安徽省阜阳市阜阳一中2023-2024学年高二下学期开学检测数学试卷(含答案)

这是一份安徽省阜阳市阜阳一中2023-2024学年高二下学期开学检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在等差数列中,,则数列的前14项和为( )
A.55B.60C.65D.70
2．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5,则实数m的值是( )
A.B.2C.4D.8
3．已知直线与直线,若直线与直线的夹角是,则k的值为( )
A.或0B.或0C.D.
4．若函数在处有极值,则实数( )
A.B.2C.1D.
5．已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
6．已知椭圆与抛物线有相同的焦点F,点A是两曲线的一个公共点,且轴,则椭圆的离心率是( )
A.B.C.D.
7．已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,但任意三点不共线.如果,则m的值为( )
A.B.C.1D.2
8．已知,函数在点处的切线均经过坐标原点,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知数列满足,则下列结论正确的有( )
A.为等比数列
B.的通项公式为
C.为递增数列
D.的前n项和
10．如图,已知正方体的棱长为2,点M为的中点,点P为正方形上的动点,则( )
A.满足平面的点P的轨迹长度为
B.满足的点P的轨迹长度为
C.存在唯一的点P满足
D.存在点P满足
11．已知函数,满足有三个不同的实数根,,,则( )
A.若,则实数b的取值范围是
B.过轴正半轴上任意一点仅有一条与函数相切的直线
C.
D.若,,成等差数列,则
三、填空题
12．已知数列的首项为,,则________.
13．已知函数.若在上恒成立,则a的取值范围为________.
14．已知点是抛物线与椭圆的公共焦点,是椭圆的另一焦点,P是抛物线上的动点,当取得最小值时,点P恰好在椭圆上,则椭圆的离心率为________.
四、解答题
15．已知圆过点和,且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程;
（2）经过点的直线l与圆C相切,求l的方程.
16．设为数列的前项和,已知是首项为,公差为的等差数列.
（1）求的通项公式;
（2）令,为数列的前n项积,证明:.
17．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,.
（1）证明:;
（2）点E在线段PC上,当直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为时,求平面ABE与平面PBC的夹角的余弦值.
18．已知双曲线(,)的左焦点F到其渐近线的距离为,点在C上.
（1）求C的标准方程;
（2）若直线l与C交于M,N(不与点重合)两点,记直线AM,AN,l的斜率分别为,,k,且,是否存在值,使得.若存在,求出k的值和直线l的方程;若不存在,请说明理由.
19．若函数在上有定义,且对于任意不同的,,都有,则称为上的“k类函数”.
（1）若,判断是否为上的“3类函数”;
（2）若为上的“2类函数”,求实数a的取值范围;
（3）若为上的“2类函数”,且,证明:,,.
参考答案
1．答案：D
解析：由等差数列的性质可知,,
根据等差数列前n项和公式:
,
故选:D.
2．答案：C
解析：抛物线的准线方程为:,因为M到焦点距离为5,所以M到准线的距离,即,则抛物线方程为.将代入得:,因为,所以.
故选:C.
3．答案：A
解析：直线的斜率为,所以倾斜角为.
要使直线与直线的夹角是,
只需直线的倾斜角为或,
所以k的值为0或.
故选:A
4．答案：D
解析：因为,,在处有极值,
所以,所以,解得.
经检验当时,,
当或时,;当时,,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
函数在处有极大值,满足题意.
故选:D
5．答案：B
解析：由已知可得,,,
所以,向量在向量上的投影向量是.
故选:B.
6．答案：C
解析：易知点或,所以,,即,
将代入抛物线方程可得,则,
设椭圆的下焦点为,因为轴,则,
由椭圆的定义可得,
所以,椭圆的离心率为.
故选:C.
7．答案：A
解析：因为,
所以由
得,
即,
因为O为空间任意一点,A,B,C,P满足任意三点不共线,且四点共面,
所以,故.
故选:A.
8．答案：C
解析：由题意知,,则,
所以曲线在点,,处的切线方程分别为
,,,
因为切线均过原点,所以,,,
即,,,得,故AB错误;
由,得,画出函数与图象,如图,
设,,,如上图易知:,,
由正切函数图象性质,得,即,
又,,所以,
即,解得,故C正确,D错误.
故选:C
9．答案：ABD
解析：因为,,
所以+3,所以,
又因为,
所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,故A正确;
,即,故B正确;
因为,
因为,所以,
所以,所以为递减数列,故C错误;
,
则,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：AC
解析：对于A,取的中点Q,的中点N,又点M为的中点,
由正方体的性质知,,,,
所以平面平面,又平面MQN,平面,
故点P的轨迹为线段,故A正确;
以D为原点,分别以DA,DC,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,设,且,,
,,
对于B,,即,
又,,则点P的轨迹为线段,,
且,故B错误;
对于C,
显然,只有时,,即,故存在唯一的点P满足,故C正确;
对于D,点M关于平面的对称点的为,三点共线时线段和最短,
故,故不存在点P满足,故D错误.
故选:AC
11．答案：ABD
解析：因为,
所以在和上单调递增,在上单调递减,且,,
所以,当有三个不同的实数根,,时,,故A正确,
关于点中心对称,
所以在此点处的切线方程为,
结合图象可知:当且仅当时,符合题意,所以B正确,
由于方程有三个根,,,
所以,展开可知,C不正确;
由展开可知,
当成等差数列时,所以,
在中,令,得,
所以,D正确.
故选:ABD.
12．答案：81
解析：由得,,
于是,即.
所以数列中,各个奇数项,,…构成首项为1,公比为3的等比数列,
同理,各个偶数项也构成首项为3,公比为3的等比数列,即.
所以.
故答案为:81.
13．答案：
解析：在上恒成立,且,
故,.
当时,在上恒成立,即在上为增函数,
所以,,合乎题意;
当时,由,可得;当时,可得.
即在上为减函数,在上为增函数,
所以,,
又因为,所以,不合乎题意.
综上所述,.
故答案为:.
14．答案：
解析：抛物线的焦点坐标为,准线方程为,
过向抛物线的准线作垂线PM,则,所以,
显然当直线与抛物线相切时,最小,即取得最小值,
设直线的方程为,代入可得,
令,可得,
不妨设P在第一象限,则,所以,即,
因为P在椭圆上,且为椭圆的焦点,
所以,解得或(舍去),
所以,所以离心率为.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设圆C的方程为,
根据题意,可得,解得,
所以圆的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,符合题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,
由圆心到直线的距离等于圆的半径,可得,解得,
则直线l的方程为,即.
故直线l的方程为或.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由是首项为,公差为的等差数列,
故,
即,
当时,,
故
,
当时,,符合上式,
故;
（2）由,,
故,
则
,
由,
故,
则.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图:
由于平面平面ABCD,平面平面,
过点P作CD的垂线交CD的延长线于点O,则平面ABCD.
连接OB交AD于Q,连接OA,
,,
,,
又,,
四边形ABCO为矩形,
,,
,,
又,
,即,
又平面ABCD,平面ABCD,
,又,PO,平面,
平面,又平面,
.
（2）以O为坐标原点,OA,OC,OP所在直线分別为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
由于E在PC上,设,
则,,
又平面ABCD的法向量,设直线AE与平面ABCD所成角为,
,
解得或(舍去),
,,,,
设平面ABE的法向共,平而PBC的法向共,
则,,即,,
取,得,,
,
故平面ABE与平面PBC夹角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）;直线为
解析：（1）由双曲线可得,渐近线方程为:,
则有,化简得,又在上,
即,即,故:;
（2）由题意可知直线l的斜率存在且斜率为k,
设直线l为,,,
联立直线与双曲线,消去y可得,
则有且,
即且,
有,,
由,故,,
则
,
即有,即,
故或,
当时,直线l为,过点,故舍去,
当时,直线l为,
由,,则线段MN中点P为,
,,
即,由,,,
故有,即,解得,
故,则直线l为,
即存在,使得,此时直线l的方程为.
19．答案：（1）是上的“3类函数”,理由见详解.
（2）
（3）证明过程见详解.
解析：（1）对于任意不同的,,
有,,所以,
,
所以是上的“3类函数”.
（2）因为,
由题意知,对于任意不同的,,都有,
不妨设,则,
故且,
故为上的增函数,为上的减函数,
故任意,都有,
由可转化为,令,只需
,令,在单调递减,
所以,,故在单调递减,
,
由可转化为,令,只需
,令,在单调递减,
且,,所以使,即,
即,
当时,,,故在单调递增,
当时,,,故在单调递减,
,
故.
（3）因为为上的“2类函数”,所以,
不妨设,
当时,;
当时,因为,
,
综上所述,,,.