2024年广东省广州市部分学校中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年广东省广州市部分学校中考一模数学试题（含解析），共25页。

注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用，黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（ ）
A．B．2024C．D．
2．如图所示的几何化由6个小正方体组合而成，其三视图中为轴对称图形的是（ ）

A．主视图B．左视图C．俯视图D．均不是
3．学校举行投篮比赛，某班有7名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，6，4，6．下列关于这组数据描述不正确的是（ ）
A．众数为6B．平均数为5C．中位数为5D．方差为1
4．下列运算不正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．使等式成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
6．关于的方程有两个相等的实数根，若是的三边长，则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
7．如图，为了测量河两岸，两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得米，，则（ ）

A．米B．米C．米D．米
8．九年级同学去距离学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，剩余同学坐汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的2倍，设骑车的同学速度为千米/小时，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在中，，，与，分别切于点D，C，连接．则的度数为（ ）

A．50B．40C．30D．20
10．在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．龙行龘龘，前程朤朤，生活䲜䲜，截止至2024年2月10日晚上8时，中央广播电视总台2024年春节联欢晚会“竖屏看春晚”直播播放量达到4.23亿次，将4.23亿用科学记数法表示为 ．
12．已知在抛物线上，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
13．某中学对九年级共450名学生进行“综合素质”评价，评价的结果分A，B，C，D共4个等级．现随机抽取30名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的条形图，据此估算全级学生中“综合素质”评价等级为“B”学生约有 人．若将评价等级按所占比例绘制成扇形统计图，则评价等级为“D”对应扇形的圆心角度数为 °．
14．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．

15．如图，正方形的边，点E、F为正方形边的中点，以为半径的扇形交正方形的边于点G、H，则长为 ．
16．如图，在中，，点到线段的距离为 ．以点为圆心，以2为半径作优弧，交于点，交于点，点在优弧上从点开始移动，到达点时停止，连接，则面积的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解不等式：．
18．如图，，求证：．
19．如图所示，在平面直角坐标系中中，点的三个顶点都在格点上．将在坐标系中平移，使得点平移至图中点的位置，点对应点，点对应点．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)在图中作出，并连接；
(3)求在线段平移到线段的过程中扫过的面积；
20．已知：
(1)化简A；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程的一个根．
21．甲、乙两位同学相约玩纸牌游戏．
(1)有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别有四个不同的数字，将这四张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．若甲从中随机选择一张牌翻开，求他选中的牌面数字是整数的概率；
(2)双方约定：两人各摸出一张牌，放回洗匀后再摸一张，若摸出的两张牌面数字之积为正数，那么甲赢，否则乙赢．这个规定是否公平？为什么？
22．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（h）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．

(1)根据图象求出血液中药物浓度下降阶段y关于x的函数表达式；
(2)问：血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间为多少小时？
23．如图，为的直径，是圆上一点，是的中点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交半圆于点，交线段直径于点（保留作图痕迹，不写做法）；
(2)点是弧上一点，连接．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
24．已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点．
（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标；
②取的中点N，当m为何值时，的最小值是？
25．如图，等边三角形边长为2，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转后得到．连接与交于点．
(1)若，求线段的长；
(2)连接．
①记点的运动路径为．试判断与的位置关系；
②在点在运动的过程中，是否有最小值？如果有，请求出，并求此时的值；如果没有，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质：化简即可．
【解答】解：，
故选A．
2．B
【分析】先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义即可求解．
【解答】解：如图所示：

是轴对称图形的是左视图．
故选：．
【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，轴对称图形，关键是得到该几何体的三视图．
3．D
【分析】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，根据定义求出对应数值分别判断，即可得到答案．
【解答】解：A、6出现3次，出现次数最多，故众数是6，该项描述正确，不符合题意；
B、 ，故该项描述正确，不符合题意；
C、这组数据按由小到大排列是：3，4，5，5，6，6，6．最中间的是第四个数5，中位数为5，故该项描述正确，不符合题意；
D、方差为，故该项描述错误；符合题意，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查立方根，二次根式的减法，积的乘方和幂的乘方以及分式的加法，分别根据相关运算法则进行计算后再判断即可
【解答】解：A. ，故选项A计算错误，符合题意；
B. ，故选项B计算正确，不符合题意；
C. ，故选项C计算正确，不符合题意；
D. ，故选项A计算正确，不符合题意；
故选：A
5．B
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．
【解答】解：由题意可知： ,
解得：,
故选：．
【点拨】题目主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可．
【解答】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，整理得，
∴是直角三角形，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，可得，同时可知与，根据三角函数的定义解答，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
【解答】在中，米，，
∴，即，
∴，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了出分式方程的应用，设骑车学生的速度为千米/小时，则汽车的速度为，先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系，即可列出方程．
【解答】解：设骑车学生的速度为千米/小时，则汽车的速度为，
∵20分钟小时，
∴
故选C．
9．C
【分析】由，，求得，由与，分别切于点，，根据切线长定理得，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：，，
，
与，分别切于点，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点拨】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线长定理等知识，求得并且证明是解题的关键．
10．A
【分析】过点P作轴于点Q，过点作轴于点，由题意可得出，，．易证，即得出，，即可求出，进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入求值即可．
【解答】解：如图，过点P作轴于点Q，过点作轴于点，

∵，且在直线上，
∴，，，
∴．
由旋转的性质可知，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵P是双曲线上的一点，
∴，即．
∴．
故选：A．
【点拨】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
11．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，据此解答即可．
【解答】解：4.23亿，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据，且，进而可求解，熟练掌握其性质是解题的关键．
【解答】解：，对称轴为，
∴当与时，函数值都都等于，
∴当时函数值随自变量的增大而增大；
∵，
，
故答案为：．
13． 30 36
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，先根据抽取学生30名列方程求出a，再根据乘以等级为“D”占比求出对应的圆心角度数．
【解答】解：由图得：，
解得，
所以等级为“B”学生约有人，
等级为“D”对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：，．
14．
【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出．
【解答】解：连接，如图，

∵四边形是菱形，
∴，
∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
当时，则，最小，得到最小值，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
15．##
【分析】本题主要考查弧长的计算，解直角三角形，正方形的性质，先求出，再运用弧长公式进行计算即可得到结论．
【解答】解：∵点E、F为正方形边的中点，
∴
在中，，
∴，
∴，
同理可求出，
∴，
∴长为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了勾股定理以及直线与圆的位置关系，由勾股定理可求出，再根据面积法可求出点到线段的距离；由图易知的边最小高为M在D时，最大高为M在过O垂直于的直线上，求出最小高和最大高，进而求出的面积为S的取值范围．
【解答】解：在中，，
∴，，
∴，
设点到线段的距离为，
又
∴，
∴点到线段的距离为；
如图：
Ⅰ．由图可知，的边最小高为M在D时，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为S的最小值．
Ⅱ．在过点O且垂直于的直线上时，的边的高最大，
∴的边的高最大值为，
∴的面积为S的最大值为．
∴取值范围为：．
故答案为：；．
17．
【分析】本题考查解一元一次不等式，题目比较简单，注意最后的系数化1，不等式的两边同时除以一个负数，要改变不等号的方向．先去括号、再移项，然后合并同类项，最后系数化1求得不等式的解集．
【解答】解：
．
18．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，运用证明，得到，再根据等式的性质即可得出结论．
【解答】证明：∵，
∴．
∵，
∴
在和中，
，
∴．
∴．
∴．
即：．
19．(1)；
(2)见解析
(3)19
【分析】本题考查作图—平移变换：
（1）根据点D的位置，结合平移的性质可得出答案．
（2）运用平移的性质作出图形即可；
（3）线段沿的方向平移到的过程中扫过的图形为平行四边形，求出面
【解答】（1）解：点B的坐标为；
∵，，
∴由平移得点的坐标为：，
故答案为：；；
（2）解：如图，和即为所作：
（3）解：线段沿的方向平移到的过程中扫过的图形为平行四边形，
．
20．(1)
(2)①②
【分析】（1）根据分式通分、平方差公式化简即可；
（2）根据反比例函数点的特征和一元二次方程解的定义即可求出，代入即可．
【解答】（1）解：
；
（2）解：①点是反比例函数图象上的点，
∴，
∴；
②是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
【点拨】本题考查分式化简，涉及到反比例函数点的特征和一元二次方程的解，正确化简分式是关键．
21．(1)
(2)这个规定否公平，理由见解析
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式．
（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先画出树状图或列表列出可能的情况，再计算出甲赢和乙赢的概率，最后进行比较即可．
【解答】（1）解：共有4张牌，正面是整数的情况有2种，
所以摸到正面是整数的纸牌的概率是；
（2）解：这个规定否公平，理由如下：
画树状图如下：
共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌面数字之积为正数的有8种，
∴甲赢的概率为，
乙赢的概率为，
∴甲赢的概率=乙赢的概率，
故这个规定否公平
22．(1)；
(2)6h．
【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可；
（2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围．
【解答】（1）由题意可知，当时，y与x成反比例关系，设．
由图象可知，当时，
∴
∴
∴下降阶段的函数表达式为
（2）由图象可知，当时，y与x成正比例关系，设．
当时，
∴
解得
∴．
在中，当时，
在中，当时，
观察图象可知，当时，血液中药物浓度不低于5微克/毫升，即持续时间为6h．
【点拨】本题主要考查了反比例函数和一次函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
23．(1)见解析
(2)①；②．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
（1）在半圆上取点，使，根据垂径定理的推论可知，由此即可完成作图；
（2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；
②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解．
【解答】（1）解：如图，在半圆上取点，使，连接交于，
∴，
（2）解：①连接，

∵D是的中点
∴，
∴，
∵ 为的直径，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，
解得，经检验，是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴；
②如图，过点作交于点，

∴，
∵，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（1）抛物线的顶点坐标为；（2）①点F的坐标为或；②当m的值为或时，MN的最小值是．
【分析】（1）根据，则抛物线的解析式为，再将点A（1，0）代入，求出b的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；
（2）①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出，点.
过点A作于点H,在Rt中，利用勾股定理求出AE的值，再根据，，可求出m的值，进一步求出F的坐标；
②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值.
【解答】解：（1）当，时，抛物线的解析式为．
∵抛物线经过点，
．解得．
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点坐标为．
（2）①∵抛物线经过点和，，
，
，即．
，．
抛物线的解析式为．
根据题意，得点，点．
过点A作于点H．
由点，得点．
在Rt中，，，
．
，
．解得．
此时，点，点，有．
点F在y轴上，
在Rt中，．
点F的坐标为或．
②由N是EF的中点，得．
根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上．
由点，点，得，．
在中，．
当，即时，满足条件的点N落在线段MC上，
MN的最小值为，解得；
当，时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，
MN的最小值为，解得．
当m的值为或时，MN的最小值是．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．
25．(1)2
(2)①；②的最小值为，
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到点D是的中点，，求得，得到，根据旋转的性质得到，，得到，由勾股定理求得；
（2）①将绕点逆时针旋转后得到．将绕点逆时针旋转后得到．证明，证明得；②点E在定直线上运动，当时最短．过A作于H，根据全等三角形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）解：∵是等边三角形，，
∴点是的中点，，
∵，
∴，
∴
∵将绕点A逆时针旋转后得到，
∴，
∴，
∴，
∵
由勾股定理得，，
∴
解得，；
（2）解：①，理由如下：
如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转后得到，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴即；
②∵点E在定直线上运动，当时最短．
过A作于H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
所以，的最小值为，．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质勾股定理以及角所对直角边等于斜边的一半等知识．正确作出辅助线是解题的关键．