2024商洛高三下学期第四次模拟检测试题数学（理）含解析

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考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，复数是复数的共轭复数，则（ ）
A．2B．C．1D．
2．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．的展开式中常数项是（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
4．已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ）
A．65B．55C．45D．35
5．近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初的污染物数量）．如果前3小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）
A．2.6小时B．6小时C．3小时D．4小时
6．在中，是的中点，点分的比为与相交于．设，则向量（ ）
A．B．C．D．
7．已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（ ）
A．8B．16C．32D．48
9．已知函数，给出的图像对应的函数解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数与函数
的图像的对称轴相同，给出下列结论：
①的值可以为4；
②的值可以为；
③函数的单调递增区间为；
④函数的所有零点的集合为．其中正确的为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
11．已知是双曲线右支上的动点，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．
12．已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在区间上随机取两个实数，则事件的概率为_______．
14．曲线的一条切线方程为，则_______．
15．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为_______．
16．已知函数满足，则满足的最大正整数的值为_______．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
18．（本小题满分12分）
现从某学校高三年级男生中随机抽取50名男生测量身高，测量发现被测学生的身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，…，第6组．如图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）试评估该校高三年级男生的平均身高；
（2）求这50名男生身高在以上（含）的人数；
（3）从这50名身高在以上（含）的男生中任意抽取2人，将这2人中身高在（含）以上的人数记为，求的数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图1，在矩形中，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥．
图1 图2
（1）当时，求的长；
（2）当平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程．
（2）设是椭圆的右顶点，是椭圆上不同的两点，直线的斜率分别为，，且．过作，垂足为，试问是否存在定点，使得线段的长度为定值?若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若函数和的图像在上有交点，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知曲线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点，以极点为原点，轴的负半轴为极轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围．
23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数的最小值是．
（1）求；
（2）若正数满足，求证：．
商洛市202244届高三第四次模拟检测
数学试题（理科）参考答案及评分意见
一、选择题：
1．A．【详解】根据复数的运算性质，可得．故选A．
2．B．【详解】，解得，所以，所以．故选：B
3．B 【详解】的通项为，令有．故的展开式中常数项为第5项．故选：B
4．D．【详解】设数列的公差为，则，
．故选：D
5．C．【详解】由题意可得，可得，设，
，解得
因此，污染物消除至最初的还需要3小时．故选：C．
6．C．【详解】由题意三点共线，所以存在，使得，
同理三点共线，所以存在，使得，
由平面向量基本定理可得，解得，所以．故选：C．
7．C．【详解】由已知是的中位线，可知，过向准线做垂线，垂足分别为，同理是的中位线，，有抛物线定义知，因此，点横坐标是该，所以，故选：C．
方法二：设点，则，由已知，解得，所以，故选：C．
8．B．【详解】观察可发现这个棱锥是将一个侧面摆在地面上，而棱锥的真正底面体现在正视图（梯形）中，所以，而棱锥的高为侧视图的左右间距，即，所以答案：B
9．D【详解】对于，定义域为，满足，为偶函数．同理可得：为奇函数．
记，则
所以且，所以为非奇非偶函数；
同理可证：为非奇非偶函数；和为奇函数．
由图可知，图像对应函数为奇函数，且．显然选项A，B对应的函数都不是奇函数，故排除；
对C：，为奇函数．
当时，，故错误；
对D，，为奇函数．当时，．故正确．故选：D．
10．B．【详解】对于①，因为两函数图像的对称轴相同，且两相邻对称轴之间的距离等于周期的一半，所以两函数的周期也相同，
因此，解得，故①错误；
对于②，因为，所以，当时，
，此时与的图像关于轴对称，则它们的对称轴相同，故②正确；
对于③，令得，，故的单调递增区间为，故③正确；
对于④，的所有零点满足，解得所有零点的集合为，故④错误．
11．C．【详解】由双曲线定义，
，当且仅当取得最小
值．故选：C
12．B．【详解】由题意，不等式即，进而转化为令，
则，当时，，所以在上单调递增
则不等式等价于恒成立因为，所以，
所以对任意恒成立，即恒成立
设，可得，当单调递增
当单调递减．所以有最大值，于是，解得．
故选：B
二、填空题：本题共4小题．
13． 14．1 15． 16．12
13．答案：．【详解】事件概率为．
14．答案：【详解】，切线为，斜率为，
15．答案：【详解】因为的中点是球心，所以该球的半径为，所以外接球的体积为．
16．答案：12【详解】，
所以数列是公比为2的等比数列，则有
所以所解不等式为：
可解得：
的最大值为12
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
17．答案：（1） （2）
【详解】（1）在中，，由正弦定理得：
所以，．
所以，，即，即，
又，所以，所以，即
（2）在中，
由余弦定理得，即．，
所以．
18．【详解】（1）由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为，
平均值为168.72，高于全市平均值168．
（2）由频率分布直方图知，后3组频率为，人数为，即这50名男生身高在以上（含）的人数为10．
（3）由已知50人中以上的有2人．
随机变量可取0，1，2，于是，
19．【详解】（1）由，且平面，
可得平面，
又平面，则，
在中，根据勾股定理，．
（2）如图，过点作于点，
由代值易得：．
由平面平面，平面平面平面，
可知平面．
在平面中，过点作的垂线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．则，
有．
设平面的法向量，则，
令，解得其中一个法向量；
设平面的法向量，则，
令，解得其中一个法向量．
于是，，
故平面和平面夹角的余弦值为．
20．【详解】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以，
则椭圆的方程为．
又椭圆经过点，所以，
解得，所以椭圆的方程为．
（2）
设，若直线斜率为0，不妨设，
此时是方程的两根，所以，
但，不满足题意；
若直线斜率不为0，直线的方程为，且，
联立方程组，消去得，
由，得，
所以．
又因为，所以，整理得，
即，
化简得．
所以，
化简得，解得，即直线恒过点．
因为，所以点在以线段为直径的圆上，取线段的中点，
则，所以存在定点，使得线段的长度为定值．
21．【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，．
则令，得
（1）当时，
（2）当时，
（3）当时，
综上当时，在上递减；当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增，在上递减
（Ⅱ）当时，设
函数和的图像在有交点，等价于
函数和的图像在上有交点，即
函数和的图像在上有交点，等价于的图像在有零点
的单调递增区间是，单调递减区间是．
，由（Ⅰ）知
当时，在为增函数，在上有零点，则
或，
当时，在递增，在递减，
即，
综合得：实数的取值范围为
（二）选考题；请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（1）；（2）．
【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），
所求方程为
曲线的极坐标方程为
（2）联立和，得，
设，则，
由，得，
当时，取最大值，故实数的取值范围为
23．（1） （2）证明见解析
【详解】（1）由题意得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此的最小值
（2）由（1）知，且均为正数，
所以，
由基本不等式，
所以，
当且仅当时等号成立，即1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
B
D
C
C
C
B
D
B
C
B
+
0
-
极小值
+
0
-
极小值