2023-2024湘一芙蓉八下第一次月考数学试卷

这是一份2023-2024湘一芙蓉八下第一次月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题3分，共18分）
1．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列根式中的最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
6．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．2，2，5D．2，，3
7．已知平行四边形ABCD中，∠A＝120°，则∠B的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
如图，在平行四边形ABCD中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，若AB＝8cm，BC＝10cm，则△AEF的面积为（ ）
A．40B．20C．50D．25
10．如图，正方形中，为上一点，线段的垂直平分线交于，为垂足，交正方形的两边于、，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．计算的结果是 ．
12．已知中，，则、、所对的三条边之比为 ．
13．如图，​在中，，于点D，，，那么长为 ．
14．如图，矩形ABCD的相邻两边的长分别是3cm和4cm，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于 cm．
15．一辆车的电池有100度电，该车行驶时每1小时耗电20度，则电池的剩余电量y（度）与该车行驶时间x（小时）（）之间的函数关系式为 ．
16．如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为 ．
解答题（（共9题，共72分））
17．计算：．
先化简，再求值：，其中．
19．已知a＝－1，b＝＋1.
求：(1)a2b＋ab2的值；(2)的值．
20．我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下滴水，每滴水约．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开小时后，水龙头滴了水．
(1)试写出与之间的函数关系式？
(2)当滴了水时，小明离开水龙头几小时？
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E是BC边上的一点，连接AE，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：△ACE≌△CBD；
（2）若BE=3，AB=6，求点E到AB的距离．
22．为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？
(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
23．如图，E，F是正方形的对角线上的两点，且．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若正方形边长为，，求菱形的面积．
24．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，点，和分别在，和的延长线上，点的坐标为．

(1)若点的坐标为，请直接写出的长；
(2)如图（1），是正方形外一点．．求证；
(3)如图（2），若，且，请直接用含的式子表示的长．
参考答案：
1．D
【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
2．C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，理解并掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”解答即可．
【详解】解：∵到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，
∴这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
3．C
【分析】根据二次根式的加减法法则逐一计算即可；
【详解】解：A、与不是同类二次根式不能合并，原选项不符合题意；
B、，原选项不符合题意；
C、，符合题意；
D、2与不是同类二次根式不能合并，原选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键
4．B
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，函数的定义，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
5．A
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．
【详解】A．是最简二次根式，此选项符合题意；
B．，不是最简二次根式，此选项不符题意；
C．，不是最简二次根式，此选项不符题意；
D．，不是最简二次根式，此选项不符题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，理解最简二次根式的满足的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
6．D
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A、因为12+22≠32，所以不能构成直角三角形；
B、因为22+32≠42，所以不能构成直角三角形；
C、因为22+22≠52，所以不能构成直角三角形；
D、因为，所以能构成直角三角形．
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7．A
【分析】由平行四边形的邻角互补直接可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝60°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解本题的关键．
8．D
【分析】根据矩形的判定方法进行分析即可．
【详解】A、，由一个角为直角的平行四边形是矩形知，为矩形，故此选项不符合题意；
B、∵在中，，又，则，则为矩形，故此选项不符合题意；
C、∵，∴，又，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形知，为矩形，故此选项不符合题意；
D、能判定平行四边形为菱形，不能判定它为矩形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形与菱形的判定，掌握矩形的判定方法是关键．
9．D
【分析】先根据矩形的性质及勾股定理求出BF得长，进而求出CF的长；设出未知数，根据勾股定理列出关于线段EF的方程，解方程求出EF的长度，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=10，DC=AB=8，∠B=90°；
由题意得：AF=AD=10，EF=DE，
设EF=DE=x，则EC=8-x，
由勾股定理得：BF2=AF2-AB2=100-64=36，
∴BF=6，FC=10-6=4；
在直角三角形EFC中，
由勾股定理得：x2=42+（8-x）2，
解得：x=5，
∴△AEF的面积=×10×5=25（cm2），
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
10．B
【分析】①过N作，则，先证明△BSN是等腰直角三角形，得出，再由，证明，得出，证出，即可得出；
②，是等腰直角三角形，，即可得出；
③假设成立，证明，得出，可判断③不一定成立；
④过P作的平行线交于K，证出，，即可得出结论．
【详解】解：①正确；过N作分别交、于S、T，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵线段的垂直平分线交于点N，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由①得：，是等腰直角三角形，，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
若，
则．
∵，
∴，
∴，显然不一定成立，故③错误；
过P作的平行线交于K，
∴．
∵垂直平，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点G，作于点H，
则，
由①得：，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等．
11．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
12．
【分析】先求出，，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
13．//
【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积的不变性计算，根据，，得，根据面积不变性，结合，得得到，再次运用勾股定理，得到，计算即可．
【详解】∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．10
【分析】连接AC、BD，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据菱形的性质计算周长．
【详解】解：连接AC、BD，
在Rt△ABD中，BD==5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=5，
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，EH=BD=，
同理，FG∥BD，FG=，EF∥AC，EF=AC=，
∴四边形EHGF为菱形，
∴四边形EFGH的周长=×4=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
15．（）
【分析】本题考查了列函数关系式，根据电池的剩余电量等于电池总电量减去消耗电量，即可列出函数关系式．
【详解】解：由题可知：
该车行驶时每1小时耗电20度，
电池的剩余电量y（度）与该车行驶时间x（小时）（）之间的函数关系式为：
（），
故答案为：（）．
16．
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在处，，
当点F与点E重合时，点P在处，，
∴且．
当点F在上除点C、E处的位置时，有．
由中位线定理可知：且．
∴点P的运动轨迹是线段，
∴当时，取得最小值．
∵矩形中，，E为的中点，
∴为等腰直角三角形，．
∴．
∴．
∴．
∴，即，
∴的最小值为的长．
在等腰直角中，，
∴
∴的最小值是．
故答案是：．
【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
17．
【分析】根据零指数幂的运算法则、绝对值的性质，二次根式的化简，负指数幂的运算法则即可解答．
【详解】解：
；
【点睛】本题考查了零指数幂的运算法则、绝对值的性质，二次根式的化简，负指数幂的运算法则，掌握对应法则是解题的关键．
18．，4
【分析】本题考查了分式的化简求值，先将括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，将分子、分母因式分解，约分后将a的值代入即可．
【详解】解：
，
当，原式．
19．(1)2;(2)6.
【分析】(1)先将代数式进行因式分解,然后再分别计算两个数的和,两个数的乘积,最后代入分解后的代数式即可求解,
(2)先将分式通分,然后根据完全平方公式变形,再将两个数的和,两个数的乘积代入变形后的代数式计算即可求解.
【详解】解:∵ab＝1,a＋b＝2,
∴(1)a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2,
(2)＝=,
∵ab＝1,a＋b＝2,
∴＝=.
【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要根据因式分解和完全平方公式对代数式进行变形.
20．(1)；
(2)小时．
【分析】（）根据毫升时间每秒钟的滴水量进行解答；
（）当，求出的值即可；
本题考查一次函数的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）∵水龙头每秒钟会滴下滴水，每滴水约毫升，
∴离开小时滴的水为，
∴；
（2）当时，
，解得（小时），
答：小明离开水龙头小时．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由余角的性质得∠D=∠AEC，根据AAS即可得到结论；
（2）根据条件，先求出AC=BC=6，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°，
∴∠D=∠AEC，
又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，
∴△ACE≌△CBD（AAS）
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，AB=6，
∴AC=BC=6，
∴S△ABE= BE×AC=AB×(点E到AB的距离)，
∴点E到AB的距离=．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定定理以及三角形的面积公式，掌握用三角形的面积法求高，是解题的关键．
22．(1)甲工程队每天修路75米，乙工程队每天修路50米．
(2)至少安排乙工程队施工30天．
【分析】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合两队各自修建公路600m时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天，根据总费用不超过38万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路米，
依题意，得： ，
解得：x=50， 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲工程队每天修路75米，乙工程队每天修路50米．
（2）解：设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天，
依题意，得：，
解得：m≥30．
答：至少安排乙工程队施工30天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接BD，根据对角线互相平分证出四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直证出四边形是菱形；
（2）根据勾股定理求出正方形对角线的长，再求出菱形的对角线EF的长，根据菱形的面积公式＝对角线乘积的一半，求出菱形的面积．
【详解】（1）证明：连接，交于点O，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形BEDF的面积为4．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，菱形的面积，解题的关键是连接BD，根据对角线互相平分证明四边形BEDF是平行四边形．
24．(1)，
(2)
(3)2022
【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可；
（2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为，
，
故答案为：，．
（2）解：十字分式方程的两个解分别为，，
，
∵，
∴原式．
（3）解：方程是十字分式方程，可化为，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值为2022．
【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键．
25．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，利用勾股定理即可求解；
（2）作于，在上截取，连接，先证出四边形是矩形，再由得，从而，再由，可得，于是有，利用全等三角形的性质即可得证；
（3）过点作，，垂足为、，在上取，过点作于点，延长交于点，连接，则四边形与四边形都是矩形，从而，，，，，进而证明得，，再证，得，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：过点作于点，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，

（2）证明：作于，在上截取，连接，则，，
，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴(ASA)
∴；
（3）解：过点作，，垂足为、，在上取，过点作于点，延长交于点，连接，则四边形与四边形都是矩形，

∴，，，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形得性质，坐标与图形，矩形得判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．