安徽省合肥市中国科学技术大学附属中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 卷面满分150分
一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，点表示复数，则的虚部是（ ）
A. 3B. C. D.
2. 已知点则与同方向的单位向量为
A. B. C. D.
3. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=
A B. C. 2D. 3
4. 已知，用，表示，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 在中，，，则的面积为（ ）
A. B. 1C. D.
6. 在中，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
7. 点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形是（ ）
A. 点是的垂心B. 点是的重心
C. 点是的外心D. 点是的内心
8. 设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1，则（ ）
A. 若确定，则唯一确定B. 若确定，则唯一确定
C 若确定，则唯一确定D. 若确定，则唯一确定
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 .全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面四个命题中的真命题为（ ）
A. 若复数，则B. 复数的充要条件条件是
C. 对任意复数都有D. 若复数（），且，则
10. 如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（ ）
A B.
C. D. 在上的投影向量为
11. 在中，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则有两解B. 周长有最大值6
C. 若是钝角三角形，则边上的高的范围为D. 面积有最大值
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则______.
13. 如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且，则x的取值范围是___；当时，y的取值范围是___.
14. 在中，内角的对边分别为，角为锐角，且，则的取值范围为__________．
四、解答题: 本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）若三点共线，求实数值.
16. 已知向量满足.
（1）求向量的夹角；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
17. 在 中，内角的对边分别为 .已知
（1） 求的值
（2） 若 ，求的面积.
18. 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲､乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50.在甲出发4后，乙从乘缆车到，在处停留1后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为130，索道AB长为2080，经测量，.
（1）求AC的长；
（2）问：乙从A出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过5，乙步行的速度应控制在什么范围内？
19. 在中，内角的对边分别是，且， .
（1）求角B；
（2）若，求边上的角平分线长；
（3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.