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    2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题10指数与指数函数(教师版)

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    2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题10指数与指数函数(教师版)

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    这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题10指数与指数函数(教师版),共19页。试卷主要包含了【知识梳理】,【题型归类】,【培优训练】,【强化测试】等内容,欢迎下载使用。
    【考纲要求】
    1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.
    2.通过实例,了解指数函数的实际意义,能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.
    3.理解指数函数的单调性,特殊点等性质,并能简单应用.
    【考点预测】
    1.根式的概念及性质
    (1)概念:式子eq \r(n,a)叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
    (2)①负数没有偶次方根.
    ②0的任何次方根都是0,记作eq \r(n,0)=0.
    ③(eq \r(n,a))n=a(n∈N*,且n>1).
    ④eq \r(n,an)=a(n为大于1的奇数).
    ⑤eq \r(n,an)=|a|=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a,a≥0,,-a,a0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-eq \f(m,n)=eq \f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
    3.指数幂的运算性质
    实数指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R.
    4.指数函数及其性质
    (1)概念:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
    (2)指数函数的图象与性质
    【常用结论】
    1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,a))).
    2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与00,b>0)=________.
    【解析】原式==eq \f(8,5).
    【典例2】若+=3(x>0),则=________.
    【解析】由+=3,
    两边平方,得x+x-1=7,
    再平方得x2+x-2=47,
    ∴x2+x-2-2=45.
    +=+
    =(x-1+x-1)
    =3×(7-1)=18.
    ∴=eq \f(1,3).
    【典例3】已知a>0,则化为( )
    A. B.
    C. D.
    【解析】原式==
    ==.故选B.
    【题型二】指数型复合函数的定义域和值域
    【典例1】求下列函数的定义域和值域.
    (1)y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(-|x+1|); (2)y=eq \f(2x,2x+1); (3)y=.
    【解析】(1)定义域为R.因为-|x+1|≤0,
    所以y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(-|x+1|)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(0)=1,所以值域为[1,+∞).
    (2)定义域为R.又因为y=eq \f(2x,2x+1)=1-eq \f(1,2x+1),而0<eq \f(1,2x+1)<1,所以-1<-eq \f(1,2x+1)<0,则0<y<1,所以值域为(0,1).
    (3)令-x2-3x+4≥0,解得-4≤x≤1,所以函数y=的定义域为[-4,1].设u=eq \r(-x2-3x+4)(-4≤x≤1),易得u在x=-eq \f(3,2)时取得最大值eq \f(5,2),在x=-4或1时取得最小值0,即0≤u≤eq \f(5,2).所以函数y=2u的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(20,2\s\up6(\f(5,2)))),即函数y=的值域为[1,4eq \r(2)].
    【典例2】求下列函数的定义域和值域.
    (1)y=8eq \s\up6(\f(1,2x-1)); (2)y=4x+2x+1+1; (3)y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2-6x+17).
    【解析】(1)因为2x-1≠0,所以x≠eq \f(1,2),所以原函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠\f(1,2))).
    令t=eq \f(1,2x-1),则t∈R且t≠0,所以由y=8t(t∈R,t≠0)得y>0且y≠1.
    所以,原函数的值域是{y|y>0且y≠1}.
    (2)定义域为R,因为y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且2x>0.
    所以y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>1}.
    (3)设u=x2-6x+17,由于函数u=x2-6x+17的定义域是(-∞,+∞),故y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2-6x+17)的定义域为(-∞,+∞).
    又函数u=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(u)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(8),又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(u)>0,故原函数的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,256))).
    【题型三】指数函数的图象及应用
    【典例1】(多选)已知实数a,b满足等式2 021a=2 022b,下列等式可以成立的是( )
    A.a=b=0 B.a

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