湖北省名校联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省名校联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线：与直线：平行，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要
2．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A.B.
C.D.
3．空间四边形中，，，，点P为中点，点Q为靠近D的三等分点，则等于( )
A.B.C.D.
4．记等差数列的前n项和为，若，，则( )
A.64B.80C.96D.120
5．直线l与曲线和圆都相切，则直线l的斜率为( )
A.B.C.1D.
6．记数列的前n项和是，前n项积是.
①若是等差数列，则是等差数列；
②若和都是等差数列，则是等差数列；
③若是等比数列，则是等比数列；
④若是等比数列，则是等比数列.其中真命题的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
7．长方体中，，，M为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为( )
A.B.C.D.
8．椭圆的左焦点关于直线的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的有( )
A.已知函数在R上可导，若，则
B.
C.已知函数，若，则
D.设函数的导函数为，且，则
10．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点.若双曲线C的方程为，下列结论正确的是( )
A.若，则
B.当反射光线n过时，光由所经过的路程为7
C.反射光线n所在直线的斜率为k，则
D.记点，直线与C相切，则
11．如图：三棱锥中，面，，，，，M，N，Q分别为棱，，的中点，E为棱上的动点，过M，N，E的平面交于F.下列选项中正确的有( )
A.的最小值为2
B.时，
C.三棱锥被平面分割成的两部分体积相等
D.当E为中点时，N，E，M，F，Q五点在一个球面上，且球的半径为
三、填空题
12．写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前n项和在时取最大值，_____.
13．已知抛物线的焦点为点F，过点F的直线l交抛物线于点A，B两点，交抛物线的准线于点M，且，，则______.
14．过点的直线l交：于，两点，则的最小值为______.
四、解答题
15．已知函数，.
（1）求函数图象在处的切线方程.
（2）若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，求实数m的取值范围.
16．京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长.某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子.设从2023年开始，第n年年底的速生林木保有量为万立方米.
（1）求，请写出一个递推公式表示与之间的关系；
（2）是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数；
（3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？
（参考数据：，，，）
17．如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点D为棱的中点.
（1）求证：；
（2）棱上是否存在异于端点的点M，使得二面角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由.
18．已知常数，向量，，经过点的直线以为方向向量，经过点的直线以为方向向量，其中.
（1）求点D的轨迹方程，并指出轨迹E.
（2）当时，点A为轨迹E与轴正半轴的交点，过点的直线与轨迹E交于P、Q两点，直线、分别与直线相交于M，N两点，试问：是存在定点R在以M、N为直径的圆上？若存在，求出R的坐标；若不存在，请说明理由.
19．相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类.现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数：第一行是以1为首项，2为公差的等差数列.从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第i行的第j个数.
（1）求第3行和第4行的通项公式和；
（2）一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立.”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数n都成立，这种方法即数学归纳法.请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；
（3）若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有.
参考答案
1．答案：B
解析：当时，有，故或，
当时，的方程为，的方程为，此时两条直线重合，不符合；
当时，的方程为，的方程为，符合；
综上，“”是“”的充要条件，
故选：B.
2．答案：C
解析：设，，由图可得，
而，
故，
故选：C.
3．答案：D
解析：在四面体ABCD中，，，，
点P为中点，点Q为靠近D的三等分点，则.
故选：D.
4．答案：C
解析：设公差为d，
则，解得，
故.
故选：C.
5．答案：C
解析：圆的圆心为原点，半径为.
设直线l与曲线相切时的切点为，其中.
因，故直线l的斜率为，
故直线l的方程为：即，
整理得到：，
因该直线与圆相切，故，故或（舍），
故直线l的斜率为1，
故选：C.
6．答案：B
解析：对于①，若是等差数列，则，故，其中k，b为常数,
故，整理得到：，
故，此时，故是等差数列，故①正确.
对于②，因为为等差数列，则，其中常数d为公差，
则即，因为为等差数列，故，
故，此时，
故是等差数列，故②正确.
对于③，设等比数列的通项为，则，
此时不是等比数列，故③错误.
对于④，设等比数列的通项为，
则，此时，
此时，故不为常数，
故不是等比数列，
故选：B.
7．答案：A
解析：以D为原点建立空间直角坐标系，必有，，，
，设，而，，
由题意得，故，得，故，
故，，易知面的法向量，
故，
若最大，则最大，由二次函数性质得当时，最大，
此时，，
此时最大，且，显然A正确.
故选：A.
8．答案：C
解析：设关于直线的对称点为，
则，解得即，
而P在椭圆上，故，整理得到，
其中（为椭圆的离心率），故，故，
故选：C.
9．答案：CD
解析：对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误.
对于C，，若，则即，故C正确.
对于D，，故，故，故D正确.
故选：CD.
10．答案：BCD
解析：对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：，
二者联立解得：.故A错误；
对于B：光由所经过的路程为.
故B正确；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为，.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABC
解析：由题意得，故，又平面，
故以A为原点建立空间直角坐标系，故，，，，
，，设，则，
故，
由闵可夫斯基不等式得，
当且仅当时取等，故A正确，
若，则，而，，
设面的法向量，故，，
则，，令，解得，，
故，设面任意一点坐标为，，
可得面的方程为，当，时，，
故，显然成立，故B正确，
三棱锥上部分被平面截为，，三部分，设原体积为1，
设，，
，
，
故，
则三棱锥被平面分割成的两部分体积相等，故C正确，
若E为中点，则，，
，，设面的法向量，
则，，则，，
令，解得，，故，
故，则面的方程为，
当，时，解得，，
设过N，E，F，Q的球方程为，将点代入方程，
可得，，，
，解得，，，，
故球的方程为，经检验，M也在该球上，
故N，E，M，F，Q五点共球，且球的半径为，故D错误，
故选：ABC.
12．答案：（答案不唯一）
解析：对于等差数列，其前n项和，由二次函数的性质可知，数列前n项和在或时取到最大值，
故答案为：（答案不唯一）.
13．答案：0
解析：依题意，抛物线的焦点F坐标为，
易知直线l斜率存在，设直线方程为：，，，
联立，消去y，得，
易知，则，即，
过A作垂直于轴，过M作平行于轴，两者交于Q，
过作垂直于轴，交轴于P，根据对称性，示意图如下，
因为，所以，
因为，所以，
则.
故答案为：0.
14．答案：30
解析：过M，N分别作直线的垂线，垂足分别为S，T，
设的中点为G，过G作直线的垂线，垂足为H，连接，
又
.
因为G为的中点，故，
故G的轨迹为以的直径的圆，其方程为，
即，其圆心为，半径为1，
到直线的距离为，
故G到直线的距离的最小值为，
故的最小值为30.
故答案为：30.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1），，，
所以函数图象在处的切线方程为，即.
（2）由（1）可得，，
若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，
即对任意的，总存在使得，即，
又，
从而的值域包含，
当时，的值域为，
所以，解得，
当时，的值域为，
所以，解得，
即实数m的取值范围为.
16．答案：（1）（万立方米），
（2），理由见解析
（3）至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求
解析：（1）（万立方米），
又即.
（2）若存在实数，使得数列为等比数列，
则存在非零常数q，使得，整理得到，
而，故，即.
当，则，
而，故即，
故为等比数列，故存在常数，使得为等比数列.
（3）由（2）可得是首项为，公比为的等比数列，
故即，此时为递增数列.
令，则，
当时，，
当时，，
故至少到年才能达到公司速生林木保有量的规划要求.
17．答案：（1）证明见解析
（2）存在，点M为棱的三等分点(靠近端)
解析：（1）取棱的中点O，连接，，，
且，
为等边三角形，
，
四边形为正方形，且O，D分别是，的中点，
，
因为，，平面，
平面，
因为平面，
所以.
（2）因为平面平面，平面平面，且，面，
所以面，
以O为坐标原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图：
不妨设，则点，，，，
则，，
设为平面的一个法向量，则由及得，
，取，得，
假设棱上(除端点外)存在点M满足题意，
令()，得，
而，，
设为平面的一个法向量，则由及得，
，取，得，
由，整理得，
解得，
所以点M为棱的三等分点(靠近端).
18．答案：（1）详见解析
（2）定点R的坐标为，，理由见解析
解析：（1）由题设有，.
设，则，
因为直线以为方向向量，故，
因为直线以为方向向量，故，
当时，，故点D的轨迹过，
当时，由可得，故，
整理得到.
综上，点D的轨迹E的方程，
轨迹E是以为焦点，实轴长为的双曲线.
（2）当时，点D的轨迹方程，故，
由题设可得的斜率不为零，设，，，
又，，
故，，
故以M、N为直径的圆的方程为：，
.
由可得，
，
而，，
故，
故以M、N为直径的圆的方程可化简为：，
其中，
令可得或，
故以M、N为直径的圆过定点R，其坐标为，.
19．答案：（1），，2，…，；，，2，…，
（2）证明见解析，通项公式为
（3），理由见解析
解析：（1），，2，…，，
，，2，…，，
，，2，…，.
（2）当时，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列，满足要求，
假设当时，成立，即第行为公差为的等差数列，
则当时，
，
故第行的数也依次成等差数列，公差为，
综上，数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，
由于，，，
所以，，
，
由于，故，即，
即，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故.
（3），
故，
令，则，
故
，
，
因为，所以，
故，
令，则当时，都有，
综上，为满足要求的等比数列.