=(x+50)米，再由锐角三角函数定义得xx+50= 33，解方程即可．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】4 40 36
【解析】解：(1)由题意得，y=10÷25%=40，
∴x=40−24−10−2=4．
扇形图中表示C的圆心角的度数为360°×440=36°．
故答案为：4；40；36．
(2)列表如下：
共有6种等可能的结果，其中同时抽到甲、乙两名学生的结果有：(甲，乙)，(乙，甲)，共2种，
∴同时抽到甲、乙两名学生的概率为26=13．
(1)用频数分布表中B的频数除以扇形统计图中B的百分比可得y的值，进而可得x的值．用360°乘以C等级的人数所占的百分比，即可得出答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及同时抽到甲、乙两名学生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、频数分布表，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵P(1,m)为反比例函数y=4x图象上一点，
∴代入得m=41=4，
∴m=4；
(2)令y=0，即kx+b=0，
∴x=−bk，A(−bk,0)，
令x=0，y=b，
∴B(0,b)，
∵PA=2AB，
由图象得，可分为以下两种情况：
①B在y轴正半轴时，b>0，
∵PA=2AB，
过P作PH⊥x轴交x轴于点H，
又B1O⊥A1H，∠PA1O=∠B1A1O，
∴△A1OB1∽△A1HP，
∴A1B1A1P=A1OA1H=B1OPH=12，
∴B1O=12PH=4×12=2，
∴b=2，
∴A1O=OH=1，
∴|−bk|=1，
∴k=2；
②B在y轴负半轴时，b<0，过P作PQ⊥y轴，
∵PQ⊥B2Q，A2O⊥B2Q，∠A2B2O=∠PB2Q，
∴△A2OB2∽△PQB2，
∴A2B2PB2=13=A2OPQ=B2OB2Q，
∴A2O=|−bk|=13PQ=13，B2O=13B2Q=12OQ=|b|=2，
∴b=−2，
∴k=6，
综上，k=2或k=6．
【解析】(1)把P(1,m)代入反比例函数解析式即可求得；
(2)分两种情况，通过证得三角形相似，求得BO的长度，进而即可求得k的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得BO的长度的解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图，连接OC，

∵CF是⊙O的切线，点C是切点，
∴OC⊥CF，
即∠OCF=90°，
∴∠OCB+∠BCF=90°，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE=DE=12CD=3,∠BEC=90°
∴∠BCE+∠OBC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠BCE=∠BCF，
即CB平分∠FCD．
(2)解：连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=12CD=3,OC=OG=12AB= 10，
∴OE= OC2−CE2=1，
∵GM⊥AB，CD⊥AB，
∴CE//GM，
∴△GMH∽△CEH，
∴GHCH=GMCE=MHHE，
∵CH=3GH，
∴13=GM3=MHHE，
∴GM=1，
设MH=x，则HE=3x，
∴HO=3x−1.OM=4x−1，
在Rt△OGM中，OM2+GM2=OG2，
∴(4x−1)2+12=( 10)2
解得x=1(负值舍去)，
∴BH=OH+OB=3×1−1+ 10=2+ 10
【解析】(1)连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CF，即∠OCF=90°，根据直角三角形的性质得到CE=DE=12CD=3,∠BEC=90°，求得∠BCE+∠OBC=90°，等量代换得到∠BCE=∠BCF，根据角平分线的定义得到BC平分∠DCF；
(2)连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，根据圆周角定理CD⊥AB，得到CE=12CD=3，OC=OG=12AB= 10，根据勾股定理得OE= OC2−CE2=1，根据相似三角形性质得到GM=1，设GM=1MH=x，则HE=3x，根据勾股定理即可得到即可．
本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
24.【答案】32 2 (−1,0) 12
【解析】解：(1)∵抛物线y=−12x2+bx+c经过点 B(4,0)，C(0,2)，
−8+4b+c=0c=2，
解得b=32c=2，
∴抛物线解析式为y=−12x2+32x+2，
∵抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于A、B(4,0)两点，
∴y=0时，−12x2+32x+2=0，
解得x1=−1，x2=4，
∴A(−1,0)，
∴OB=4，OC=2，
在Rt△COB中，tan∠ABC=OCOB=24=12，
故答案为：32，2，(−1,0)，12；
(2)如图1，过点C作CD//x轴，交BP于点D，过点 P作PE/​/x轴，交y轴于点E，
∵AO=1，OC=2，OB=4，
∴tan∠OCA=AOCO=12，
由(1)可得，tan∠ABC=12，即tan∠OCA=tan∠ABC，
∴∠OCA=∠ABC，
∵∠PCB=2∠OCA，
∴∠PCB=2∠ABC，
∵CD/​/x轴，PE/​/x轴，
∴∠ABC=∠DCB，∠EPC=∠PCD，
∴∠EPC=∠ABC，
又∵∠PEC=∠BOC=90°，
∴△PEC∽△BOC，
∴EPOB=ECOC，
设点P坐标为(t,−12t2+32t+2)，则 EP=t，EC=−12t2+32t+2−2=−12t2+32t，
∴t4=−12t2+32t2，
解得 t=0(舍去)或t=2，
∴点P坐标为(2,3)
(3)如图2，作DH⊥DQ，且使DH=BQ，连接FH，
∵∠BQD+∠BDQ=90°，∠HDF+∠BDQ=90°，
∴∠BQD=∠HDF，
∵QE=DF，DH=BQ，
∴△BQE≌△HDF(SAS)，
∴BE=FH，
∴BE+QF=FH+QF≥QH，
∴Q，F，H共线时，BE+QF的值最小，
作QG⊥AB于点G，
∵OB=OD，∠BOD=90°，
∴∠OBD=45°，
∵∠QBD=90°，
∴∠QBG=45°，
∴QG=BG，
设G(n,0)，则Q(n,−12n2+32n+2)，
∴−12n2+32n+2=4−n，
解得n=1或n=4(舍去)，
∴Q(1,3)，
∴QG=BG=4−1=3，
∴BQ=DH=3 2，QD=5 2，
∴m=QH= (3 2)2+(5 2)2=2 17．
(1)利用待定系数法求出b、c的值，得到抛物线解析式为y=−12x2+32x+2，由y=0可得A(−1,0)，根据正切定义可求出tan∠ABC；
(2)过点C作CD//x轴，交BP于点D，过点 P作PE/​/x轴，由tan∠OCA=tan∠ABC=12可得∠OCA=∠ABC，证明△PEC∽△BOC，得到EPOB=ECOC，设点P坐标为(t,−12t2+32t+2)，可得t4=−12t2+32t2，解之即可求解；
(3)作DH⊥DQ，且使DH=BQ，连接FH，证明△BQE≌△HDF(SAS)得到BE+QF=FH+QF≥QH，Q，F，H共线时，BE+QF的值最小，作QG⊥AB于点G，设G(n,0)，则Q(n,−12n2+32n+2)，得到−12n2+32n+2=4−n，求出Q(1,3)，再利用勾股定理即可求解．
本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．成绩等级频数分布表
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y
甲
乙
丙
甲
(甲，乙)
(甲，丙)
乙
(乙，甲)
(乙，丙)
丙
(丙，甲)
(丙，乙)