黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2024届高三下学期校二模考试数学试题及答案

这是一份黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2024届高三下学期校二模考试数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）
A．0.14B．0.62C．0.72D．0.86
2．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．“”是“为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线，，切点分别为，若，则的最大值为（ ）
A．B．3C．D．6
8．已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．的最小正周期为
C．不等式的解集为
D．将的图象向右平移个单位长度变为偶函数，则的最小值是
10．关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．若过点可以作曲线的两条切线，则
B．若在上恒成立，则实数的取值范围为
C．若在上恒成立，则
D．若函数有且只有一个零点，则实数的范围为
11．已知复数和，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是圆
B．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线
三、填空题
12．如图，正六边形的边长为1， ．
13．测量塔高AB时，选取与塔底B在同一水平内的两个测量点C与D，现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，测塔高 ．
14．已知点是等轴双曲线的左右顶点，且点是双曲线上异于一点，，则 ．
四、解答题
15．已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程.
16．中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，使我国一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国.某新能源汽车配件企业积极加大科研力度，生产效益逐步攀升.该企业在今年1月份至5月份的生产利润（单位：亿元）关于月份的数据如下表所示：
(1)试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则认为两个变量具有较强的线性相关性）
(2)为扩大生产，该企业在M大学启动了校园招聘，分别招聘A、B两个工程师岗位，两个岗位都各设有3门笔试科目.M大学的硕士毕业生张无忌决定参加这次应聘，且每门科目考试是否通过相互独立.若张无忌报考A岗位，每门笔试科目通过的概率依次为，，，其中；若张无忌报考B岗位，每门笔试科目通过的概率均为.且张无忌只能报考A，B两个岗位中的一个.若以笔试中通过科目数的数学期望为依据作出决策，得出张无忌更有希望通过A岗位的笔试，试求的取值范围.
附：参考数据：，，.
相关系数.
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，.

(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的大小为，点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知数列和满足．若为等比数列，且
(1)求与；
(2)设.记数列的前项和为．
（i）求；
（ii）求正整数，使得对任意，均有．
19．对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质．
(1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围；
(2)己知，为定义在上的奇函数，且满足；
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有．
求证：与不具有“4关联”性．
月份
1
2
3
4
5
生产利润（亿元）
2
6
8
9
10
参考答案：
1．D
【分析】
根据正态分布的性质进行计算即可.
【详解】随机变量服从正态分布，
且,
所以，
，
所以，
故选:D.
2．C
【分析】
利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】
对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
3．D
【分析】
解不等式确定集合B，求出，根据集合的子集含义以及集合的交集和并集运算，判断各选项，即得答案.
【详解】
由题意知，，
解得或，
则，，
则不是B的子集，不是的子集，，，
故选：D．
4．C
【分析】由二倍角公式、充分必要条件的定义即可得解.
【详解】因为或，
所以“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件.
故选：C.
5．C
【分析】
根据全概率公式计算可得.
【详解】设事件为“任意调查一名学生，每天玩手机超过”，事件为“任意调查一名学生，该学生近视”，
则，，
所以，
则．
故选：C
6．B
【分析】
设出关键线段长度，余弦定理构建齐次方程求解即可.
【详解】
设椭圆的焦距为，有，
在中，由余弦定理有，有，
可得，有.
在中，由余弦定理有，
可得.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
7．C
【分析】
根据题意，求得，得到，结合圆的切线的性质，得到，利用基本不等式，即可求解.
【详解】
如图所以，因为过点作圆的两条切线，可得，
由，即，
所以，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
故选：C.
8．D
【分析】
令且恒成立，根据的极值点得到矛盾，有两个不同的零点，利用三次函数性质判断单调性，进而求参数范围.
【详解】
由题意，令，
若恒成立，易知：当时，当时，
所以是的极小值点，不合题意，故有两个不同零点．
设的两个零点分别为，则，
结合三次函数的图象与性质知： ，
在、上，单调递减，在、上，单调递增，是的极大值点，符合题意，
此时需，得，所以实数的取值范围为．
故选：D.
9．ACD
【分析】
对于A，由图象得周期以及对称轴，由此即可验算；对于B，由即可举出反例；对于C，直接根据函数单调性列出不等式组即可验算；对于D，由平移变换法则结合三角函数奇偶性即可得解.
【详解】对于A，由图可知函数周期，解得，
当时，函数取最大值，
所以，解得，
又，所以，，故A正确；
对于B，由题意，
所以，故B错误；
对于C，由题意，即，
所以，解得，故C正确；
对于D，将的图象向右平移个单位长度后，
对应函数图象的解析式为，
若为偶函数，
所以，解得，
又，所以当时，，故D正确.
故选：ACD.
10．ABC
【分析】根据题意可知点在下方及轴上方，从而可对A判断；设出切点，求出切线方程，再结合题意中的几何条件，从而可对B判断；构造函数，利用导数分别可求出的单调性及最值情况，画出相应图象，从而可对C、D判断求解.
【详解】对A：由题意知可知当点在曲线的下方和轴上方才可以作出两条切线，
所以，故A正确.
对B：由在上恒成立，等价于在上横在上方，
设的切点坐标为，其切线方程为，
对应的切线经过坐标原点，将代入解得，其切线斜率，
所以实数的取值范围为，故B正确.
对C：若在上恒成立，则在时恒成立，
即，，设，，则，
当时，，当，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
当时，取到极大值也是最大值为，所以，故C正确.
对D：由C知，当时，，当时，，
当时，，
所以在区间，上单调递减，上单调递增，
当时，取到极小值，当时，取到极大值，
而时，恒成立，故可画出函数的图象如下：
要求函数的零点，即求与图象的交点个数，
所以可知或时，有且只有一个零点，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：
（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；
（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；
（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
11．AB
【分析】
根据复数模的几何意义，结合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，逐项分析判断.
【详解】
设，由，得，
若满足，表示复平面内点与点之间的距离为定值2，
则在复平面内对应点的轨迹是圆，故A选项正确；
若满足，表示复平面内点到点与的距离之和为3，
又，满足椭圆的定义，则在复平面内对应点的轨迹是椭圆，B选项正确；
若满足，表示复平面内点到点与的距离之差为2，
又，不满足双曲线的定义，C选项错误；
可化为，若满足，
表示复平面内点到点与的距离相等，
则在复平面内对应点的轨迹是直线，D选项错误.
故选：AB.
12．-1
【分析】
由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可
【详解】由正六边形性质，，
.
故答案为：-1.
13．
【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理及直角三角形边角关系计算作答.
【详解】如图，线段AB是塔，在地平面内，，，，
则有，由正弦定理得：，
直角中，，则，
所以塔高.
故答案为：
14．
【分析】
根据等轴双曲线可得，据此可得关于的正切的方程，从而可求.
【详解】
因为双曲线为等轴双曲线，故，故，
设，则，，且，
，
即，
，，
，而，故即.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】
（1）根据焦点坐标设椭圆方程，将代入椭圆方程，结合即可求解.
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，得出，再由中点坐标知，求出值，即可得到直线方程.
【详解】（1）椭圆的两个焦点分别为，
设椭圆的标准方程为，且，
则①，
又椭圆过点，所以②，联立①②解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率存在，且直线过点，
设直线的方程为，即，
设，
则，消去得，
，
所以，，
又是弦的中点，所以，解得，
故直线的方程为
16．(1)，y与x具有较强的线性相关关系
(2)
【分析】
（1）计算相关系数r，再进行判断即可；
（2）分别计算通过A，B两个岗位的科目数学期望，再比较大小判断即可.
【详解】（1）由题意，，故y与x具有较强的线性相关关系.
（2）由题意，因为每门科目考试是否通过相互独立，故张无忌通过A岗位的3门笔试门数的数学期望为，
通过B岗位的3门笔试门数的数学期望为，
故若张无忌更有希望通过A岗位的笔试，则，又，解得.
即的取值范围
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据余弦定理求出，再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可；
（2）建立合适的空间之间坐标系，求出相关法向量，根据线面角的空间向量求法即可.
【详解】（1）证明:由余弦定理得，
所以，
因此，
又因为平面，
所以面，
又因为平面，
故平面平面.
（2）由于，
所以二面角的平面角为，即，
在平面内过点作的垂线，交于，
由平面平面，且平面，平面平面，得平面，
以为坐标原点，为，，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，由于
则，即，
令，则，
所以
设直线与平面所成角为，
，
，
因此直线与平面所成角的正弦值为.

18．(1)，
(2)（i）；（ii）4
【分析】（1）根据题意，求出，得出；求得，求出；
（2）（i）由（1）利用分组求和，裂项相消法求出；（ii）由的表达式分析项的正负可得解.
【详解】（1）由题意，知，且，，又， ，
又有，得公比（舍去），
所以数列的通项公式为，
所以，
故数列的通项公式为.
（2）(i)由（1）知，，
,
所以；
（ii）因为；当时，，
而，
得，
所以当时，，
综上对任意恒有，故．
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据函数与具有“m关联”性质的定义，结合正余弦函数的性质，即可得答案.
（2）根据满足的性质，推出其对称性以及周期，可得，再结合正弦函数的性质推出，即说明不存在，使得，即可得结论.
【详解】（1）
由题意可知，
故，
则m的取值范围为；
（2）证明：因为在上，当且仅当时，取得最大值1，
且为定义在上的奇函数，
故在上当且仅当时，取得最小值-1，
由对任意，有，可知图象关于点对称，
又，即，
故2a为函数的周期，
故，
，
当时，，
时，，
若，，，此时有为最大值；
当时，，
时，，
若，，此时有为最大值，
由于，故，
即不存在，使得，
所以与不具有“4关联”性．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要理解函数与具有“m关联”性质的定义，明确其含义，继而结合定义去解决问题，特别是第2问的证明，要结合定义说明不存在，使得成立.