专题18 圆锥曲线高频压轴解答题（16大题型）（练习）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题18圆锥曲线高频压轴解答题
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156939717" 01 轨迹方程 PAGEREF _Tc156939717 \h 2
\l "_Tc156939718" 02 向量搭桥进行翻译 PAGEREF _Tc156939718 \h 6
\l "_Tc156939719" 03 弦长、面积背景的条件翻译 PAGEREF _Tc156939719 \h 10
\l "_Tc156939720" 04 斜率之和差商积问题 PAGEREF _Tc156939720 \h 16
\l "_Tc156939721" 05 弦长、面积范围与最值问题 PAGEREF _Tc156939721 \h 20
\l "_Tc156939722" 06 定值问题 PAGEREF _Tc156939722 \h 26
\l "_Tc156939723" 07 定点问题 PAGEREF _Tc156939723 \h 30
\l "_Tc156939724" 08 三点共线问题 PAGEREF _Tc156939724 \h 34
\l "_Tc156939725" 09 中点弦与对称问题 PAGEREF _Tc156939725 \h 38
\l "_Tc156939726" 10 四点共圆问题 PAGEREF _Tc156939726 \h 42
\l "_Tc156939727" 11 切线问题 PAGEREF _Tc156939727 \h 47
\l "_Tc156939728" 12 定比点差法 PAGEREF _Tc156939728 \h 51
\l "_Tc156939729" 13 齐次化 PAGEREF _Tc156939729 \h 55
\l "_Tc156939730" 14 极点极线问题 PAGEREF _Tc156939730 \h 57
\l "_Tc156939731" 15 同构问题 PAGEREF _Tc156939731 \h 61
\l "_Tc156939732" 16 蝴蝶问题 PAGEREF _Tc156939732 \h 66
01 轨迹方程
1．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线的一条浙近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.
【解析】（1）因为渐近线方程为，所以，设双曲线为，
代入得，双曲线的标准力程为；
（2）法一、
设直线，联立双曲线得：，
，且；
设直线，联立双曲线得：，
，且；
所以
则
设，则，两式相除消得
所以在直线上；
法二、
设直线，
直线，
由于，即，
由于，即，
则.
设，则，两式相除消得
所以在直线上；
2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆：的长轴长是短轴长的2倍，直线被椭圆截得的弦长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设M，N，P，Q为椭圆上的动点，且四边形MNPQ为菱形，原点О在直线MN上的垂足为点H，求H的轨迹方程．
【解析】（1）由题意可得，则椭圆：，
联立，解得或，
所以弦长，解得，所以，
所以椭圆的方程为，即；
（2）因为四边形MNPQ为菱形，所以垂直且平分，
设，
则，
两式相减得，
即，
设菱形的中心为，
若直线的斜率都存在，设直线的斜率分别为，
由，得，
所以，即，
同理，
所以，
由得，所以，即菱形的中心为原点，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，
所以，
同理，
因为，
所以
，
所以点在圆上；
若直线中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，
四点分别为椭圆的顶点，不妨设为右顶点，为上顶点，
则，
同理可得，
点任在圆上，
综上所述，H的轨迹方程为.
3．（2024·福建莆田·统考一模）曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点．
（1）求的方程；
（2）求证：内切圆的圆心在定直线上．
【解析】（1）设，由题意：，
化简得：，即C的方程为：.
（2）设直线，，将代入C得：，
∴
设直线AF与BF的斜率分别为，则
.
∴，则，∴直线平分，而三角形内心在的角平分线上，∴内切圆的圆心在定直线上.
而，所以.
同理，当时，.
当与轴垂直时，与重合.符合
综上，线段的中点的轨迹方程或.
02 向量搭桥进行翻译
4．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.
【解析】（1）设点的坐标分别为，
又点的坐标为，且，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则依据得，
整理得，
又，故，
得，
即，
当时，此时，即重合，显然不成立，所以，
所以，即，
又，得，
又，故，且，
故实数的取值范围为.
5．（2024·上海奉贤·统考一模）已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点，求的取值范围；
(3)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由．
【解析】（1）由题意，得，，所以，
则椭圆的标准方程为；
（2）设动点，，，
，
，所以的取值范围为；
（3）显然直线的斜率存在，故可设直线，、，
联立， 消去得，
，即①，
则，，
则，，
则，
故，
若，则有，
设直线为，
联立，消去有，
要使得存在点，则，
整理得，
故②，
由①②式得，，
则，解得，
所以当时，不存在点，使得.
6．（2024·云南昆明·高三统考期末）已知动点P到定点的距离和它到直线距离之比为2；
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设，由动点P到定点的距离和它到直线距离之比为2，
可得，化简得，即，
故点P的轨迹C的方程为；
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由对应渐近线方程为：，易判断，
得，设，，
则，①，
由，得：
，
，
即，，
消去得：，
即②
由①②得：，化简得，由已知，
故存在定直线l：满足条件.
03 弦长、面积背景的条件翻译
7．（2024·陕西榆林·统考一模）已知椭圆经过两点.
(1)求的方程；
(2)斜率不为0的直线与椭圆交于两点，且点A不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求.
【解析】（1）将代入椭圆方程中，
，
解得
则椭圆的方程为；
（2）当直线轴时，为钝角三角形，且，不满足题意.
设，由，可得，
所以，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
因为点A不在上，所以，
由化简得，
.
，
所以
，
则，
整理得，因为，所以，
所以直线的方程为，恒过点.
由题意和对称性可知，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
8．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，，若上任意一点到两焦点的距离之和为，且点在上.
(1)求椭圆的方程；
(2)在（1）的条件下，若点，在上，且(为坐标原点)，分别延长，交于，两点，则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积，若不为定值，请说明理由.
【解析】（1）因为上任意一点到两焦点的距离之和为，
所以，即.
又因为点在上，
所以，则，
故椭圆的方程为 .
（2）四边形的面积为定值，理由如下：
当直线斜率为0时，因为，
不妨设，则，
则，，
此时四边形的面积为为定值；
当直线斜率不为0时，设，且，.
联立，得.
由，得，
则，，
则
，
因为，
所以，即，即，
则，
又原点到的距离，
所以四边形的面积
，
综上，所以四边形的面积为定值.
9．（2024·上海·高三上海市大同中学校考期末）已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值；
(3)设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值．
【解析】（1）设椭圆方程，焦距为，
由题意知椭圆E的顶点、焦点分别为，
所以，
从而椭圆E的离心率为.
（2）如图所示：
由题意，直线斜率存在，
所以不妨设直线的方程为，，
又双曲线渐近线斜率的绝对值为，
且过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，
所以直线的斜率满足，
将直线与双曲线方程联立，消去得，
而，
所以，
从而的面积为，
因为，令，所以，
从而，
进一步令，则，
当且仅当，即时，.
综上所述：面积的最小值.
（3）如图所示：
由题意双曲线的渐近线方程为即，
当时，由对称性得关于轴对称，关于轴对称，所以为的中点，故．
下面证明当时，即证为的中点.
因为点满足，则，
不妨设，当时，，此时点在直线的左上方，同理可证，点在两渐近线所夹区域的上方或下方，不妨设点在上方区域.
由题意，
设直线的方程为，直线的方程为，
由 即，所以，
所以满足，
同理满足，
所以直线的斜率：
，
设直线方程为,
由 得即，
得的横坐标，同理，
所以，
所以为的中点，故为定值1．
综上： 为定值1．
04 斜率之和差商积问题
10．（2024·贵州铜仁·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过动点作x轴垂线，分别与和交于P，Q点，且，，若实数使得成立（其中O为坐标原点）．
(1)求M点的轨迹方程，并求出当为何值时M点的轨迹为椭圆；
(2)当时，经过点的直线l与轨迹M交于y轴右侧C，D两点，证明：直线，的斜率之比为定值．
【解析】（1）由动点，可得，，，
因为，所以，
化简得，
当时，方程为，其中M点的轨迹为椭圆．
（2）证明：当时，M的方程为，可得点为双曲线，
设CD方程为，且，
联立方程组，整理得，
可得且，，
直线的斜率分别为，
又由
所以
所以为定值．
11．（2024·安徽·高三校联考期末）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，点Q是PF的中点，且Q到抛物线C的准线的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆，圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA，OB的斜率之差的绝对值为定值．
【解析】（1）根据题意可列
故抛物线C的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，.
②当直线的斜率存在且不为0时，故设直线的方程为，
圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，故
设
把直线的方程与抛物线进行联立
.

.
综上所述：的斜率之差的绝对值为定值为2.
12．（2024·海南海口·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，离心率为，焦点到渐近线的距离为2.直线过点，且垂直于轴，过的直线交的两支于两点，直线分别交于两点.
(1)求的方程；
(2)设直线的斜率分别为，若，求点的坐标.
【解析】（1）不妨设双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为.
由题意可得：
解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由题意直线的斜率不为0.
设直线方程为，
由，消去得：，
由，得：.
设，则.
由题意可知，则直线.
令，得，所以坐标为，
同理，坐标为，
所以.
因为，所以，
整理得：.
又
，
所以.
因为，所以，即，
所以点的坐标为.
05 弦长、面积范围与最值问题
13．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.
【解析】（1）设，由椭圆的定义可知的周长为，所以，所以离心率.
（2）由（1）可知，又，所以，
所以椭圆的方程为.
①当直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积.
②当直线的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，由，可得，.所以.
所以.
设的方程为，同理可得.
所以四边形的面积
，
因为，当且仅当时取等号.所以，即此时.
由①②可知，四边形面积的范围为.
14．（2024·河南·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
(1)证明：直线过定点；
(2)设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
【解析】（1）由，故，由直线与直线垂直，
故两只直线斜率都存在且不为，
设直线、分别为、，有，
、、、，
联立与直线，即有，
消去可得，，
故、，
则，
故，，
即，同理可得，
当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
有，亦过定点，
故直线过定点，且该定点为；
（2）由、、、，
则，由、，
故，
同理可得，联立两直线，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
过点作轴，交直线于点，则，
由、，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证：
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，
有，由直线过定点，
此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
故，
15．（2024·上海嘉定·统考一模）抛物线上有一动点．过点P作抛物线的切线l，再过点P作直线，使得，直线m和抛物线的另一个交点为Q．
(1)当时，求切线的直线方程；
(2)当直线与抛物线准线的交点在x轴上时，求三角形的面积（点O是坐标原点）；
(3)求出线段关于s的表达式，并求的最小值；
【解析】（1）当时，点，又因为点在抛物线上，
由于点在第一象限，则，
求导，代入，则
所以过点的切线方程为：；
（2）当直线与抛物线准线的交点在x轴上时,
则直线过点，由于（1）的切线方程过点，
则此时切线方程为，又因为，
则的方程为：.
联立，解得或.
故点点，
则，
到直线的距离为：，
则面积为.
（3）由于点，
所以点在第一象限，则，
求导，代入，即，
则直线的方程为：，
所以直线的方程为：，
联立抛物线于直线得：，得，
令，则，即，
，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时， 取最小值，即.
06 定值问题
16．（2024·全国·模拟预测）如图，已知分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上一点，若，.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P坐标为，设不过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，A关于原点的对称点为，记直线，PB，的斜率分别为k，，，若，求证：直线的斜率k为定值.
【解析】（1）由两边平方得，
所以.
因为，所以，即.
由得，即
又，
即，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为，代入得，
则，
设，则，
于是.，
又，所以，即，即，
即，
所以，.
将代入整理得，
即，
所以或
当，即时，直线的方程为，则直线过点，舍去，
所以，即.
17．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．
(1)求的方程．
(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设双曲线的半焦距为．
由题意可得，解得，
所以的方程为．
（2）为定值，理由如下：
由（1）知，设直线，
联立方程得，消去，整理可得，
，
，同理．
直线过点且与的左、右两支分别交于两点，
两点在轴同侧，，此时，即．
，
，为定值．
18．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，已知抛物线是抛物线与轴的交点，过点作斜率不为零的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，直线与直线交于点．
(1)求的取值范围；
(2)问在平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意，设直线的方程为，点，
由消去y并整理得，，
则，，
，
所以.
（2）由（1）知，，且，设，
，直线的方程为，直线的方程为，
联立解得，
即点的坐标为，
，
，而，
于是，当为定值，
所以存在定点的坐标为.
07 定点问题
19．（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点.
【解析】（1）由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为，
联立可得，则，所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线也不与轴重合，
设、，设直线的方程为，
联立得，，
因此，.
设直线的方程为，联立得，
则，因此，，则，同理可得.
所以.
因此直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以，直线过定点.
20．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)经过椭圆右焦点且斜率不为零的动直线与椭圆交于、两点，试问轴上是否存在异于点的定点，使恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意知，，，，
∵，，
∴，解得，从而，
∴椭圆的方程为.
（2）如图，
由椭圆右焦点，故可设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则，
设，，且，，
设存在点，设点坐标为，
由，可得，
又因为，
所以，所以，
所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有，
则，所以，
所以，整理得，
即，即，
解得，符合题意，
即存在点满足题意.
21．（2024·四川甘孜·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为的准线交轴于点，过的直线与抛物线相切于点，且交轴正半轴于点.已知上的动点到点的距离与到直线的距离之和的最小值为3.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点.
【解析】（1）设，由题意知准线，
由抛物线的定义可知点到点的距离等于点到准线的距离，
所以点到点的距离与到直线的距离之和为，
由题意知当时，距离之和最小，
所以，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，设，
联立方程，得，
由得，解得，又与轴交于正半轴，所以
由解得，所以点，
所以直线，
所以直线，所以，
因为斜率存在且不为零，所以设，
联立，消去，得，
则，所以且.
，
又直线，令，得，所以，
因为，所以，
所以，
所以直线的方程为，
所以，
因为，
所以直线为，所以恒过定点.
08 三点共线问题
22．（2024·广东·高三校联考阶段练习）点是抛物线：（）的焦点，为坐标原点，过点作垂直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，，抛物线的准线与轴交于点．
(1)求抛物线的方程；
(2)设、是抛物线上异于、两点的两个不同的点，直线、相交于点，直线、相交于点，证明：、、三点共线．
【解析】（1）抛物线：（）的焦点坐标为：过点作垂因为直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，且，
不妨设，则，
解得或（舍去），
所以抛物线的方程为；
（2）如图所示：
由（1）知，设，
则直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，
联立得，解得，则，
所以，
则直线BC的方程为：，直线AD的方程为：，
联立得，解得，则，
所以，则，
所以E，K，G三点共线.
23．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，当平行于轴时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，证明：三点共线.
【解析】（1）抛物线的焦点为，
当平行于轴时，设直线的方程为，设点、，
，解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由韦达定理可得，，
又因为直线的方程为，
将代入直线的方程可得，可得，即点，
所以，，
因为，则，
所以，直线的方程为，
联立可得，则，
故，则，
由的中点为，可得，
故、、三点共线．
24．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知A，B为椭圆的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP与直线BP的斜率之积为，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AP，BP分别与直线相交于M，N两点，且直线BM与椭圆C交于另一点Q，证明：A，N，Q三点共线．
【解析】（1）令，则，又，则，
所以，即，，
由在椭圆上，则，
联立以上两式，可得，故椭圆C的标准方程为.
（2）由题设，直线、斜率存在且不为0，，
令，则，故，，
所以，联立，整理得，
显然，则，则，
由，，即，
所以A，N，Q三点共线.
09 中点弦与对称问题
25．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期末）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得，设椭圆右焦点坐标为，
设椭圆上一点，，
则，故，
，
因为，所以，，
故，
故椭圆上的点到又焦点的最小距离是，所以，
联立与，解得，故，
故椭圆的方程为．
（2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，
设，，
则，两式相减得，
得，即，
直线方程为，即．
所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，
且该直线方程为．
26．（2024·全国·高三专题练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线
(1)求的方程；
(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设动圆的半径为，
依题意得，所以为定值，且，
所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
，，，，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，
设，，
则，两式相减得，
得，即，
由点斜式得直线方程为，即.
所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.
27．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知椭圆C：的一个焦点为，且点F到C的左、右顶点的距离之积为5．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F作斜率乘积为的两条直线，，与C交于A，B两点，与C交于D，E两点，线段AB，DE的中点分别为M，N．证明：直线MN与x轴交于定点，并求出定点坐标．
【解析】（1）由题意，，且，即，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）证明：由题意得，且斜率均存在且不为0，
设直线的方程为：，设，，
联立，整理得，
可得，，
所以AB的中点.
设直线的方程为：，设，，
联立，整理得，
可得，，
所以DE的中点.
当时，、的横坐标相同均为，
这时直线与轴的交点为；
当时，则直线的斜率，
所以直线的方程为：，
令，可得，
即直线与轴的交点为.
综上所述，直线与轴交于定点为.
10 四点共圆问题
28．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和的面积为.

(1)求曲线的方程；
(2)如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于两点，直线过且垂直于轴，直线DG,DR分别与交于两点，若四点共圆，求点的坐标.
【解析】（1）由，又得：，所以渐近线方程为，
则双曲线方程为，即，
设，则到渐近线的距离分别为，
又两渐近线的夹角为，且四点共圆，则或，
的面积，
曲线的方程为：.
（2）如图四点共圆，
，
，
设，，
易得，令得：，
当的斜率为0时，不符合题意；
当的斜率不为0时，设，
联立双曲线得，
则，且，即，且，
所以，
由，即，
，
，符合，
综上，.
29．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点D在C上，，，，且的面积为．
(1)求C的方程；
(2)设C的左顶点为A，直线与x轴交于点P，过P作直线交C于G，H两点直线AG，AH分别与l交于M，N两点，O为坐标原点，证明：O，A，N，M四点共圆．
【解析】（1）
由椭圆定义可知，.
由可得，
因为，如图1可知，所以．
在中，由余弦定理可得，
所以，即C的焦距为，，
所以，
故C的方程为.
（2）
如图2，不妨取G点在H点的左侧，要证O，A，N，M四点共圆，
只需证明，即．
又，
，
故待证结论转化为证明．
设，，，显然，.
由题意可知，则直线，直线．
因为M在直线l上，所以，代入直线AG的方程，可知，
故点M的坐标为，所以.
又，故等价于．
设直线，与C的方程联立消去x得，
，则或.
又，，
则，
所以，所以，
综上O，A，N，M四点共圆．
30．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知动圆M过点且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与轴相交于点P，点B为曲线C上异于顶点的动点，直线PB交曲线C于另一点D，直线BO和DO分别交直线于点S和T．若四点共圆，求的值．
【解析】（1）设，则，解得.
（2）
设直线的方程为代入得
，设，，
则，
又直线的方程为，即，则，
同理： ，
则 ，
，
四点共圆， ，
即，又，则.
11 切线问题
31．（2024·河南周口·高三校联考阶段练习）已知点在离心率为的椭圆上，点为椭圆上异于点的两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，过点两点分别作椭圆的切线，这两条切线的交点为，求的最小值．
【解析】（1）根据题意，，
又点在椭圆上，
，所以，
可得椭圆的方程为；
（2）根据题意：设点，
当时，则，又，由
得，得，
又，解得：，或（舍去），则．
当时，设直线为，
联立，
可得，因为，
可得：，
因为，代入可得：
，
代入韦达定理可得：，
整理可得：，
可得：或，代入直线可得：，
该直线恒过点；或者，该直线恒过点（与题意不符），
所以直线恒过定点，
设点，直线的方程为，直线的方程为，
点分别在直线上，所以，得直线为，
又直线恒过点，所以，
所以点的轨迹为，
故的最小值为点A到点轨迹的距离，为．
32．（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图所示，已知椭圆：与直线：.点在直线上，由点引椭圆的两条切线、，A、B为切点，是坐标原点.
(1)若点为直线与轴的交点，求的面积；
(2)若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值.（注：椭圆在其上一点处的切线方程为）
【解析】（1）由题意知，过点与椭圆相切的直线斜率存在，
设切线方程为，
联立，可得，（*）
所以，解得，即切线方程为.
所以，
将代入方程（*）可得，可得，此时，
不妨设点，同理可得点，则
因此，的面积.
（2）证明：设、，
因为椭圆在其上一点处的切线方程为.
则切线的方程为，切线的方程为.
设，则，
所以，点A、B的坐标满足方程即，
所以，直线的方程为.
因为点在直线上，所以，则，
所以，直线的方程可表示为，即.
令，可得，故直线过定点.
因为，在直线AB上，，
故点在以为直径的圆上，
当点为线段的中点时，，
此时点的坐标为
故存在点，使得为定值.
33．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在平面直角坐标系内，已知定点，定直线，动点P到点F和直线l的距离的比值为，记动点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程．
(2)以曲线E上一动点M为切点作E的切线，若直线与直线l交于点N，试探究以线段MN为直径的圆是否过x轴上的定点．若过定点．求出该定点坐标；若不过，请说明理由．
【解析】（1）设点是所求轨迹上的任意一点，
因为定点，定直线l：，动点P到点F和直线l的距离的比值为，
可得，化简得，
所以曲线的方程为.
（2）因为直线与相交，所以的斜率存在，
可设的方程为，联立方程组，
整理得，
则，可得，
即且，所以，即，
所以，则，所以，
联立方程组，解得，即，
假设以线段为直径的圆过轴上一定点，设为，则，
所以恒成立，即，
可得，即，
整理得，
即，即恒成立，
要使得恒成立，则，所以恒过定点，
即以线段为直径的圆过轴上一定点.
12 定比点差法
34．（2024·吉林·统考一模）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F．
(1)求抛物线的方程及a；
(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率．
【解析】（1）抛物线的焦点F到其准线的距离为4
可得
抛物线的方程：
椭圆经过抛物线的焦点
椭圆的右顶点为，
所以．
（2）①当直线斜率存在时，
设直线方程为
由得，
∵
∴，即∴
∴，
∴
又∵
∴，即∴
∴N点轨迹为直线
②当直线斜率不存在时，经检验点在直线上．
∴N点轨迹方程为
最小值即点O到直线的距离
∴，即
椭圆的离心率为．
35．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的值；
(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．
【解析】（1）由题意，得解得∴，故的方程为．
（2）由（1）知，
∴直线AB的方程为，由即，
设，，
则，，
∴．
设O点到直线AB的距离为d，则．
∴．
（3）设AB直线方程，
设，，，，
由由定比分点坐标公式：，
由于A，C满足椭圆方程，故得
两式作差得③，
将①②代入③可得，和①进行联立，
即，解得：
由同理可得，
∴
，
故．
36．（2024·安徽合肥·统考一模）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.
【解析】（1）过三点的圆的圆心为,则圆心在的中垂线上，
则，又点到抛物线的准线的距离为
所以，则
所以抛物线的方程为.
（2）设，记.
则，，
联立可得，
又，代入得，
所以总在定直线上.
13 齐次化
37．已知椭圆，，，为上的两个不同的动点，，求证：直线过定点．
【解析】设直线方程为：
则
即，又因为
化简得或（舍去）．
即直线为，即直线过定点．
38．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．
【解析】设直线．．．．．．（1）
由，得
即：．．．．．．（2）
由（1）（2）得：
整理得：
则，
则，代入直线，得：
显然，直线过定点．
39．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q（均异于点，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．
【解析】设直线
则．
由，
得：．
则，
故．
所以．
即．
14 极点极线问题
40．（2024·江苏南通·高二统考开学考试）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【解析】（1）设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
41．（2024·安徽六安·校联考一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
【解析】（1）因为椭圆的离心率，，，
又，．
因为，所以，，
所以椭圆C的方程为．
（2）解法一：设直线，，，
，可得，
所以．
直线AM的方程：①
直线BN的方程：②
由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，
联立①②可得．
因为，
所以
所以点Q在直线上．
解法二：设，，，两两不等，
因为P，M，N三点共线，
所以，
整理得：．
又A，M，Q三点共线，有：①
又B，N，Q三点共线，有②将①与②两式相除得：
即，
将即
代入得：解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故）
所以Q在定直线上．
【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.
42．（2024·北京海淀·统考模拟预测）已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
【解析】（1）因为点，都在椭圆上，
所以，．
所以．
所以椭圆的离心率．
（2）由（1）知椭圆的方程为，．
由题意知：直线的方程为．
设（，），，．
因为三点共线，所以有，，
所以．
所以．
所以．
因为三点共线，
所以，即．
所以．
所以直线的方程为，
即．
又因为点在椭圆上，所以．
所以直线的方程为．
所以直线过定点．
15 同构问题
43．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合.
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点和点.且，证明：点在一条定曲线上.
【解析】（1）由题设得，
所以抛物线的方程为.
因此，抛物线的焦点为，即圆的圆心为
由圆与轴相切，所以圆半径为，
所以圆的方程为.
（2）证明：由于，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则.
故设过点且与圆相切的切线方程为，即.
依题意得，整理得①；
设直线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，
故，②，
由得③，
因为点，
则④，⑤
由②，④，⑤三式得：
，
即，
则，即，
所以点在圆.
44．（2024·湖北襄阳·襄阳五中校考一模）已知抛物线，圆．
（1）求圆心到抛物线准线的距离；
（2）已知点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于、两点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，求点的坐标．
【解析】（1）由已知：；的准线为．
圆心到准线距离为
（2）设，，
切线
由得：
由得：
切线
同理可得：
依题意：到距离
整理得：
同理：
，
解得：
故所求点坐标为或
45．（2024·内蒙古呼和浩特·统考一模）拋物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点M的坐标为，与直线l相切．
(1)求抛物线C和的标准方程；
(2)已知点，点，是C上的两个点，且直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【解析】（1）由已知，设拋物线C的方程为（），
当时，，则，
所以不妨设 ，，
因为，所以，
所以，解得
所以抛物线C的，
因为与直线l：相切，，
所以的半径为2，
所以的方程
（2）由已知可得在抛物线上，设，
所以，
所以的点斜式方程为
整理可得，
此直线与圆相切，可得，
平方后可得
又因为
化简得，
同理：的方程为，
所以直线方程为，
所以点M到直线距离为，
所以直线与相切
46．（2024·浙江杭州·高二萧山中学校考期末）已知圆的方程为：
(1)已知过点的直线交圆于两点，若，，求直线的方程；
(2)如图，过点作两条直线分别交抛物线于点，，并且都与动圆相切，求证：直线经过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）时，圆：，
因为，所以可得圆心到直线的距离，
当直线的方程为：时，符合题意；
当直线的斜率存在，设直线的方程为：，即，
由得，解得：，直线：，
综上：直线的方程为：或；
（2）设直线，的斜率分别为，，则直线：，
，同理得直线：，
由，与动圆相切得：，
化简得：，
因为，所以，
联立得，同理：，
易得，
则：，
化简得：，所以直线过定点．
16 蝴蝶问题
47．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，B，A是椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，，.
（1）求证：；
（2）若直线PQ过定点，求证：.
【解析】（1）设
；
（2）设直线的方程是，设
与椭圆方程联立， 得： ，
， ，


，
,
由（1）可知，
两式消去，解得：.
48．（2024·江苏宿迁·高二统考期末）已知椭圆的左焦点为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线分别交椭圆于不同的两点.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）椭圆的一个焦点，则另一个焦点为，
由椭圆的定义知:，所以，解得.
又， 所以椭圆的标准方程为.
（2）设，
则直线，与联立可得，
所以，所以，
所以，所以，
又直线，与联立可得，
所以，所以，
所以，所以
所以直线的斜率为=
所以直线
所以直线恒过定点，且定点坐标为.
49．如图，椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心为．
(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线交椭圆于两点；直线交椭圆于两点，．求证：；
(3)对于（2）中的中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）
【解析】（1）椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心，