专题2.6 阿基米德三角形与焦点三角形内切圆-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc150282842" 知识点梳理 PAGEREF _Tc150282842 \h 2
\l "_Tc150282843" 阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） PAGEREF _Tc150282843 \h 2
\l "_Tc150282844" 阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） PAGEREF _Tc150282844 \h 3
\l "_Tc150282845" 题型一 阿基米德焦点三角形 PAGEREF _Tc150282845 \h 5
\l "_Tc150282846" 2023届·黄冈中学5月二模·T6 PAGEREF _Tc150282846 \h 5
\l "_Tc150282847" 2023届·武汉市武昌区五月质检T16 PAGEREF _Tc150282847 \h 6
\l "_Tc150282848" 山东省济南市2022届高三二模 PAGEREF _Tc150282848 \h 6
\l "_Tc150282849" 2023届成都七中高三月考 PAGEREF _Tc150282849 \h 9
\l "_Tc150282850" 2024届嘉兴市九月统考T15 PAGEREF _Tc150282850 \h 11
\l "_Tc150282851" 题型二 常规型阿基米德焦点三角形 PAGEREF _Tc150282851 \h 13
\l "_Tc150282852" 安徽省2023届高三A10联盟二模 PAGEREF _Tc150282852 \h 13
\l "_Tc150282853" 2024届·广东省四校第一次联考 PAGEREF _Tc150282853 \h 14
\l "_Tc150282854" 2023届·黑龙江哈师大附中校考 PAGEREF _Tc150282854 \h 16
\l "_Tc150282855" 2023·深圳市二模 PAGEREF _Tc150282855 \h 16
\l "_Tc150282856" 广东省东莞市第四高级中学2023届高三三模数学试题 PAGEREF _Tc150282856 \h 19
\l "_Tc150282857" 题型三 双曲线焦点三角形的内切圆 PAGEREF _Tc150282857 \h 22
\l "_Tc150282858" 湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(二) PAGEREF _Tc150282858 \h 22
\l "_Tc150282859" 安徽省（九师联盟）2023届二模 PAGEREF _Tc150282859 \h 26
\l "_Tc150282860" 山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评 PAGEREF _Tc150282860 \h 27
\l "_Tc150282861" 长沙市雅礼中学2022-2023高三月考 PAGEREF _Tc150282861 \h 27
\l "_Tc150282862" 湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题 PAGEREF _Tc150282862 \h 32
\l "_Tc150282863" 题型四 双曲线焦的两个焦点三角形与两个内切圆 PAGEREF _Tc150282863 \h 33
\l "_Tc150282864" 重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考（七）数学试题 PAGEREF _Tc150282864 \h 33
\l "_Tc150282865" 2023·安徽淮北·一模 PAGEREF _Tc150282865 \h 36
\l "_Tc150282866" 2023·长沙周南中学三模 PAGEREF _Tc150282866 \h 38
\l "_Tc150282867" 题型五 椭圆的焦点三角形的内切圆 PAGEREF _Tc150282867 \h 48
\l "_Tc150282868" 2023届·浙江省重点中学拔尖学生培养联盟6月适应性考试 PAGEREF _Tc150282868 \h 48
\l "_Tc150282869" 2023·长郡中学押题卷 PAGEREF _Tc150282869 \h 50
\l "_Tc150282870" 2023·汕头金山中学三模 PAGEREF _Tc150282870 \h 54
\l "_Tc150282871" 2023·湖北襄阳五中5月模拟 PAGEREF _Tc150282871 \h 56
知识点梳理
阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）
性质1：MF⊥AB
性质2：MA⊥MB
性质3：MN∥x轴
性质4：S△ABM最小值为p²
对于点A，B:
①抛物线焦点弦与抛物线的交点
②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点
对于点M
③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点
④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点
满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”
阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）
【性质 1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．
【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线
记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点
半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则，下略
【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点.
设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标
【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为.
【性质5】，
重点题型·归类精练
题型一 阿基米德焦点三角形
2023届·黄冈中学5月二模·T6
设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=()
A.5B.6C.7D.8
【答案】D
【详解】
法一：因为弦AB过焦点，故点P在准线上，勾股求出P点到x轴距离，进而可知∠PFO=30°，
又∵∠PFB=90°，故∠FBP=60°，由焦点弦公式可得.
法二：常规解法
，设直线AB的方程为 ，显然m是存在的，
设 ，显然 ，求导： ，
在A点处的切线方程为…①，
同理可得在B点处的切线方程为：；
联立方程 ，解得 ， ， ，
联立方程 解得 ， ，
即P点在准线 上，设 ， ，
考虑抛物线关于x轴对称，不妨取 ，代入①得： ，解得 或 ，
由图可知 ，再代入抛物线方程得 ，
2023届·武汉市武昌区五月质检T16
已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____
【答案】
如图，则有PF⊥AB，PA⊥PB，
所以
当且仅当时取等
山东省济南市2022届高三二模
（多选）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为4B.
C. △NAB面积的最小值为6D. 若直线AB的斜率为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】设直线AB方程为 , ，根据弦长公式表示出，可判断A;求出点N的坐标，根据斜率之间的关系，可判断B;表示出点点N到直线AB的距离，继而求得，可判断C; 直线AB的斜率为，结合可求得，即可判断D.
【详解】由题意知 ,设直线AB方程为 , ，
联立 ，可得 ， ，
故，
则，
故当 时，的最小值为4，故A正确；
又 ，即M点纵坐标为2m,故 ，
当时，轴，NF在x轴上，此时 ;
当时, ， ，故，
综合可知，,故B正确；
又点N到直线AB的距离为 ，
故 ，当 时，取最小值4，故C错误；
若直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即 ，
则，
由于A在第一象限，故解得 ，
故 ，由于同向，故，故D正确
已知动圆过点，且与直线相切，记动圆的圆心轨道为，过上一动点作曲线的两条切线，切点分别为，直线与轴相交于点，下列说法不正确的是（ ）
A．的方程为
B．直线过定点
C．为钝角（为坐标原点）
D．以为直径的圆与直线相交
【答案】D
【详解】设动圆圆心为，

依题意得：，即的方程为，故A正确；
由得，，∴，∴切线的方程为：，
即，又，∴，
同理可得切线的方程为，
又切线经过点，∴，
故直线的方程为，∴直线过定点，故B正确；
联立消去整理得，故，，
则
，∴为钝角，故C正确；
由于直线恒过抛物线焦点，设中点为，过向直线作垂线，
垂足分别为，连接，
由抛物线定义，，
∴，
∴以为直径为圆与直线相切，故D错误
已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设出点的坐标，利用导数的几何意义求出切线的方程，进而抽象出直线的方程，即可推理作答.
【详解】抛物线的准线为，设点，对函数求导得，
于是直线的方程为，即，亦即，
同理，直线的方程为，而点为直线、的公共点，则，
因此点，的坐标都满足方程，即直线的方程为，从而直线恒过定点，
所以点到直线的距离的最大值.
2023届成都七中高三月考
过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么= .
【答案】4
【分析】方法一：设出过与抛物线的切线的点斜式方程，联立方程，由切点性质，则，可得方程，根据题意，结合韦达定理，可得，同样的思路，设出过焦点的直线，联立方程，结合韦达定理，可得，故可得第一种所求代数式的表示；
方法二：利用导数的几何意义，求切线斜率，可得，结合方法一中，可得第二种所求代数式的表示；
综上建立方程，求得的值，进而求得答案.
【详解】由题意，显然过点作抛物线的切线的斜率存在，设该斜率为，
则该切线方程为，即，
联立，消去可得，
由于切线与抛物线只有唯一交点，则，
整理可得，
由题意，可知为方程的两个根，则，
由题意，设直线的方程为，
联立可得，消去可得，由题意可知为该方程的两个根，则，
故，
由抛物线方程，可得函数与函数，则与
不妨设在第一象限，则，即，且，
由设在第一象限，则在第四象限，即，可得，且，故，
由，则，综上可得，解得，故.
2024届嘉兴市九月统考T15
已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率 ．
【答案】2
【解答】因为AM=BM=PM，所以∠APB=90°，故P在准线上，且PM⊥准线，PF⊥⊥AB
故
【常规法分析】方法一：设直线：，设，，联立直线与抛物线的方程求出，由可得，将韦达定理代入化简即可得出答案；方法二：设，，在准线上的射影分别是，，，由题意可得出轴，设，，：，联立直线与抛物线的方程可得，解方程即可得出答案.
【常规法详解】方法一：由题意，，设直线：，其中，
联立消去得，，
设，，则，，
又，则，即，
而，，
则，
即，
即，
所以，解得，所
以.
方法二：如下图，由题意，，点在准线上，
设，，在准线上的射影分别是，，，
则，
所以轴，
设，，：，
联立消去得，
所以，所以，

（多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，直线的斜率为2D．面积的最小值为4
【答案】ABD
【详解】对A，易知准线方程为，∴，：，故选项A正确.
对B，设直线，代入，得，当直线与相切时，有，即，设，斜率分别为，，易知，是上述方程两根，故，故.故选项B正确.
对C，设，，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，
故：，故. 故选项C不正确.
对D，同C，切线方程：；：，代入点有，，故直线的方程为，即，联立有，则，故，又到的距离，故，故当时的面积小值为，故D正确
题型二 常规型阿基米德焦点三角形
安徽省2023届高三A10联盟二模
（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．以为直径的圆过点
【答案】ACD
【简证】第一步：由性质一可得AR∥y轴，故A点横坐标为4
第二步：由性质2可得:点所在直线为，故A正确
，故B错；而A点在准线上，可得C对，D对
附：【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线.若焦点在y轴上的抛物线，则轨迹方程为
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的方程为，
设、，由可知为的中点，
所以，且，，
由可得，
所以，直线的斜率为，则直线的方程为，可得，
联立可得，所以，，
对函数求导可得，
所以，切线的方程为，即，
同理可知，切线的方程为，
联立可得，即点，
易知抛物线的焦点为，所以，，A对；
因为直线过点，所以，，B错；
因为，，所以，，所以，故C正确；
因为，且为的中点，所以，，
因此，以为直径的圆过点，故D正确.
2024届·广东省四校第一次联考
过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是 .
【答案】.
【简证】半代入得切点弦QR方程为，故QR过定点，所以点的轨迹为以为直径的圆
点与圆相切时斜率取到最值
【常规法详解】设，不妨设，
由，可得，可得，则，
可得切线的方程为
因为点在直线上，可得，
同理可得：，
所以直线的方程为，可得直线过定点，
又因为在直线上的射影为，可得且，
所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为，
当与相切时，
由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为，
可得切线方程为，则，解得或，
所以实数的范围为.
故答案为：.

（2023秋·海南·高三统考期末）已知，是抛物线上位于不同象限的两点，分别过，作的切线，两条切线相交于点，为的焦点，若，，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【简证】由阿基米德三角形性质可得
【常规法详解】解：抛物线的焦点，抛物线的准线方程为，
如图所示，根据抛物线对称性，不妨令第二象限，Q在第一象限，
根据抛物线的定义，可知
所以的纵坐标为1，的纵坐标为4，则，．
由得，得，所以抛物线在，两点处的切线斜率分别为和2，
得到两条切线方程并联立，解得，则，
所以．
2023届·黑龙江哈师大附中校考
已知抛物线，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则 .
【答案】13
【简证】由阿基米德三角形性质可得
【详解】设切线的斜率为，可得切线方程为，即，
联立方程组，整理得，①
由，解得，
此时将代入①中，可得同理，
所以，
又由抛物线的定义，可得
.
2023·深圳市二模
（多选）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）
A．轴B．C．D．
【答案】AC
【简证】
由结论1可得A对，
因为AB一定不过焦点F，故B错，
由结论5可得C对,
由结论5可得故D错
【详解】对于A选项：设,
,,
过点A切线为：①,
过点B切线为:②,
①②得
化简可得
轴,A选项正确.
设
过A点的切线为,过B点的切线为,交点为
AB的中点为，所以不垂直,B选项错误；
,所以,D选项错误;
作抛物线准线的垂线 ,连接
则
显然 ,所以
又因为由抛物线定义,得,故知 是线段 的中垂线,得到则
同理可证：,，
所以，即,
所以 ,即.
（多选）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，直线AB的斜率为2D．直线AB过定点
【答案】BD
【分析】根据为准线上的点列方程，解方程即可得到可判断A；利用导数的几何意义得到过点，的切线斜率，可得到，为方程的解，然后利用导数的几何意义和韦达定理得到，即可判断B；利用韦达定理和斜率公式求即可判断C；联立和得到，同理可得，即可得到直线的方程为，可判断D.
【详解】因为为准线上的点，所以，解得，故A错；
根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，
则，整理得，同理得，
所以，为方程的解，，
所以，则，故B正确；
由B选项得，所以，故C错；
由B选项得，又，联立得，
同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确．

广东省东莞市第四高级中学2023届高三三模数学试题
（多选）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．抛物线的准线方程为B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断A、B、D；联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式即可判断C.
【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；
设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，
与抛物线方程联立，得，
因为是该抛物线的切线，所以，即，
且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，
设直线存在斜率且不为零，设为，
同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，
显然、是方程的两个不等实根，所以，
因为，
所以，因此选项D正确；
由上可知：的斜率为，
直线的方程为：，即，
又，所以，
所以，即，
所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由得，所以，，
所以
，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
故选：ACD

已知抛物线：，直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
【答案】
【详解】如图所示，

设，则，联立方程组整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线的过点的切线方程为
由解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
当时，，
所以面积的最小值为.
已知的方程为，过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．
【详解】曲线：，即，则，
设，
可知切线的斜率为，所以切线：，
则，整理得，
同理由切线可得：，
可知：为方程的两根，则，
可得直线的斜率，
设的中点为，则，
即，
所以直线：，整理得，
所以直线恒过定点.

题型三 双曲线焦点三角形的内切圆
湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(二)
双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，
，从而解出、，利用勾股定理可解.
【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P
则四边形、都为正方形，
设内切圆半径为，由圆的切线性质，
则，则 ，①
又因为，②
且双曲线定义得，，③
由①、②、③得，
所以，
从而，
由勾股定理，，所以，解得．
已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的焦点三角形的内切圆的性质，圆心在实轴上的射影点就是双曲线对应的顶点，从而构造直角三角形，结合正切的二倍角公式求解.
【详解】如图，设的内切圆的圆心为，内切圆与三边相切于，

，
所以，即的内切圆与轴相切于右顶点，即双曲线的右顶点为，
设直线的倾斜角为，即，则由内切圆的性质可知轴，
所以在中，，
所以
已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是 ．
【答案】
【详解】设的内切圆的半径为，
由双曲线的定义可得，
则，
因为，所以，
可得，故
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若上存在点，满足（为坐标原点），且的内切圆的半径等于，则双曲线的离心率为 ．
【答案】5
【详解】设，，点在双曲线的右支上，
由，可知，
又由双曲线的定义有，，
在中，的内切圆的半径，又由，可得，联立解得代入，
有，整理为，可得，
有，故双曲线的离心率．
（2024届·云南昆明一中校考）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为 .
【答案】
【详解】如图所示：

设内切圆半径为，切点分别为，
由题意，则，所以，
由双曲线定义有；
又因为，即，所以，
因此，
从而直角三角形的内切圆半径是，
所以的内切圆周长为.
已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由分析可得，根据内切圆性质结合双曲线定义分析可得切点D为双曲线的右顶点，在中，由勾股定理列式求解.
【详解】，即为，即为，可得．所以．
根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，．
又，所以．
设，则，所以，
所以切点D为双曲线的右顶点，所以，
．
在中，由勾股定理得，
整理得，即，解得，
又因为，所以C的离心率为，
故选：C．
安徽省（九师联盟）2023届二模
已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是圆（）与的一个交点，若的内切圆的半径为a，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由双曲线定义和得到方程组，求出，再由内切圆半径，利用面积列出方程，得到齐次方程，求出离心率.
【详解】由题意知，所，
又因为，与联立，得，，
所以，
又因为，
所以，即，
所以，即，
所以，所以．
山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评
已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点P为与的一个交点，若△的内切圆圆心的横坐标为4，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由题设知且求得，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与的切点的位置，进而求离心率.
【详解】由题设，又点与抛物线的焦点重合，即，
由，则，故，即，
如下图示，内切圆与△各边的切点为，
所以，又，
则，
所以为双曲线右顶点，又△的内切圆圆心的横坐标为4，即，
故，则，所以离心率为.
长沙市雅礼中学2022-2023高三月考
（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ）
A．双曲线的离心率
B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
C．为定值
D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求得，从而可得，得离心率，判断A；设出的内切圆与其三边的切点，利用切线的性质得出点横坐标，从而判断B；设点，求出，代入点在双曲线上的条件可判断C；利用余弦定理求得，并由基本不等式求得最小值判断D．
【详解】双曲线的左、右焦点分别为、，
双曲线的渐近线为，即，
因为圆与双曲线的渐近线相切，且圆心为，圆的半径为，
所以，，因为，解得，
则双曲线，，，，
对于A选项，双曲线的离心率．A对；
对于B选项，为双曲线右支上（异于右顶点）一点，
设的内切圆与三边切点分别为、、，如图，
由圆的切线性质知
，
即，可得，
所以，当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上，B错；
对于C选项，设双曲线右支上的动点坐标为，则，
又双曲线的渐近线方程为
则，即为定值，C对；
对于D选项，由已知的方程是，倾斜角为，
所以，则，
所以，，
当且仅当时等号成立，D对．
（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆与双曲线C的渐近线相切，则（ ）
A．的最小值为
B．为定值
C．双曲线C的离心率
D．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
【答案】BCD
【详解】由题意双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，
则，（舍去），
又，所以，离心率为，C正确；
设的内切圆与三边切点分别为，如图，
由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，D正确；
设，则，，
渐近线方程是，则，，
为常数，B正确；
由已知的方程是，倾斜角为，所以，，
，当且仅当时等号成立，A错误．
故选：BCD.
（多选）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则（ ）

A．切点与右焦点重合B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用切线长定理及双曲线的定义可判定A、B，利用内切圆的性质及双曲线的定义可判定C，利用三角恒等变换计算可判定D.
【详解】对于A，由切线长定理可知：，
则，，
故①，
又②，
①②得，
得，
即，
故点与点重合，正确；
对于B，，B错误；
对于C，根据三角形内切圆的性质可得，
即，
故C正确；
对于D，令，则结合A、B选项可得：，
∴．故D正确．
湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题
如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】由可得.由，可得.
又由内切圆的圆心在直线上，可得，据此可得答案.
【详解】如图1，取中点为Q，连接EQ，PQ.则，
.
因，则，因直线外一点到直线连线中垂线段最短，则为垂线.因Q为中点，E为中点，则
，得.又DO为直角三角形斜边中线，则.
如图2，设内切圆的圆心为I，内切圆与交点为M，与交点为T，与交点为N.则，，又，则.
又由切线性质，可知，则
.
则离心率为.
故选：D
题型四 双曲线焦的两个焦点三角形与两个内切圆
重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考（七）数学试题
已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的右支交于两点，若内切圆与内切圆的半径的乘积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解析：如图：，，
，，
同理内切圆切点也是T，轴，都是角平分线，
，由直角三角形射影定理得，
，，，故选A
（多选）双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线右支交于两点，记和的内切圆半径分别为和，则（ ）
A．和的内切圆圆心的连线与轴垂直
B．为定值
C．若，则的离心率
D．若，则的渐近线方程为
【答案】ABD
【分析】设，的内切圆圆心分别为，设圆切分别于点，过的直线与双曲线的右支交于两点，由切线长定理及双曲线的定义即可求得，再根据直角三角形边角关系以及相似三角形的性质求得，再逐项判断即可得答案.
【详解】
对于A，设，的内切圆圆心分别为，设圆切分别于点，过的直线与双曲线的右支交于两点，由切线长定理，可得
，
所以，则，
所以点的横坐标为，即点的横坐标也为，同理点的横坐标也为，故轴，A正确；
对于B，在中，，
，所以，所以，即，B正确；
对于C，由解得，即，则双曲线的离心率，C错误；
对于D，，由可得，所以或（舍），
则，则，所以的渐近线方程为，D正确．
已知点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与该双曲线交于，两点（点位于第一象限），点是△内切圆的圆心，则 ；若的倾斜角为，△的内切圆面积为，△的内切圆面积为，则为 .
【答案】 2 9
【详解】由双曲线，可得，,
记的内切圆圆心为，
内切圆在边上的切点分别为，
易知两点横坐标相等，，

由，即，
得，即，
记点的横坐标为，则，
则，得．
记的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，
已知直线的倾斜角为，则，
设△的内切圆半径为，△的内切圆半径为
在中，，
同理，在中，，
所以，所以.
2023·安徽淮北·一模
已知双曲线C：过点，则其方程为 ，设，分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】①将点代入方程中求出，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得，的内切圆与轴切于双曲线的右顶点，设直线的倾斜角为，可用表示，根据两点都在右支上得到的范围，利用的范围可求得的取值范围
【详解】①由双曲线C：过点，所以
所以方程为
②如图：
设的内切圆与分别切于，
所以，
所以，
又，所以，
又，所以与重合，所以的横坐标为，同理可得的横坐标也为，
设直线的倾斜角为.则，，
，
当时，，
当时，由题知，...
因为两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，
∴.且，，
综上所述，.
已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为 ；若，则双曲线离心率为 .
【答案】 2
【分析】根据题意，利用三角形内切圆的性质及双曲线的定义可得双曲线焦点三角形内切圆圆心的横坐标为；利用三角形相似及两个内切圆半径的比值，构造的齐次方程，即可求解离心率.
【详解】
如图，在中，圆为内切圆，切点分别为，
故，
又是双曲线上的一点，故，即，
又，故，则.
故的内切圆的圆心横坐标为，
同理可得，的内切圆的圆心横坐标为，即；
又，则，
即，解得
2023·长沙周南中学三模
已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是 .
【答案】
【详解】

因，故，，，
如图，过点分别作，，，垂足分别为，
因为的内心，
所以，
故点也在双曲线上，即为双曲线的右顶点，
同理 ，所以三点共线，
设直线的倾斜角为，
因双曲线的渐近线方程为，倾斜角为，
根双曲线的对称性，不妨设，
因，
所以，
,
所以
，
因，所以，
所以
双曲线的中心为原点，焦点在轴上，分别是双曲线的两个焦点，过上焦点作斜率的直线交双曲线上支于点,若，的内心分别是，且，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【详解】如图所示，在中，设边边上的切点分别为，
则纵坐标相等，且，
由双曲线的性质可得，
设，则，解得，所以，
同理可得内心的纵坐标也为，则轴，
设直线的倾斜角为，则，，，
由解得，
又因为，所以
，
所以，
设双曲线方程为，，，，，
则直线为，即，
联立得，
则，，则
所以
，
所以，即，
所以，解得
（多选）已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则（ ）
A．点M在直线PQ上B．点M在直线PQ的左侧
C．D．
【答案】ACD
【详解】先证明一个结论：焦点在x轴上的双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标为.
过的直线与C的右支交于A，B两点，设点P为的内心，
设圆P与的切点分别为，
则，
则，解之得
则切点的坐标为.切点与双曲线C的右顶点M重合，
则圆P与x轴的切点为双曲线C的右顶点M，
同理可得圆Q与x轴的切点为双曲线C的右顶点M.
则直线的方程为，
双曲线C的右顶点M的坐标为，则点M在直线PQ上.
则选项A判断正确；选项B判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：由直线的方程为，可得.判断正确.
（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则（ ）
A．、在直线上B．双曲线的离心率
C．内切圆半径最小值是D．的取值范围是
【答案】ABC
【详解】对A：
过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，则，
∵，则，
又∵，则，
∴，即在直线上，
同理可得：在直线上， A正确；
对B：
∵，则，
∴，
又∵，则，即，
∴，故离心率为，B正确；
对C：
∵，则，
∴，双曲线的渐近线方程为，则直线的倾斜角，
设直线方程为，，
联立方程，消去x得：，
∴，
则，
设内切圆半径为，其周长
，
根据的面积可得：，
则，C正确；
对D：
由题意不妨设，，
∵，则，
令，
∴，，，
又∵在上单调递增，
∴，D错误；
（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则（ ）
A．的渐近线方程为
B．点与点均在同一条定直线上
C．直线不可能与平行
D．的取值范围为
【答案】ABD
【详解】设双曲线半焦距为，双曲线的渐近线方程为，即，
双曲线的右焦点到渐近线的距离为，
由题意知，
所以，所以，故双曲线的方程为，
故渐近线方程为，故A正确；
对于B选项，记的内切圆在边、、上的切点分别为、、，

由切线长定理可得，，，
由，即，
得，即，
记的横坐标为，则，于是，得，
同理内心的横坐标也为，故轴，即、均在直线上，故B正确；
对于C选项，当与轴垂直时，，故C错误；
对于D选项，设直线的倾斜角为，则，
（为坐标原点），
在中，.
，
由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
结合图形可知，即，所以，，故D正确.
（多选）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且在第一象限，，的内心分别为，，其内切圆半径分别为，，的内心为.双曲线在处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ）
A．点、均在直线上B．直线的方程为
C．D．
【答案】ABD
【详解】由双曲线得，
设的内切圆与分别切于点，
则,
所以，
又,所以,即圆与轴的切点是双曲线的右顶点，即在直线上，
同理可得圆与轴的切点也是双曲线的右顶点，即也在直线上，故选项A正确；
因为点在双曲线上，所以，
点到直线的距离，
点到直线的距离
所以，
又，
所以，即，
又因为为的平分线，
所以直线的方程为，故选项B正确；
设圆与切于点，连接，设，
因为,所以,所以，即，所以，
又，所以，即，所以，故选项C错误；
由B知的方程为，①
设，同理得的方程为，②
由①②得，③
因为，所以设的方程为，
因为在上，所以，代入③得
，所以在直线上，
所以到的距离为，
又到的距离为，
所以,故选项D正确
题型五 椭圆的焦点三角形的内切圆
2023届·湖南师范大学附属中学月考(三)
已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取中点，由及得到三点共线且，再根据双曲线定义及得到的比例关系，进而解出离心率.
【详解】设是的中点，连接，如图，则，由，得
三点共线，.由既是的平分线，又是边上的中线，得.作轴于点，，且，.
故选：B.
2023届·浙江省重点中学拔尖学生培养联盟6月适应性考试
（多选）双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A．到轴的距离为
B．点的轨迹是双曲线
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义求得，可判断A；在等腰中，利用中位线结合双曲线的定义可求出，可判断B；设，由，即，由余弦定理代入化简可得，再结合椭圆和双曲线的定义可判断C；由，即可判断D.
【详解】设圆与三边的切点为，
，
又，故，故，所以到轴的距离为，故A正确；

过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，
因为，则为的中点且，于是，
故点的轨迹是在以为圆心，半径为的圆上，故B不正确；
设椭圆的长半轴长为，它们的半焦距为，并设，
根据椭圆和双曲线的定义可得：，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，
在中，由余弦定理得：，
即，由，
两式相加，则，又，所以，
所以，所以，即，故C正确；
，即，所以，即，故D正确
（2023·四川宜宾·统考二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形内切圆的性质以及椭圆的定义，即可求出本题答案.
【详解】
设，内切圆半径为，
，即，
所以，
又，.
2023·长郡中学押题卷
若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】A
【详解】
如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，
则
设△内切圆的半径为，则，
∴
不妨设，则，
∴，
因为椭圆的离心率为，
∴，
（2023·江西·校联考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据题意，由椭圆的定义，结合平面向量数量积的运算，即可得到结果.
【详解】
由椭圆可得，，
如图，设的内切圆与三边分别相切与，，，
，分别为的重心和内心．
则，，，
所以，
所以
（2023·浙江高二联考）已知椭圆的左右焦点分别为，，P为椭圆上异于长轴端点的动点，分别为的重心和内心，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】由椭圆可得，
如图，设的内切圆与三边分别相切与，
分别为的重心和内心，
则，，，
所以,
所以
已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】

因为，即，所以，
因为点是以为底的等腰三角形内切圆的圆心，则，
所以为的角平分线，延长交延长线于点，
在与中，，所以，
所以，，所以为的中点，
又为的中点，所以为的中位线，
所以，则，
所以，即，所以.
（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】如下图所示，设切点为，，，
对于A，由椭圆的方程知：，
由椭圆的定义可得：，
易知，所以，
所以，故A正确；
对于BCD，，
又因为，解得：，
又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确；
从而，所以，
所以，而，所以，故C错误；
从而，故D正确.
故选:ABD．

2023·汕头金山中学三模
（多选）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ）
A．最大时，B．的最小值为2
C．椭圆的离心率等于D．的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于A，设，，则，且，
所以，
则当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，
又，
所以当最大时，，即，故A正确；
对于B，过点作，垂足为点G，
又点为外接圆的圆心，即为三条边的中垂线的交点，则点G为的中点，
由，
又，同理，
所以，
当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B正确；
对于C，由内切圆的圆心为，则，分别是，的角平分线，
则由角平分线定理可得，即，故C错误；
对于D，设，，，
由正弦定理可得，即，
则，即，
因为，
又结合A有，所以，即，所以，
又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，
所以，即，所以，
故，故D正确．
故选：ABD．

2023·湖北襄阳五中5月模拟
（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的离心率是
C．的最小值为D．的值为
【答案】ACD
【详解】对于A，因为椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，则，，，，
因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，
所以由椭圆与抛物线的对称性可得，两点关于轴对称，不妨设，，，
因为四边形是菱形，所以的中点是的中点，
所以由中点坐标公式得，则，
将代入抛物线方程得，，
所以，则，所以，故A正确；
对于B，由选项A得，再代入椭圆方程得，
化简得，则，故，所以，故B错误；
对于C，由选项B得，所以，则，
所以，不妨设，则，且，
所以，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，连接和，如图，
因为的内心为，所以为的平分线，则有，
同理：，所以，
所以，所以，故D正确.