2023-2024年度第二学期北师大版六年数学竞赛题（跑道专项题含详解）

这是一份2023-2024年度第二学期北师大版六年数学竞赛题（跑道专项题含详解），共10页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 应用题等内容，欢迎下载使用。
一、 选择题
1 .一条单线铁路上有5个车站A，B，C，D，E，它们之间的路线如图所示，两辆货车同时从A，E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米，从E站开出的每小时行50千米，由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道，那么应安排在某个站相遇，才能使停车等候的时间最短，先到这一站的那一列货车至少需要停车的时间是( ).
A.10分钟B.11分钟C.12分钟D.15分钟
2 .战士小王从地前往地送信，他每走分钟就休息分钟，到达地共需小时分，从地原路返回的速度是去时的倍，若他每走分钟就休息分钟．从地返回到地共需（ ）分钟．
A.B.C.D.
3 .小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走，小张速度是每小时千米，小王速度是每小时千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过分钟，小李与小王相遇，那么绕湖一周的行程为（ ）千米．
A.B.C.D.
4 .如图是一个长为米的环形跑道，其中为跑道对称轴上的两点，且之间有一条米长的直线通道．盛盛和东东同时从点处出发，东东按逆时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到点时继续沿原跑道前进；盛盛按顺时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到点处时立即进入直线通道跑回点处．假设两人跑的时间足够长，如果:，那么东东跑了几圈之后，两人首次在点处相遇？
A.B.C.D.
二、 填空题
1 .甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们的速度均保持不变，如果两人同时同地出发相背而跑，分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需分钟，那么乙跑一周需 分钟.
2 .一条环形跑道的长是米，小东和小明在跑道上同一点沿相反方向同时出发，小东每秒跑米，小明每秒跑米，那么，除第一次出发以外，分钟内两人在途中相遇 次．
3 .一个充气的救生圈（如下图）．大圆半径是厘米，小圆半径是厘米．有两只蚂蚁同时从、两点出发，以同样的速度分别沿小圆和大圆爬行．小圆上的蚂蚁爬了 圈后，正好与大圆上的蚂蚁第一次同时回到各自的起点处．
4 .一条环形跑道的长是米，小东和小明在跑道上同一点沿相反方向同时出发，小东每秒跑米，小明每秒跑米，那么，除第一次出发以外，两人在中途相遇了 次后又相遇在原出发点．
5 .甲、乙两人在米的环形跑道上赛跑，甲每秒跑米，乙每秒跑米，如果甲让乙先跑秒，则甲出发后第 秒后，甲、乙两人第二次相遇．
6 .如图，正方形的边长为，蓝精灵和红精灵在这里玩追逐游戏．蓝精灵在点，红精灵在点，它们俩同时按逆时针方向绕着正方形转圈，蓝精灵的速度为米分钟，每跑分钟就休息分钟，红精灵的速度为米分钟，每跑分钟就休息分钟．
( 1 )分钟后蓝精灵和红精灵的距离是 米．
( 2 )经过 分钟红精灵追上蓝精灵．
7 .环湖健身玄武湖环湖健身步道全长千米，是南京市的一条“网红健身步道”．一天，军军和爸爸同时从同一个起点出发沿这条环湖健身步道反向慢跑，经过一段时间两人相遇．另一天，军军和爸爸还从原来的起点出发，速度也和上次保持一样，不过这回两人同向慢跑，爸爸追上军军所用时间是上次相遇所用时间的倍．爸爸的速度是军军的 倍．
8 .一条环形跑道长米，强仔和杨绵绵两人同时同地反向出发，第一次相遇时两人的路程和是 米．
9 .题图中，外圆的周长为米，阴影部分是个“逗号”．小明和小强分别从，同时出发跑步．小明从出发，按箭头方向沿“逗号”四周每秒跑米；小强从出发，按顺时针方向沿外圆周每秒跑米．当小强第一次追上小明时，小强共跑了 米．
10 .如图，大圈是米跑道，由到的跑道长是米，直线距离是米。父子俩同时从点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到点便沿直线跑。父亲每米用秒，儿子每米用秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第 圈时，第一次与父亲相遇。
三、 应用题
1 .甲、乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端，如果他们同时出发，并在甲跑完米时第一次相遇，乙跑一圈还差米时两人第二次相遇，求跑道的长度是多少米？
2 .小兵和小月一起去操场散步．小兵走一圈要分钟，小月走一圈要分钟．如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后两人相遇？
3 .一条环形跑道长米，小青每分钟跑米，小兰每分钟跑米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？
4 .如图，在一个正方形环形跑道上，甲乙丙三人同时从点出发，逆时针环行．已知，甲、乙、丙跑一圈的时间分别为、、分钟．
( 1 )出发后多少分钟后，甲乙丙第一次同时经过点？
( 2 )出发后多少分钟（分钟数为整数）后，以甲乙丙所在的位置为顶点所组成三角形的面积第一次恰好为正方形面积的一半？
5 .某一运动场的米环型跑道上，小王从点，小李从点同时出发反向而行，分钟后小王与小李相遇，再过分钟，小王到达点，又再过分钟，小王与小李再次相遇，问小王与小李每分钟各走多少米？
6 .在一个米的环形跑道上，兄弟两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
7 .甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙速度是甲速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了．已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点米，问：这条椭圆形跑道长多少米？
8 .甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了，已知甲、乙二人相遇点距第一次相遇点米，问这条椭圆形跑道长多少米?
9 .如图，长方形跑道中，，为边的三等分点，在上且，甲、乙两人从点同时出发，反向而行，在点相遇；如果甲的速度提高米秒，而乙的速度降低米秒，则两人在点相遇；如果甲的速度提高米秒，而乙的速度降低米秒，则两人在点相遇，求甲、乙两人原来的速度和．
10 .如下图所示的三条圆形跑道，每条跑道的长都是千米，、、三位运动员同时从交点出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时千米，每小时千米，每小时千米．问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？
1 、【答案】 B
【解析】 安排在D站相遇.A，E总路程两车速度之和4.5(小时)也就是说4.5小时后会相遇.4.5小时时从E出发的车还没有到D站，还差5千米，而从A出发的车过了D站5千米，所以A出发的车只能在D站等从E出发的车经过.A在D站等小时时E车还没到D站，还差5千米，E车再走5千米到达D站，用时小时，此时等待时间短，即:(分钟)，所以选B.
2 、【答案】 C
【解析】 去的过程中一共花了分钟，说明走路时间一共是分．回来过程中速度为原来的倍，走路的时间则为原来的，即分钟，即一共走了次，第次走完之后不用休息，则一共花了分钟．
3 、【答案】 C
【解析】 圆周上的二次相遇．
方法一：如图，
小王和小张的路程差：（千米）
小王与小李的速度和：（千米/分）
小李的速度：（千米/分）
全程：（千米）
方法二：设小李每小时行千米，由题意得
解得
（千米）．
4 、【答案】 C
【解析】 设东东跑了圈后，两人首次在点处相遇．再设甲乙两人的速度分别为，．由题意可得，在处相遇时，他们跑步的时间是，盛盛跑的路程为．因为盛盛跑通道回到处，所以应为的整数倍，从而得知的最小值应为．所以东东跑了圈（即米）后，两人首次在点相遇．
5 、【答案】
【解析】 看成工程问题，我们设总路程为，速度和为，甲速为，乙速为，乙跑一周用分钟.
6 、【答案】
【解析】 两人共跑圈米时会相遇一次．
（米），
（次）（米）．
7 、【答案】
【解析】 由于两只蚂蚁的速度相同，所以大、小圆上的蚂蚁爬一圈的时间的比应该等于圈长的比．而圈长的比又等于半径的比，即：．
要问两只蚂蚁第一次相遇时小圆上的蚂蚁爬了几圈，就是要找一个最小的时间它是大、小圆上蚂蚁各自爬行一圈所需时间的整数倍．适当地选取时间单位，使小圆上的蚂蚁爬一圈个单位的时间，而大圆上的蚂蚁爬一圈用个单位的时间．这样一来，问题就化为和的最小公倍数的问题了．
和的最小公倍数是，
（圈）
答：小圆上的蚂蚁爬了圈后，再次碰到大圆上的蚂蚁．
8 、【答案】
【解析】（秒）（每经过秒两个相遇一次），
（米）（每相遇一次小东比小明多跑米），
（次）（一共相遇次再次在原点相遇），
（次）（中途相遇了次）．
9 、【答案】
【解析】 赛跑即两人同向而行，属于追及问题，（秒），故甲出发后第秒后甲、乙两人第二次相遇．
10 、【答案】 (1)
(2)
【解析】 (1)根据题意，蓝精灵每分钟休息分钟，，
就是分钟内只休息次，（分钟）．
所以蓝精灵跑的距离为（米）．
红精灵每分钟休息分钟，，
就是分钟内只休息次，（分钟）．
所以蓝精灵跑的距离为（米）．
所以蓝精灵和红精灵的距离是（米）．
(2)根据题意，蓝精灵每跑分钟就休息分钟，红精灵每跑分钟就休息分钟，
因为蓝精灵和红精灵相隔距离为米，
所以红精灵追上蓝精灵时，红精灵比蓝精灵多跑了米.
所以红精灵跑米花费分钟，米花费分钟，米花费分钟，米花费分钟，米花费分钟
蓝精灵跑米花费分钟，米花费分钟，米花费分钟，米花费分钟，
所以在第分钟时，红精灵在休息，蓝精灵休息结束时，红精灵刚好追上蓝精灵，在点相遇.
答：分钟．
11 、【答案】
【解析】 爸爸追上军军所用时间是相遇所用时间的倍，那么速度和是速度差的倍，，所以．
12 、【答案】
【解析】
13 、【答案】
【解析】 两人初始相距米，追米需要（秒），此时小明在圆内的弧线上，小强在外圆周上，两人遇不到．此时，小强需要再追米才能追上．（秒），这时小强能在外圆周追上小明．因此小强一共跑了（米）．
14 、【答案】 3
【解析】 父亲和儿子只能在由沿逆时针方向到这一段跑道上相遇，儿子比父亲跑得快，相遇时为儿子追上父亲。
儿子跑一圈用时，即儿子每过秒到达点一次。
同理，父亲跑一圈用时，即每过秒到达点一次。
在从到逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑，父亲要跑。因此，只要在父亲到达点后的秒之内，儿子也到达点，儿子就能从后面追上父亲。
①儿子跑完一圈回到点，用时，此时父亲已经离开点，所以儿子无法追上父亲；
②儿子跑完两圈回到点，用时，此时父亲离开点，儿子刚好能追上父亲。
因为儿子之前已经跑完圈，所以是正在跑第圈时，第一次与父亲相遇。
15 、【答案】．
【解析】 方法一：到第二次相遇,甲一共跑了米,即跑道长米.
方法二：从开始出发到第一次相遇，两人合走半圈，其中甲跑了米；从开始出发到第二次相遇，两人合走一圈半，路程是第一次相遇时的倍，因此甲跑了（米），相当于半圈多了米，因此半圈的长度为（米），一圈的长度为（米）．
方法三：注意分析：
①两人起跑到第一次相遇一共跑了半圈，到第二次相遇又一起跑了一圈，因此“第一次相遇到第二次相遇”的时间是“开始跑到第一次相遇”的时间的二倍．俩人跑的总时间为．
②两人跑的路程：先跑了半圈，后来又跑了圈，共圈；乙跑的路程圈米；则甲跑的路程：圈米．
设俩人一起跑了半圈的时间为（即到第一次相遇俩人跑的时间），跑道长为．
所以有：甲的速度：
乙的速度：
方法一：根据前面的分析，利用甲列方程：
解得：
方法二：同理利用乙列方程，有：
解得
不用方程的话：（米）．
式子的意义：甲跑的总路程(，俩人能够跑了三个半圈，所以甲跑了个)除去乙少跑的米剩下的刚好为半圈的路程，因此有上式．
16 、【答案】分钟．
【解析】
（分钟）．
答：相背而行，分钟后两人相遇．
17 、【答案】分钟.
【解析】 小青每分钟比小兰多跑米一圈是米，（分钟），所以跑分钟．
18 、【答案】 (1)．
(2)．
【解析】 (1)分钟．
(2)引理：长方形的内接三角形面积不超过此长方形面积的一半，等号成立的条件是三角形某两个顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，第三个顶点在长方形的对边上．证明如下：
①若此三角形只有个顶点在长方形顶点上，适当割补图形，能证明面积必然小于一半；
②若此三角形有某两点在同一条边上，易见面积不超过一半，且等号成立条件恰如上述条件：
③若此三角形的个顶点分属长方形的三条边，则可转化成情形①，面积一定小于一半；
④若此三角形某有两个顶点恰在长方形的两个对顶点上，而此三角形的第个顶点不在长方形顶点处，也易见面积小于一半；
⑤若此三角形某有两个顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，则第个顶点若不在对边上，则面积小于一半；若在对边上（含顶点处）则面积等于一半；
综合以上几种情况，引理得证．下面求解原题．
根据引理的等号成立条件，可知甲、乙、丙必须有某两人站在相邻的顶点处，第三人在对边上时，才能满足“三角形面积恰为正方形一半”这个条件．甲、乙、丙的速度比为，下面以甲乙、乙丙、甲丙站在相邻顶点的时刻来分类讨论：
寻找甲乙站在相邻顶点处的时刻：由于甲乙速度比为，故甲跑个边长时，乙必然跑了个边长，两人之间的路程差距是个边长，但，故知甲站在顶点处时，乙要么站在顶点处，要么和甲站在同一位置，故知不可能有甲乙站在相邻顶点处的时刻．
寻找乙丙站在相邻顶点处的时刻：由于乙丙速度比为，故乙跑个边长时，丙必然跑了个边长，两人之间的路程差距是个边长，解同余方程，得，，，
当乙跑个边长在点，丙跑个边长在点时，甲跑了个边长在上，不符引理要求；
当乙跑个边长在点，丙跑个边长在点时，甲跑了个边长在点上，不符引理要求；
当乙跑个边长在点，丙跑个边长在点时，甲跑了个边长在上，符合引理要求，用时（分钟）．
寻找甲丙站在相邻顶点处的时刻：由于甲丙速度比为，故甲跑个边长时，丙必然跑了个边长，两人之间的路程差距是个边长，解同余方程，得，，，
当甲跑个边长在点，丙跑个边长在点时，乙跑了个边长在上，不符引理要求；
当甲跑个边长在点，丙跑个边长在点时，乙跑了个边长在上，符合引理要求，用时（分钟）．
综上，由于，故第一次符合条件的时刻是在分钟之后．
19 、【答案】 小王：米/分 小李：米/分
【解析】 根据题意：小王与小李的速度比是，设小王的速度是米/分，
小李的速度是米/分，根据题意可得方程：
，解得，
所以小王的速度是：（米/分），
小李的速度是：（米/分）．
答：小王的速度是米/分，小李的速度是米/分．
20 、【答案】分钟、分钟
【解析】，表示哥哥、弟弟的速度差；
，表示哥哥、弟弟的速度和；
，表示较快的速度；
，表示较慢的速度；
（分钟），表示跑得快者用的时间；
（分钟），表示跑得慢者用的时间．
21 、【答案】米．
【解析】
设：，，小时，，
，（甲跑第二圈速度）
，（乙跑第二圈速度）
（小时），
，（当乙跑到出发点时甲已返回小时，行份路程）
（小时），（乙返回行小时与甲第二次相遇）
，，（第二次相遇点和第一次相遇点相距）
（米），（跑道长米）
跑道长米．
22 、【答案】 这条椭圆形跑道长米．
【解析】 乙的速度是甲的速度的，设甲速为，那么乙速是，他们的速度比是甲：乙；
相遇问题，第一次相遇在距甲出发点占全程的处，当甲跑完一圈的时候，乙只能跑圈，也就是距离甲出发点占全程的处，
现在甲提速，那么速度变成了，现在他们的速度比为，所以当乙跑完剩下的时，甲可以跑，也就是在距离甲出发点处；
现在乙提速，变成了，所以他们的速度比是甲∶乙，现在他们的相遇在距离甲出发点处，所以距离第一次相遇，
现在是米，所以总长（米）．
答：这条椭圆形跑道长米．
23 、【答案】米秒．
【解析】，
则，
设为份，为份，（份），（份），
由于无论如何，甲、乙速度和不变，
所以不提速时，两人速度比为，
甲、乙分别加、减速米秒，速度比为，
由于速度和不变，甲、乙速度都差份，即米，则份为米，甲、乙速度和为（米秒）．
24 、【答案】千米．
【解析】 三个运动员走完一圈的时间分别为小时、小时、小时，他们三人相遇地点只能是点，所以三人相遇时间是小时、小时、小时的公倍数，即小时，分别跑了圈、圈、圈，共计千米．