湖南省2024届高三下学期第一次联考（一模）数学试卷(含答案)

这是一份湖南省2024届高三下学期第一次联考（一模）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设复数,则复数(其中表示的共轭复数)表示的点在( )上
A.x轴B.y轴C.D.
2．已知角和,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知圆锥的底面圆半径为,侧面展开图是一个半圆面,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
4．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为( )
A.B.2C.D.
5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人,手拉着手围成一圈跳舞,3个小孩不相邻的站法种数是( )
A.6B.12C.18D.36
6．已知递增的等比数列,,公比为q,且,,成等差数列,则q的值为( )
A.B.C.D.
7．已知平面内的三个单位向量,,,且,,则( )
A.0B.C.D.或0
8．设方程的两根为,,则( )
A.,B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若事件A和事件B互斥,
B.数据4,7,5,6,10,2,12,8的第70百分位数为8
C.若随机变量服从,,则
D.已知y关于x的回归直线方程为,则样本点的残差为
10．设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.若,则
D.若函数在上单调递减且,则满足的x的取值范围是
11．已知体积为2的四棱锥,底面是菱形,,,则下列说法正确的是( )
A.若平面ABCD,则为
B.过点P作平面ABCD,若,则
C.PA与底面ABCD所成角的最小值为
D.若点P仅在平面ABCD的一侧,且,则P点轨迹长度为
三、填空题
12．已知关于x的不等式的解集为M,且,则实数a的取值范围是______.
13．已知抛物线的弦的中点的横坐标为2,则弦AB的最大值为______.
14．已知,,则______,______.
四、解答题
15．在如图所示的中,有.
（1）求的大小;
（2）直线绕点C顺时针旋转与AB的延长线交于点D,若为锐角三角形,,求CD长度的取值范围.
16．已知椭圆的右顶点为A,左焦点为F,椭圆W上的点到F的最大距离是短半轴长的倍,且椭圆W过点.记坐标原点为O,圆E过O,A两点且与直线相交于两个不同的点P,Q(P,Q在第一象限,且P在Q的上方),,直线QA与椭圆W相交于另一个点B.
（1）求椭圆W的方程;
（2）求的面积.
17．如图,在四棱锥中,,,,,,平面平面ABCD,.
（1）证明:平面PCD;
（2）若点Q是线段PC的中点,M是直线AQ上的一点,N是直线PD上的一点,是否存在点M,N使得?请说明理由.
18．已知函数的导数为.
（1）若恒成立,求实数k的取值范围;
（2）函数的图象上是否存在三个不同的点,,(其中且,,成等比数列),使直线AC的斜率等于?请说明理由.
19．2023年10月11日,中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”,求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态,量子计算机的量子比特(qubit)可同时处于0与1的叠加态,故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特,且自旋状态只有上旋与下旋两种状态,其中下旋表示“0”,上旋表示“1”,粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后,粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋,再输入第二道逻辑门后,粒子的自旋状态有p的概率发生改变,记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X.
（1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2,且,求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率;
（2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥,记这些情况发生的概率分别为,,…,,则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H;
（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门,当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入,否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子,设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y(,2,3,…,n,…).证明:当n无限增大时,Y的数学期望趋近于一个常数.
参考公式:时,,.
参考答案
1．答案：C
解析：,所以对应的点在直线上.
2．答案：D
解析：当时,,没有意义,所以由推不出,
当时,,所以由推不出,
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
3．答案：C
解析：设圆锥的底面半径为r,母线为l,
由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面,则,
所以,
所以圆锥的高,
圆锥的体积为.
4．答案：A
解析：因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为,,
所以该渐近线的方程为,所以,
解得或(舍去),所以,
此双曲线的右焦点坐标为,
到一条渐近线的距离为.
5．答案：B
解析：.
6．答案：A
解析：由题意知,即,又数列递增,,所以,且,解得.
7．答案：D
解析：如图,,,(或),
由得,又,所以,
由得,又,所以,
(或,又,所以)
所以,夹角为或,所以或0.
8．答案：C
解析：由题意得,,由得,
令,则,,,
由,得,,故A错;
由得,
由,得,所以,故C对,B错,
由,,所以,D错误.
9．答案：BCD
解析：对于A,若事件A和事件B互斥,,未必有,A错;对于B,对数据从小到大重新排序,即:2,4,5,6,7,8,10,12,共8个数字,
由,得这组数据的第70百分位数为第6个数8,B正确;
对于C,因为变量服从,且,则,故C正确;
对于D,由,得样本点的残差为,故D正确;故选BCD.
10．答案：ACD
解析：令,则,因为是奇函数,是偶函数,所以,,所以,所以是奇函数,A正确;
同样,令,则,所以是奇函数,B错误;
令代入,则,又,,所以,C正确;
因为为奇函数,又,所以,
由于在上单调递减,要使成立,则,所以,D正确.
11．答案：BCD
解析：,则当平面ABCD时,,则,即为或,A错误;
如图1,若平面ABCD,则,又,
则平面PAO,有,又,
所以平面PAC,,B正确;
设PA与底面ABCD所成角为,又,
则,因为,则,
则PA与底面ABCD所成角的最小值为,C正确;
如图2,当,
根据,得,即P点到底面ABCD的距离为,过A点作底面的垂线为l,过点P作交l于点O,则,点P的轨迹是以O为圆心,为半径的圆,轨迹长度为,D正确.
12．答案：
解析：且,所以,所以.
13．答案：5
解析：方法一:当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为,代入得或,所以;
当直线AB的斜率存在时,显然不为零,设直线的方程为,
代入消y并整理得,
设,,判别式时有
因为弦AB的中点的横坐标为2,所以,所以,
,
所以,
当且仅当即时取到等号,
故弦AB的最大值为5.
方法二:设抛物线的焦点为F,则,
又,
当弦AB的中点的横坐标为2时,有,所以,
当直线过焦点F时取到等号,故弦AB的最大值为5.
14．答案：,
解析：由得,则,
由得,则,
所以,
.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）方法一:由得,两边同时平方可得:,由整理得,解得或,
又,则.
方法二:,则,
得或,又,则,.
（2）由（1）得,则,由题可知,则,
设,则,
由余弦定理有,所以,
由正弦定理有,
所以,
因为为锐角三角形,则得,
所以,则,
所以,
即CD的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题有,又,所以,
所以椭圆W的方程为,
又点在椭圆W上,所以,
解得,
所以椭圆W的方程为.
（2）设,,,,,
因为,所以,①
圆E过点O与A且与直线相交于两个不同的点P,Q,则圆心E的坐标为,
又,所以,
解得,②
(另法一:设直线与x轴交于点G,则有,
又,,所以,②
另法二:由知,,,②)
由①②解得,,
所以,,
所以直线QA的方程为,
与椭圆方程联立消去y得,
解得B点的横坐标,
所以,
又O到直线QA的距离,
所以的面积.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）如图,取CD的中点O,因为,则,
因为平面平面ABCD,平面平面,平面PCD,
所以平面ABCD,
又平面ABCD,
所以,又,平面PCD,平面PCD,,
所以平面PCD.
（2）因为,O为CD的中点,,所以,
过点O作交AB于点E,则由平面可得,则以O为原点,OE,OC,OP分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
所以,,,
设与,都重直的向量为,则得,
令,则,
设直线与直线的距离为d,
则,
则不存在点M和N使得.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）恒成立即恒成立,
又,所以恒成立,
今,所以,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
所以当时,取到极小值也是最小值,且,
所以,
故实数k的取值范围为.
（2）,,成等比数列且,设公比为,则,,
求导得,所以,
直线的斜率为,
若存在不同的三点A,B,C,使直线的斜率等于,
则有,
整理成.
令,则,
所以在时单调递增,而,
故方程在时无实数解,
所以不存在不同的三点A,B,C,使直线的斜率等于.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i个”,,1,2,
“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个”,
则,,
,,,
则,
故.
（2）由题知,1,2,
由（1）知,
同理可得,
则,
故X的信息熵.
（3）由题知,其中,2,3,…,
则,
又,
则,①
,②
得:
,
由题知,当n无限增大时,趋近于零,趋近于零,则趋近于.
所以当n无限增大时,Y的数学期望䞨近于一个常数.