2023-2024学年重庆市合川区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年重庆市合川区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中有稳定性的是( )
A. 平行四边形B. 正方形C. 长方形D. 直角三角形
2.分式4xy2y2约分结果正确的是( )
A. 2xyy2B. x2yC. 2xyD. 2y
3.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a5C. a6a2=a3D. (a3)4(a4)3=1
4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BAD，则能说明△ABC≌△ADC的依据是( )
A. SSSB. ASAC. SASD. AAS
5.甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，设甲的速度为xkm/min，则可列方程为( )
A. 6x−20=304xB. 10x−20=184xC. 10x+20=184xD. 6x+20=304x
6.如图，AD⊥BC，AB=AC，点C在线段AE的垂直平分线上且点B，C，E三点共线，连接CE，若AB=3，BC=4，则线段DE的长度为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
7.将6a2b(x−y)2+8ab2(x−y)3因式分解，应提取的公因式是( )
A. 2ab(x−y)2B. 48ab(x−y)2C. 48ab(x−y)3D. 2ab(x−y)3
8.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AD=BD，若∠BAC=80∘，∠C=60∘，则∠ADB的度数为( )
A. 80∘
B. 100∘
C. 110∘
D. 140∘
9.如图，在△ABC中，∠BAC=60∘，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上A′处，下列结论正确的是( )
A. ∠1+∠2=∠B+∠C
B. ∠1+∠2>∠B+∠C
C. ∠1+∠2<∠B+∠C
D. 无法判断∠1+∠2与∠B+∠C的大小关系
10.如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=BC，AE=DE，∠BCD+∠CDE=230∘，点P，Q分别在边BC，DE上，连接AP，AQ，PQ，当△APQ的周长最小时，∠PAQ的度数为( )
A. 50∘B. 80∘C. 100∘D. 130∘
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.计算：(−3m3)3=______.
12.六边形的内角和的度数是______.
13.方程2x−1=8x2−1的解为______.
14.如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=60∘，BC=3，则AB边的长度为______.
15.如图，D为∠BAC平分线上一点，E，F分别在AB，AC上，DE=DF，且∠AED≠∠AFD，若∠AED=115∘，则∠AFD的度数为______.
16.因式分解：4(m−n)2−(m+n)2=______.
17.如图，在△ABC与△CDE中，AC=CE，AB//DE，∠ACB=∠CED，若BD=2，DE=6，则AB的长为______.
18.对于一个三位数N，若其百位数字与个位数字之和等于十位上的数字，则称数N为“优选数”.例如：数132，∵1+2=3，∴132是“优选数”，数246，∵2+6≠4，∴246不是“优选数”，则最大的“优选数”为______；若“优选数” N的个位数字不为零，将其百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为N′，若N+N′9为完全平方数，则满足条件的N的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解下列方程：
(1)12x=2x+3；
(2)2x2x−5−22x+5=1.
20.(本小题10分)
△ABC在网格坐标系中的位置如图所示，请完成下列问题：
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)将△A1B1C1向下平移3个单位，得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标.
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD是高，AE，CF是角平分线，AE与CF交于点G.
(1)若∠BAC=60∘，∠B=50∘，求∠DAE的度数；
(2)若∠B=50∘，求∠EGF的度数.
22.(本小题10分)
(1)计算：[m(m2n2−mn)−n(m2−m3n)]÷2m2n；
(2)分解因式：25−x2+14xy−49y2.
23.(本小题10分)
某大型包裹分拣中心采用人工分拣和机器自动化分拣对包裹进行分拣.
(1)已知一条人工分拣流水线5分钟分拣的包裹与一条自动分拣流水线3分钟分拣的包裹总量为210件，一条人工分拣流水线3分钟分拣的包裹与一条自动分拣流水线6分钟分拣的包裹总量为315件.求一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹各多少件？
(2)随着智能化发展，该包裹分拣中心将人工分拣流水线更换为智能分拣流水线，其每分钟平均分拣的包裹数量是自动分拣流水线的4倍，分拣完1500件包裹，一条智能分拣流水线比一条自动分拣流水线少用25分钟，求一条机器自动分拣流水线与一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹各多少件？
24.(本小题10分)
命题：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的高分别相等，那么这两个三角形全等，上述命题是一个几何真命题.将其改写成已知、求证的形式，画出图形(如图)，请根据该真命题的内容完成下述填空并给出完整的证明过程.
已知：如图，在△ABC与△DEF中，AB=DE，BC=EF，AM，DN分别为BC边、EF边上的高，______.
求证：______.
25.(本小题10分)
解决下列问题：
(1)已知x+y=5，(x−y)2=81，分别求xy和x2+y2的值；
(2)若(2024−x)2+(x−2010)2=1936，求(2024−x)(x−2010)的值.
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30∘，D为BC边的中点，E为AB边上任意一点.(不与点A，B重合)
(1)如图1，若∠ADE=30∘，试猜想线段DE与BD的数量关系并说明理由；
(2)如图2，F为AC边上一点(不与点A，C重合)，且满足∠EDF=60∘，求证：BE=AF+AD；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接EF，作与△AEF关于直线AC对称的△AE′F，点E的对应点为E′，过点C作CM⊥AB交BA的延长线于点M，连接E′M，FM，求证：△E′FM是等边三角形.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．
故选：D.
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．
2.【答案】C
【解析】解：4xy2y2=4y⋅x2y⋅y=2xy.
故选：C.
依据分式的性质约分即可．
本题考查了分式的约分；由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
3.【答案】D
【解析】解：a2⋅a3=a5，则A不符合题意；
(a2)3=a6，则B不符合题意；
a6a2=a4，则C不符合题意；
(a3)4(a4)3=a12a12=1，则D符合题意；
故选：D.
利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则将各式计算后进行判断即可．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】证明∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴说明△ABC≌△ADC的依据是SAS.
故选：C.
由角平分线定义得到∠BAC=∠DAC，由SAS推出△ABC≌△ADC.
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS.
5.【答案】D
【解析】解：设甲的速度为xkm/min，则，则乙的速度为43xkm/min，则．
根据题意，得104x3−6x=20.
整理，得6x+20=304x
故选：D.
求的是速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：甲比乙提前20分钟到达目的地．等量关系为：乙走10千米用的时间-甲走6千米用的时间=20分钟．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AD⊥BC，AB=AC=3，
∴BD=CD=12BC=2，
∵点C在线段AE的垂直平分线上，
∴CE=AC=3，
∴DE=CD+CE=2+3=5，
故选：B.
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：将6a2b(x−y)2+8ab2(x−y)3因式分解，应提取的公因式是2ab(x−y)2.
故选：A.
根据公因式的定义即可求得答案．
本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=80∘，∠C=60∘，
∴∠B=180∘−∠C−∠BAC=40∘，
∵DA=DB，
∴∠B=∠BAD=40∘，
∴∠ADB=180∘−∠B−∠BAD=100∘，
故选：B.
先利用三角形内角和定理求出∠B=40∘，然后利用等腰三角形的性质可得∠B=∠BAD=40∘，再利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵∠BAC=60∘，
∴∠B+∠C=∠ADE+∠AED=180∘−60∘=120∘，
∵将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上A′处，
∴∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∴∠A′DE+∠A′ED=∠ADE+∠AED=120∘，
∴∠1+∠2=360∘−(∠A′DE+∠A′ED)−(∠ADE+∠AED)=360∘−120∘−120∘=120∘，
∴∠1+∠2=∠B+∠C.
故选：A.
先根据三角形内角和定理得出∠B+∠C=∠ADE+∠AED=180∘−60∘=120∘，再由图形翻折变换的性质得出∠A′DE+∠A′ED=∠ADE+∠AED，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理及翻折变换，熟知三角形内角和是180∘是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠ABC=∠AED=90∘，
∵∠BCD+∠CDE=230∘，
∴∠BAE=(5−2)×180∘−90∘−90∘−230∘=130∘，
作A关于BC和ED的对称点A′，A′′，连接A′A′′交BC于P，交ED于Q，则A′A′′即为△APQ的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠BAE=130∘，
∴∠HAA′=50∘，
∴∠A′+∠A′′=∠HAA′=50∘，
∵∠A′=∠MAA′，∠NAE=∠A′′，
且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAE+∠A′′=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A′′=2(∠A′+∠A′′)=2×50∘=100∘，
故选：C.
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A′′，即可得出∠AA′M+∠A′′=∠HAA′=60∘，进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A′′)即可得出答案．
此题主要考查了轴对称-最短路径问题，等腰三角形的性质等知识，根据已知得出P，Q的位置是解题关键．
11.【答案】−27m9
【解析】解：(−3m3)=−27m9，
故答案为：−27m9.
积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此计算即可．
本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．
12.【答案】720∘
【解析】解：六边形的内角和的度数是(6−2)×180∘=720∘.
故答案为：720∘.
根据多边形的内角和公式可得答案．
本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
13.【答案】x=3
【解析】解：原方程去分母得：2(x+1)=8，
则x+1=4，
解得：x=3，
经检验，x=3是分式方程的解，
故原方程的解为x=3，
故答案为：x=3.
利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：∵∠A=30∘，∠B=60∘，
∴∠C=90∘，
∴sinA=BCAB，
∴AB=3sin30∘=312=6.
故答案为：6.
先根据三角形内角和计算出∠C=90∘，然后根据30度的正弦求AB的长．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
15.【答案】65∘
【解析】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，DN⊥AB于N，
又∵AD平分∠BAC，
∴DN=DH，
在Rt△DEN和Rt△DCH中，
DE=DCDN=DH，
∴Rt△DEN≌Rt△DCH(HL)，
∴∠DFH=∠DEN，
∵∠AED=115∘，
∴∠DEN=65∘=∠DFH，
故答案为：65∘.
由“HL”可证Rt△DEN≌Rt△DCH，可得∠DFH=∠DEN，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
16.【答案】(3m−n)(m−3n)
【解析】解：原式=[2(m−n)+(m+n)][2(m−n)−(m+n)]
=(3m−n)(m−3n).
故答案为：(3m−n)(m−3n).
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
17.【答案】4
【解析】解：∵AB//DE，
∴∠B=∠CDE，
在△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠CED∠B=∠CDEAC=CE，
∴△ABC≌△CDE(AAS)，
∴BC=DE=6，AB=CD，
∵BD=2，
∴CD=BC−BD=6−2=4，
∴AB=4，
故答案为：4.
由AB//DE，得∠B=∠CDE，而∠ACB=∠CDE，AC=CE，即可根据“AAS”证明△ABC≌△CDE，得BC=DE=6，AB=CD，因为BD=2，所以AB=CD=BC−BD=4，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABC≌△CDE是解题的关键．
18.【答案】990 198
【解析】解：∵要求最大的三位“优选数”，
∴百位和十位应该选9.
∵百位数字与个位数字之和等于十位上的数字，
∴个位数字为0.
∴最大的“优选数”为：9×100+9×10+0=990；
∵N要取最小值，
∴百位数字可选1.
设个位数字为x，
∴十位数字为x+1.
∴N=1×100+10(x+1)+x=11x+110；
∴N′=x×100+10(x+1)+1=110x+11.
∴N+N′9=121x+1219=1219(x+1)=1129×(x+1).
∵N+N′9为完全平方数，
∴x+1应该是9的倍数．
∴x最小可取8.
∴N=11x+110=198.
故答案为：990，198.
要求最大的三位“优选数”，那么百位数字和十位数字应该选9，根据百位数字与个位数字之和等于十位上的数字，可得个位数字为0，那么可得最大的“优选数”；N要取最小值，那么百位数字可选1，可设个位数字为x，那么十位数字为x+1，再得到N′，然后根据N+N′9为完全平方数，判断出x的最小值然后即可得到N的最小值．
本题考查新定义下的因式分解的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)12x=2x+3
方程两边乘2x(x+3)，得x+3=4x，
解得x=1，
检验：当x=1时，2x(x+3)≠0，
∴原分式方程的解为x=1.
(2)2x2x−5−22x+5=1
方程两边乘(2x−5)(2x+5)，
得2x(2x+5)−2(2x−5)=(2x−5)(2x+5).
解得x=−356.
检验：当x=−356时，(2x−5)(2x+5)≠0.
∴原分式方程的解为x=−356.
【解析】(1)方程的两边都乘以2x(x+3)，得出x+3=4x，求出这个整式方程的解，再代入2x(x+3)进行检验即可；
(2)方程的两边都乘以(2x+5)(2x−5)，得出2x(2x+5)−2(2x−5)=(2x+5)(2x−5)，求出这个整式方程的解，再代入(2x+5)(2x−5)进行检验即可．
本题考查了分式方程的解法．掌握把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
A1(3,2)，B1(4,1)，C1(1,−1).
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
A2(3,−1)，B2(4,−2)，C2(1,−4).
【解析】(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
(2)根据平移的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图-轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵∠BAC=60∘，∠B=50∘，
∴∠ACB=180∘−(∠BAC+∠B)=180∘−(60∘+50∘)=70∘，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=12∠BAC=30∘.
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90∘.
∴∠CAD=90∘−70∘=20∘.
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=30∘−20∘=10∘；
(2)∵AE，CF是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=12∠BAC,∠ACF=12∠ACB.
∴∠CAE+∠ACF=12(∠BAC+∠ACB)=12(180∘−∠B)=65∘
在△ACG中，∠AGC=180∘−(∠CAE+∠ACF)=115∘.
∴∠EGF=115∘.
【解析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由角平分线的性质得出∠CAE的度数，由直角三角形的性质得出∠CAD的度数，进而可得出结论；
(2)先由角平分线的定义得出∠CAE与∠ACF的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180∘是解题的关键．
22.【答案】解：(1)[m(m2n2−mn)−n(m2−m3n)]÷2m2n
=(m3n2−m2n−m2n+m3n2)÷2m2n
=−2m2n÷2m2n
=−1；
(2)25−x2+14xy−49y2
=25−(x2−14xy+49y2)
=25−(x−7y)2
=(5+x−7y)(5−x+7y).
【解析】(1)先利用单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
(2)把第一项作为一组，后三项作为另一组，先利用完全平方公式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了整式的混合运算，整式的除法，单项式乘多项式，因式分解-分组分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设一条人工分拣流水线每分钟平均分拣包裹x件，一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹y件，
根据题意得：5x+3y=2103x+6y=315，
解得：x=15y=45.
答：一条人工分拣流水线每分钟平均分拣包裹15件，一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹45件；
(2)设一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹m件，则一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹4m件，
根据题意得：1500m−15004m=25，
解得：m=45，
经检验，m=45是所列方程的解，且符合题意，
∴4m=4×45=180(件).
答：一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹45件，一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹180件．
【解析】(1)设一条人工分拣流水线每分钟平均分拣包裹x件，一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹y件，根据“一条人工分拣流水线5分钟分拣的包裹与一条自动分拣流水线3分钟分拣的包裹总量为210件，一条人工分拣流水线3分钟分拣的包裹与一条自动分拣流水线6分钟分拣的包裹总量为315件”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹m件，则一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹4m件，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合分拣完1500件包裹一条智能分拣流水线比一条自动分拣流水线少用25分钟，可列出关于m的分式方程，解之经检验后可得出一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹的数量，再将其代入4m中，即可求出一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹的数量．
本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
24.【答案】AM=DN△ABC≌△DEF
【解析】已知：如图，在△ABC与△DEF中，AB=DE，BC=EF，AM，DN分别为BC边、EF边上的高，AM=DN.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AM，DN分别为BC边、EF边上的高，
∴∠AMB=∠ANE=90∘.
在Rt△ABM与Rt△DEN中，
AB=DEAM=DN，
∴Rt△ABM≌Rt△DEN(HL).
∴∠ABC=∠DEF.
在△ABC与△DEF中，
AB=DE∠ABC=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
根据题意写出已知和求证，利用HL定理证明Rt△ABM≌Rt△DEN，根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠DEF，利用SAS定理证明△ABC≌△DEF.
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵x+y=5，
∴x2+2xy+y2=25①，
∵(x−y)2=81，
∴x2−2xy+y2=81②，
①+②得，x2+y2=53；
①-②得，xy=−14，
∴xy的值为−14，x2+y2的值为53；
(2)∵(2024−x)+(x−2010)=14，
∴[(2024−x)+(x−2010)]2=(2024−x)2+2(2024−x)(x−2010)+(x−2010)2=196，
∵(2024−x)2+(x−2010)2=1936，
∴1936+2(2024−x)(x−2010)=196，
∴(2024−x)(x−2010)=−870，
∴(2024−x)(x−2010)的值为−870.
【解析】(1)由x+y=5，得x2+2xy+y2=25①，而(x−y)2=81，有x2−2xy+y2=81②，①+②得，x2+y2=53；①-②得，xy=−14；
(2)由(2024−x)+(x−2010)=14，得[(2024−x)+(x−2010)]2=(2024−x)2+2(2024−x)(x−2010)+(x−2010)2=196，故1936+2(2024−x)(x−2010)=196，可解得(2024−x)(x−2010)的值为−870.
本题考查整式化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
26.【答案】(1)解：猜想，DE=12BD；
理由：∵AB=AC，∠ABC=30∘，
∴∠BAC=120∘，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=12∠BAC=60∘，
∴∠ADB=90∘，
又∵∠ADE=30∘，
∴∠BDE=60∘，
∵∠BED=90∘，
∴DE=12BD；
(2)证明：取AB中点G，连接DG，如图，
由(1)可知∠BAD=∠CAD=12∠BAC=60∘，∠ADB=90∘，
又∵∠ABC=30∘，
∴AD=12AB，
∵G为AB的中点，
∴AD=BG=AG，
∴△ADG为等边三角形，
∴∠AGD=60∘，
∵∠EDF=60∘，
∴∠EDG=∠FDA，
在△GDE与△ADF中，
∠EGD=∠FAD=60∘GD=AD∠EDG=∠FDA，
∴△GDE≌△ADF(ASA)，
∴GE=AF，
∴BE=BG+GE=AD+AF；
(3)证明：∵△AEF与△AE′F关于直线AC轴对称，∠EAF=120∘，
∴∠E′AF=∠EAF=120∘，
∴∠EAE′=120∘，
又∵∠EAD=60∘，
∴∠EAD+∠E′AE=180∘，
∴∠E′AD为平角．
∴∠E′AM=∠EAD，
∵∠BCM=60∘，∠ACD=30∘，
∴∠ACM=30∘.
∴AC平分∠DCM，
∵AD⊥CD，AM⊥CM，
∴AD=AM，
在△AED与△AE′M中，
∠AE=AE′∠EAD=∠E′AMAD=AM，
∴△AED≌△AE′M(SAS)，
∴ED=E′M，
由(2)可得，ED=FD，
又∵∠EDF=60∘，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF=E′M，
∵∠CBM=30∘，
∴CM=12BC=CD，
在△CDF与△CMF中，
CD=CM∠DCF=∠MCFCF=CF，
∴△CDF≌△CMF(SAS)，
∴DF=MF，
∴MF=E′F=E′M，
∴△E′FM是等边三角形．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠BAC=120∘，求得AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=12∠BAC=60∘，根据直角三角形的性质即可得到结论；
(2)证明：取AB中点G，连接DG，如图，由(1)可知∠BAD=∠CAD=12∠BAC=60∘，∠ADB=90∘，根据等边三角形的判定定理得到△ADG为等边三角形，求得∠AGD=60∘，根据全等三角形的性质得到GE=AF，于是得到BE=BG+GE=AD+AF；
(3)根据轴对称的性质得到∠E′AF=120∘，求得∠EAE′=360∘−(∠EAF+∠E′AF)=120∘，求得∠E′AM=∠EAD，由题意可知∠BCM=60∘，又∠ACD=30∘，根据角平分线的性质得到AD=AM，根据全等三角形的性质得到ED=E′M，由(2)可得，ED=FD，根据等边三角形的性质得到EF=E′M，求得CM=12BC=CD根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定定理即可得到结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．