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专题3.5 外接球与内切球-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）
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这是一份专题3.5 外接球与内切球-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用），文件包含专题3-5外接球与内切球原卷版docx、专题3-5外接球与内切球解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
【外接球模型1】——柱体背景的模型
类型一、墙角模型
长方体的外接球（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出
类型二、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，，
，，
列方程组，，
补充：图2-1中，.
第三步：根据墙角模型，，，
，求出.
类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【外接球模型2】——正弦定理+勾股（锥体背景的外接球模型）
类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径）
正弦定理求大圆直径是通法
1．如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出；
事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出.
2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②
3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径）
4．题设：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径）
第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；
第二步：在中，可根据正弦定理，求出.
类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面，考得比较多）
1．题设：如图5，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②.
2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，的射影是的外心三棱锥的
三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出
方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.
【外接球模型3】——锥体背景的模型
类型六、折叠模型（二面角模型）
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)
第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；
第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；
第三步：解，算出，在中，勾股定理：
注：易知四点共面且四点共圆，证略.
类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
题设：如图7，，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.
类型八、锥体的内切球问题
1．题设：如图8-1，三棱锥上正三棱锥，求其内切球的半径.
第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
2．题设：如图8-2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径
第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
类型九、台体外接球模型
球内接圆台，棱台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
类型十、棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
2022年新高考II卷T7——台体外接球
已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
（2020·全国2卷T11）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
（2019·全国·高考真题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．B．C．D．
（2021·天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
（2020·全国·统考高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
2023年高考全国乙卷数学(文)T16
已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
2023·全国乙卷（文）T16
在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
2023·全国乙卷（理）·15
在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
重点题型·归类精讲
题型一 棱柱和圆柱的外接球
墙角模型
我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为
A．B．C．D．
若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则三棱锥的外接球的表面积是 ．
在三棱锥中，，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
广东省四校2024届高三上学期第一次联考——补充长方体
如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
对棱相等
在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
内切球
已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为
A．B．C．D．
汉堡模型（直棱柱，圆柱外接球）
在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ）
A．B．C．D．
已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型二 棱锥的外接球与内切球
垂面模型（被反复考察的模型）
如图，在四棱锥中，已知底面，，，且，，则该四棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD ，，，，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2024届湖南师大附中高三开学考
已知三棱锥中，，，，是等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为 .
在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为 ．
2024届福建厦门第二中学校考
已知A､B是球O的球面上两点，且，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在鳖臑中，平面，，且，则鳖臑的外接球的表面积为
A．B．C．D．
切瓜模型（面面垂直）
在三棱锥中，平面平面，，且，，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
已知三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 ．
内切球
2023广州仲元中学高三校考
已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于.
A．B．C．D．
折叠模型
长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)T16
已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120°， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .
已知三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
在四面体PABC中，，是边长为2的等边三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
（2023·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（ ）
A．B．C．D．
在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（ ）
A．52πB．54πC．56πD．60π
两直角三角形的斜边拼接在一起(侧棱是直径)
在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为
已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
三棱锥的四个顶点都在球面上，是球的直径，，，则该球的表面积为
A．B．C．D．
题型三 圆锥的外接球与内切球
外接球
已知底面半径为的圆锥的侧面积为，则该圆锥的外接球的体积为
A．B．C．D．
圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A．B．C．D．
内切球
将半径为3圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为
A．B．C．D．
已知球在母线长为5，高为4的圆锥内部，则球的表面积最大值为
A．B．C．D．
题型四 棱台，圆台的外接球
如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积 ．
已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
圆台的上下底面半径和高的比为，母线长为，则圆台的外接球表面积为________．
我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点E到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为________．
题型五 棱切球
已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（ ）
A．2：3B．3：2C．D．
已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则 ．
【外接球模型1】——柱体背景的模型
类型一、墙角模型
长方体的外接球（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出
类型二、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，，
，，
列方程组，，
补充：图2-1中，.
第三步：根据墙角模型，，，
，求出.
类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【外接球模型2】——正弦定理+勾股（锥体背景的外接球模型）
类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径）
正弦定理求大圆直径是通法
1．如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出；
事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出.
2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②
3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径）
4．题设：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径）
第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；
第二步：在中，可根据正弦定理，求出.
类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面，考得比较多）
1．题设：如图5，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②.
2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，的射影是的外心三棱锥的
三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出
方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.
【外接球模型3】——锥体背景的模型
类型六、折叠模型（二面角模型）
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)
第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；
第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；
第三步：解，算出，在中，勾股定理：
注：易知四点共面且四点共圆，证略.
类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
题设：如图7，，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.
类型八、锥体的内切球问题
1．题设：如图8-1，三棱锥上正三棱锥，求其内切球的半径.
第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
2．题设：如图8-2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径
第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
类型九、台体外接球模型
球内接圆台，棱台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
类型十、棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
2022年新高考II卷T7——台体外接球
已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
（2020·全国2卷T11）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
（2019·全国·高考真题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．B．C．D．
（2021·天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
（2020·全国·统考高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
2023年高考全国乙卷数学(文)T16
已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
2023·全国乙卷（文）T16
在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
2023·全国乙卷（理）·15
在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
重点题型·归类精讲
题型一 棱柱和圆柱的外接球
墙角模型
我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为
A．B．C．D．
若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则三棱锥的外接球的表面积是 ．
在三棱锥中，，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
广东省四校2024届高三上学期第一次联考——补充长方体
如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
对棱相等
在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
内切球
已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为
A．B．C．D．
汉堡模型（直棱柱，圆柱外接球）
在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ）
A．B．C．D．
已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型二 棱锥的外接球与内切球
垂面模型（被反复考察的模型）
如图，在四棱锥中，已知底面，，，且，，则该四棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD ，，，，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2024届湖南师大附中高三开学考
已知三棱锥中，，，，是等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为 .
在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为 ．
2024届福建厦门第二中学校考
已知A､B是球O的球面上两点，且，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在鳖臑中，平面，，且，则鳖臑的外接球的表面积为
A．B．C．D．
切瓜模型（面面垂直）
在三棱锥中，平面平面，，且，，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
已知三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 ．
内切球
2023广州仲元中学高三校考
已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于.
A．B．C．D．
折叠模型
长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)T16
已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120°， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .
已知三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
在四面体PABC中，，是边长为2的等边三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
（2023·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（ ）
A．B．C．D．
在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（ ）
A．52πB．54πC．56πD．60π
两直角三角形的斜边拼接在一起(侧棱是直径)
在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为
已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
三棱锥的四个顶点都在球面上，是球的直径，，，则该球的表面积为
A．B．C．D．
题型三 圆锥的外接球与内切球
外接球
已知底面半径为的圆锥的侧面积为，则该圆锥的外接球的体积为
A．B．C．D．
圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A．B．C．D．
内切球
将半径为3圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为
A．B．C．D．
已知球在母线长为5，高为4的圆锥内部，则球的表面积最大值为
A．B．C．D．
题型四 棱台，圆台的外接球
如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积 ．
已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
圆台的上下底面半径和高的比为，母线长为，则圆台的外接球表面积为________．
我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点E到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为________．
题型五 棱切球
已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（ ）
A．2：3B．3：2C．D．
已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则 ．
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