江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在空间直角坐标系下，点关于轴对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中点关于y轴的对称坐标的特点，可得答案
【详解】设点为关于y轴的对称点
则的中点在y轴上，且坐标为
所以 ，则
所以点关于y轴的对称点的坐标为.
故选：B.
2. 若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A. B. C. D. 与斜交
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分析可得，由直线与平面的位置关系分析可得答案．
【详解】根据题意，直线的方向向量为，
平面的法向量为，易得，
又直线在平面外，则有．
故选：B．
3. 空间向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个向量的坐标，结合投影向量概念，可以通过计算得出结果.
【详解】与方向相同的单位向量为，
由，，则，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．
【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，
A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），
＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），
设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，
则csθ＝＝＝ ,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．
故选D．
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.
5. 已知点为抛物线：上的动点，点为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 7D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】设抛物线的焦点为，可得，转化为，当三点共线是取得最小值，结合圆的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设抛物线的焦点为，圆心为，则，，
所以，则当三点共线是取得最小值，
此时，所以的最小值为.
故选：B.
6. 在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的数量积以及模长运算公式即可得解.
【详解】连接，，如图，可知.

由，即，可得.
从而，，所以.
故选：B.
7. 人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出平面的法向量，利用线面角公式即可求解．
【详解】因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量为,2,，
直线的方向向量为，
设直线与平面所成角为，
则,．
故选：B．
8. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（ ）
A. 的准线为
B. 的最小值为
C. 以为直径的圆与轴相切
D. 若且，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线性质可得的准线为，即A错误；利用抛物线定义由基本不等式可求得B正确；由直线与圆的位置关系可得以为直径的圆与轴相交，即C错误；由可得。利用向量夹角的坐标表示可求得，即D错误.
【详解】对于选项A，由抛物线的焦点可得，
所以，即的准线为，故A错误；
对于B，如下图所示：
设直线的方程为，；
联立直线与抛物线方程可得，
可得；
由抛物线定义可得；
所以
，
当且仅当，即时，等号成立；即B正确；
对于C，以为直径的圆的圆心为,
此时圆心到轴的距离为，
而，
所以以为直径的圆与轴相交，即C错误；
对于D，易知，由可知点在的垂直平分线上，所以；
由即可得，如下图所示：
，所以，
同理可得，可得，
所以，即D错误；
故选：B
【点睛】方法点睛：在求解夹角问题时可利用平面向量的坐标表示，利用数量积的符号确定夹角的大小或取值范围.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出的关系判断C，D.
【详解】若，则，得，故A正确，B错误；
若，则，即，故C正确，D错误；
故选：AC.
10. （多选）双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线C的离心率为B. 双曲线与双曲线C的渐近线相同
C. 若，则的面积为D. 的最小值为2
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于选项A，求出结合离心率为即可得解；
对于选项B，分别求出两双曲线的渐近线都是，得解；
对于选项C，由已知求出点，再结合三角形面积公式求解即可；
对于选项D，的最小值就是点F到渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解:对于选项A，由双曲线方程为,可得即，则离心率为，即选项A正确；
对于选项B，它们的渐近线都是，渐近线相同，选项B正确；
对于选项C，结合，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在上，则直线PF的方程为，即，联立方程组，解得，故点，所以的面积为，故选项C正确；
对于选项D，因为点，其中一条渐近线的方程为，所以的最小值就是点F到渐近线的距离，因为该距离为，所以选项D错误，
综上，只有选项ABC正确，
故选:ABC．
【点睛】本题考查了双曲线的离心率、渐近线等有关知识,重点考查了运算能力,属中档题.
11. 已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 无论M，N在何位置，为异面直线B. 若M是棱中点，则点P的轨迹长度为
C. M，N存在唯一的位置，使平面D. AP与平面所成角的正弦最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相交，而即可判断A，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断P的轨迹长度为半径为的圆的，即可判断B，根据法向量与方向向量垂直即可判断C,根据线面角的向量法，结合基本不等式即可求解.
【详解】由于相交，而，因此为异面直线，A正确，
当M是棱中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设,
故， 且，
由于，故，化简得，
由于，所以点P的轨迹长度为半径为的圆的，故长度为，B正确，
设,则，且，
，,
设平面的法向量为，则
，令，则,
，故，
由于，故，化简得，
联立，故解不唯一，比如取，则或取，故C错误，
由于平面，平面，故,
又四边形为正方形，所以,
平面，
所以平面，
故平面的法向量为
，
设AP与平面所成角为，则，
则，当且仅当时取等号，
，
时，令，则，
故，
由于，当且仅当，即时等号成立，此时，
由且可得
因此，
由于，，故的最大值为，故D正确，、
故选：ABD
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 已知向量，且与互相平行，则k的值___________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，可直接求出结果.
【详解】∵向量，，
∴，，
∵与互相平行，
∴，解得．
故答案为：．
13. 已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】求出的坐标，根据空间点到平面的距离的向量求法，即可求得点到平面的距离.
【详解】由题意可得，
又是平面的法向量，
则点到平面的距离为，
故答案为：
14. 某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框虚线进行镶嵌，上部分是两个半径都为的半圆，分别为其直径，且，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．
（1）若矩形框的周长为，则当该矩形框面积最大时，__________；
（2）若，图中阴影区域的面积为，则该“心形”的离心率为__________．
【答案】 ①. 1 ②. ##0.5
【解析】
【分析】空1：设矩形的宽为，写出面积表达式，利用二次函数的性质即可；
空2：建立合适的直角坐标系，求出点的坐标即可.
【详解】设矩形的宽为，则长为，
矩形面积，
当且仅当时，矩形框面积最大为9，
所以；
如图，以为轴，中垂线为轴，直线交轴于点，
设为椭圆长轴，则，
所以圆圆
联立两圆方程得，
所以，，
所以扇形面积，
又因，所以，即，
得，
，
解得，又，所以，
则.
故答案为：1；.
【点睛】关键点点睛：阴影部分面积的表示中的难点是，需要先利用相似三角形表示出点的横坐标即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．

（1）求证：平面；
（2）若，，求与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过作交于，过作交于，可得四边形为平行四边形，，再由线面平行的判定定理可得答案；
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量、，由线面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
过作交于，过作，交于，连接，
，是的中点，
是的中点，且，
，，是的中点，
，
，且，四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面；
【小问2详解】
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设与平面所成角为，
则，
则与平面所成角的余弦值为：．

16. （1）已知向量，求；
（2）求与向量共线，且满足的向量的坐标；
（3）已知若，且与垂直，求．
【答案】（1） ；（2）；（3） ．
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件求出的坐标，然后可求出其模；
（2）由已知设，再由可求出的值，从而可求出向量的坐标；
（3）根据题意列出关于的方程组，解方程组求出，从而可求出向量．
【详解】（1），则
故．
（2）因为向量与共线，故可设．
由，得，故，
所以．
（3）因为，且与垂直，
所以，
化简得，解得．
故．
17. 已知圆C的方程为：，直线l的方程为：，
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）证明：直线l与圆C相交，设直线l与圆C相交于A、B，求弦长的最小值，及此时直线l的方程；
（3）圆C的圆心C与A、B构成三角形，求三角形ABC面积的最大值．
【答案】（1）或
（2）证明见解析，弦长的最小值，此时
（3）2
【解析】
【分析】（1）分别求解直线在轴上的截距，根据截距相等求解即可；
（2）根据直线过定点可判断直线与圆相交，再根据当直线l与直线垂直时弦长最小求解即可；
（3）由三角形的面积公式判断即可.
【小问1详解】
令可得，即，令，易得此时，可得，
依题意，化简得，故或.
故直线l的方程为：或.
【小问2详解】
即，故直线l过定点.
因为，故在圆内.
故直线l与圆C相交.
故当直线l与直线垂直时弦长最小，此时，，
故直线，.
此时，，故，即.
【小问3详解】
依题意，
故当，即为直角时取最大值.
由（2）可得当时坐标分别为，此时为直角.
故三角形ABC面积的最大值为2.
18. 如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，.

（1）证明：平面平面；
（2）求到平面距离；
（3）求直线与平面夹角余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取和 的中点和，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，，结合，即可得证；
（2）由平面的法向量为，且，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）由平面，得到平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，求得直线与平面夹角余弦值.
【小问1详解】
证明：取和 中点和，连接和，
在正四棱柱中，可得为正三角形，所以，
以为原点，所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示， 可得，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的一个法向量为，则
取，可得，所以，
因为，即，所以平面平面.
【小问2详解】
由平面的法向量为，且，
设直线与平面所成的角为，
可得，
又因为，所以到平面的距离为.
【小问3详解】
由为正三角形，且为的中点，可得，
在正三棱柱中，可得平面，
所以为平面的一个法向量，即为平面的一个法向量，
又由，可得，
设直线与平面夹角为，
可得，
则，即直线与平面夹角的余弦值为.

19. 已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C．
（1）求C方程；
（2）若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E．
①证明：G，E，H三点共线；
②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）①证明见解析 ；②16
【解析】
【分析】（1）设，根据题目条件列式化简可得轨迹；
（2）①设线段的中点为，利用向量证明G，E，F三点共线，同理H，E，F三点共线，进而可得结论；②将四边形面积转化为四边形GAHB面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直线和直线的方程，则可求出坐标，然后利用面积公式求解最值即可.
【小问1详解】
设，与直线的切点为N，则，
所以
化简得，所以C的方程为：；
【小问2详解】
①设线段的中点为，
因为，所以可设，，
又因为，
所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线，
所以G，E，H三点共线．
②设，，，，AB中点为E，中点为F，
将代入得：，所以，，
所以，
同理，，（均在定直线上）
因为，所以△EAT与△EAH面积相等，与△EBH面积相等；
所以四边形的面积等于四边形GAHB的面积，
设，，
直线，即
整理得：直线，又因为，所以，
同理，直线，，所以
所以
所以四边形GAHB面积
，
当且仅当，即，即时取等号，
所以四边形面积的最大值为16．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将四边形的面积转化为四边形GAHB的面积，还有充分利用第一问中的点共线求出的横坐标，可以给求面积带来便利.