2024年新高考数学一轮复习达标检测第51讲圆锥曲线的综合应用_定点定值问题（学生版）

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1．抛物线y2＝4x上不同两点A，B（异于原点O）若直线OA、OB斜率之和为1，则直线AB必经过定点（ ）
A．（0，2）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（﹣2，0）
2．设常数a＞0，动点M（x，y）（y≠0）分别与两个定点F1（﹣a，0），F2（a，0）的连线的斜率之积为定值λ，若动点M的轨迹是渐近线斜率为2的双曲线，则λ＝（ ）
A．﹣3B．4C．D．3
3．若动圆C的圆心在抛物线y2＝4x上，且与直线l：x＝﹣1相切，则动圆C必过一个定点，该定点坐标为（ ）
A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，2）
4．斜率为k的直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F，交抛物线于A，B两点，点P（x0，y0）为AB中点，则ky0为（ ）
A．定值B．定值p
C．定值2pD．与k有关的值
5．已知直线l与抛物线y2＝6x交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且，则直线l恒过定点（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线C上，若N（x0，0）（x0＞1）满足|MF|＝|NF|，直线l与直线MN平行且与抛物线C相切于点P，则直线MP一定过点（ ）
A．（1，0）B．（2，0）C．（1，1）D．（﹣1，0）
7．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则直线l过定点（ ）
A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（﹣1，3）D．（﹣2，0）
8．设F1（﹣c，0），F2（c，0）是双曲线的左右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是∠F1PF2的角平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|的长为（ ）
A．定值a
B．定值b
C．定值c
D．不确定，随P点位置变化而变化
9．如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点A是曲线y＝（y≤2）上的任意一点，P（0，﹣2），Q（0，2），射线QA交曲线y＝于B点，BC垂直于直线y＝3，垂足为点C．则下列判断：①|AP|﹣|AQ|为定值2；②|QB|+|BC|为定值5．其中正确的说法是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误
C．①正确，②错误D．①都错误，②正确
11．动点P在函数的图象上，以点P为圆心作圆与y轴相切，则该圆过定点 ．
12．已知点P为直线l：x＝﹣2上任意一点，过点P作抛物线y2＝2px（p＞0）的两条切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1•x2为定值，此定值为 ．
13．已知点A在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，点M、N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若，则动直线MN过定点，定点的坐标是 ．
14．已知P为椭圆上任意一点，点M，N分别在直线与上，且PM∥l2，PN∥l1，若PM2+PN2为定值，则椭圆的离心率为 ．
15．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与直线l1：y＝x，l2：y＝﹣x，过椭圆上的一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点，若|MN|为定值，则椭圆C的离心率为 ．
16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆+＝1的一个焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设P，M，N为抛物线C上的不同三点，点P（1，2），且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．
17．已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．
（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；
（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．
18．如图，已知椭圆上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2+y2﹣6x﹣2y+7＝0相切，其中a＞1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且AP⊥AQ，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标．
19．已知圆锥曲线+＝1过点A（﹣1，），且过抛物线x2＝8y的焦点B．
（1）求该圆锥曲线的标准方程；
（2）设点P在该圆锥曲线上，点D的坐标为（，0）点E的坐标为0，），直线PD与y轴交于点M，直线PE与x轴交于点N，求证：|DN|•|EM|为定值．
20．已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜5），与圆M：（x﹣5）2+y2＝16有且只有两个公共点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）经过R（2，0）的动直线l与抛物线C交于A，B两点，试问在直线y＝2上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之和为直线RQ斜率的2倍？若存在，求出定点Q；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O坐标原点，过点F的直线l与C交于A，B两点．
（1）若直线l与圆相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与x轴的交点为D，且，，试探究：λ+μ是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
[B组]—强基必备
1．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，直线l：y＝kx+m交椭圆E于不同的两点A，B，设线段AB的中点为M．
（1）求椭圆E的方程；
（2）当△AOB的面积为（其中O为坐标原点）且4k2﹣4m2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C，D，使得当直线l运动时，|MC|+|MD|为定值？若存在，求出点C，D的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
2．如图，椭圆C1：（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2＝b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M．
①求证：直线MP经过一定点；
②试问：是否存在以（m，0）为圆心，为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．