2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验学校八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验学校八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数.下列各数中，属于无理数的是( )
A. −23B. 0C. 3D. 1.5
2.在平面直角坐标系中，点P(8,−5)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4B. 3， 4， 5C. 13，14，15D. 0.3，0.4，0.5
4.下列命题中，假命题是( )
A. 相等的角是对顶角B. 三角形内角和为180∘
C. 实数和数轴上点是一一对应的D. 两条直线平行，同旁内角互补
5.甲、乙两人在相同的条件下做投篮训练，他们各投了5组，每组10次，两人投中的平均数为x甲−=x乙−=7，方差s甲2=3.2，s乙2=2；则投篮的命中率较稳定的是( )
A. 两人一样稳定B. 甲C. 乙D. 无法判断
6.已知一次函数y=kx+2(k>0)，则该函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.已知直线a//b，将一块含30∘角的直角三角板(∠BAC=30∘,∠ACB=90∘)按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=20∘，则∠2的度数是( )
A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘
8.我国古代数学专著《孙子算经》中记载了一道题，“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一，大马小马各几何？”(大意是，100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马？有多少匹小马？)设有大马x匹，小马y匹，根据题意列方程组正确的是( )
A. 3x+y=100x+13y=100B. x+y=1003x+13y=100
C. 3x+3y=1003x+13y=100D. x+y=10013x+y=100
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.27的立方根是______，9的平方根是______.
10.若式子 x−10在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=50∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是______.
12.如图，直线y=ax+3与直线y=mx都经过点A(−1,2)，则关于x，y的方程组y=ax+3mx−y=0的解是______.
13.图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的.如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=…A7A8=1，那么OA8的长为______.
14.比较大小：3 5______5 3.
15.关于x，y的方程组2x−y=34ax+by=22与2x+y=5ax−by=8有相同的解，则2a−b的值为______.
16.定义：对于给定的一次函数y=ax+b(a、b为常数，且a≠0)，把形如y=ax+b(x≥0)−ax+b(x<0)的函数称为一次函数y=ax+b的“新生函数”.已知一次函数y=−4x+1，若点P(−2,m)在这个一次函数的“新生函数”图象上，则m的值是______；若点Q(n,−3)在这个一次函数的“新生函数”图象上，则n的值是______.
17.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，BC= 2+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为______.
18.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=45∘，D、E两点分别是边AC、AB上的动点，且BE=2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转45∘得到线段DF，连接BF，若BC=6，则线段BF长度的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1) 4−(π−3)0−(12)−1+|−3|；
(2) 48−2 13− 6× 92.
20.(本小题12分)
(1)解方程组：2x+3y=7x=−2y+3；
(2)阅读下面的文字，解答问题.
例如：∵ 4< 7< 9，即2< 7<3，
∴ 7的整数部分为2，小数部分为 7−2.
请解答：已知 15整数部分是n，小数部分是m，且mx=2n，求x的值.
21.(本小题8分)
为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图(图一)和扇形统计图(图二)：
(1)根据以上信息回答下列问题：
①求m=______，并补全条形统计图.
②抽查的学生每周平均课外阅读时间这组数据的众数______小时、中位数______小时.
(2)若该校共有1800名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数.
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0,1)，B(2,0)，C(4,4)均在正方形网格的格点上.
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；点C的对应点C1的坐标是______；
(2)求△A1B1C1的面积；
(3)在△ABC中，AC边上的高为______.
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点B(−4,0)，与y轴交于点A，直线y=−2x+4过点A，与x轴交于点C.
(1)点A的坐标是______；直线 AB的函数表达式______；
(2)若点P是直线AB上一动点，且S△PBC=S△AOB，求P点的坐标；
(3)点M在第二象限，当S△MAB=S△AOB时，动点N从点B出发，先运动到点M，再从点M运动到点C后停止运动.点N的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t(秒)，请求出t的最小值.
24.(本小题8分)
“成都成就梦想”，第31届大运会在成都顺利举办.大运会吉祥物“蓉宝”纪念品已被商家投放市场进行试销.小冬在某网店选中A，B两款“蓉宝”玩偶，决定从该网店进货并销售.这两款“蓉宝”玩偶的进货价和销售价如表：
(1)第一次小冬用550元购进了A，B两款“蓉宝”玩偶共30个，求两款“蓉宝”玩偶各购进多少个？
(2)第二次小冬进货时，计划仍然购进这两款“蓉宝”玩偶共45个，网店规定A款“蓉宝”玩偶进货数量不少于20个且不超过25个，在进价和售价不变的情况下，小冬第二次销售中获得的最大利润是多少？
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线AB与直线y=12x平行.
(1)k=______；点 A的坐标______；点 B的坐标是______；
(2)若点C(2,0)，将线段AB水平向右平移m个单位(m>0)得到线段A′B′，连接A′C，B′C.若△A′B′C是等腰三角形，求m的值；
(3)点P为y轴上一动点，连接AP，若∠PAB=45∘，请求出点P坐标.
26.(本小题12分)
(1)问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则
①线段AD、BE之间的数量关系是______；
②∠BEC=______；
(2)拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90∘，点A，D，E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度；
(3)探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC=150∘，∠DPB=30∘，BP=6，CP=4，DP=8，求AD的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−23，1.5是分数，0是整数，它们都不是无理数；
3是无限不循环小数，它是无理数；
故选：C.
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵8>0，−5<0，
∴点P(8,−5)所在的象限是第四象限．
故选：D.
根据各象限内点的坐标特点解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.∵22+32≠42，∴该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；
B.∵( 3)2+( 4)2≠( 5)2，∴该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；
C.∵(14)2+(15)2≠(13)2，∴该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；
D.∵0.32+0.42=0.52，∴该组数据能作为直角三角形的三边长，符合题意；
故选：D.
欲判断能否作为直角三角形的三边长，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4.【答案】A
【解析】解：A.相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，符合题意；
B.三角形内角和为180∘，是真命题，不符合题意；
C.实数和数轴上点是一一对应的，是真命题，不符合题意；
D.两条直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；
故选：A.
根据对顶角的定义，三角形内角和定理，实数的意义，平行线的性质进行解答即可．
本题主要考查了对顶角的定义，三角形内角和定理，实数的意义，平行线的性质，熟练掌握相关内容是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵s甲2=3.2，s乙2=2，
∴s乙2∴投篮的命中率较稳定的是乙，
故选：C.
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差的意义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=kx+2，k>0，b>0，
∴函数经过第一，二，三象限．
故选：A.
根据一次函数的性质，k>0，函数值y随x的增大而增大，即可得到结论．
本题考查的是一次函数的图象，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵a//b，∠1=20∘，
∴∠2=∠BAC+∠1=30∘+20∘=50∘，
故选：C.
根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
x+y=1003x+13y=100，
故选：B.
根据题意和题目中的数据可知：大马的匹数+小马的匹数=100，大马的匹数×3+小马的匹数×13=100，然后列出方程组即可．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9.【答案】3±3
【解析】解：27的立方根是3，9的平方根是±3，
故答案为：3，±3.
根据立方根和平方根的定义求出即可．
本题考查了立方根和平方根，熟知平方根和立方根的定义是解题的关键．
10.【答案】x≥10
【解析】解：由题意得，x−10≥0，
解得，x≥10，
故答案为：x≥10.
二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
11.【答案】20∘
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=50∘，
∴∠B=40∘，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=(180∘−40∘)=70∘，
∴∠ACD=90∘−70∘=20∘，
故答案为：20∘.
根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到∠ACD的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】x=−1y=2
【解析】解：∵直线y=ax+3与直线y=mx都经过点A(−1,2)，
∴关于x，y的方程组y=ax+3mx−y=0的解是x=−1y=2，
故答案为：x=−1y=2.
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到结论．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13.【答案】2 2
【解析】解：∵OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=1，
∴由勾股定理可得：OA2= OA12+A1A22= 2，OA3= OA22+A2A32= 2+1= 3，OA4= OA32+A3A42= 3+1= 4，……
可知OAn= n，
∴OA8= 8=2 2.
故答案为：2 2.
利用勾股定理依次求出OA2，OA3，OA4，可总结出OAn= n，由此可解．
本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出OAn= n是解题的关键．
14.【答案】<
【解析】解：∵(3 5)2=45，(5 3)2=75，
∴3 5<5 3.
故填答案：<.
首先把两个数平方，再根据实数的大小比较方法即可比较大小．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较简单，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
15.【答案】8
【解析】解：∵关于x，y的方程组2x−y=34ax+by=22与2x+y=5ax−by=8有相同的解，
∴{2x−y=3①2x+y=5②，
①+②得，4x=8，
解得x=2，
把x=2代入②得，y=1，
∴这个方程组的解是x=2y=1，
将其代入其它两个方程得{8a+b=22③2a−b=8④，
③+④得，10a=30，
解得a=3，
把a=3代入③得，b=−2，
∴2a−b=2×3−(−2)=8，
故答案为：8.
根据题意联立方程2x−y=3和方程2x+y=5，求出x、y的值，然后再代入其它的两个方程得到关于a、b的方程组，求出a、b的值，即可求出2a−b的值．
本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题时正确理解题意得到关于a、b的方程组是关键．
16.【答案】−71或−1
【解析】解：一次函数y=−4x+1的“新生函数”为y=−4x+1(x≥0)4x+1(x<0).
∵点P(−2,m)在一次函数y=−4x+1的“新生函数”图象上，−2<0，
∴m=4×(−2)+1=−7.
∵点Q(n,−3)在一次函数y=−4x+1的“新生函数”图象上，
∴当n≥0时，−4n+1=−3，解得n=1，
当n<0时，4n+1=−3，解得n=−1，
则n的值是1或−1，
故答案为：−7，1或−1.
找出一次函数y=−4x+1的“新生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“新生函数”的定义，找出一次函数y=−4x+1的“新生函数”是解题的关键．
17.【答案】12 2+12或1
【解析】【分析】
本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
①如图1，当∠B′MC=90∘，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90∘，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM= 2MB′，列方程即可得到结论．
【解答】
解：①如图1，
当∠B′MC=90∘，B′与A重合，M是BC的中点，
∴BM=12BC=12 2+12；
②如图2，当∠MB′C=90∘，
∵∠A=90∘，AB=AC，
∴∠C=45∘，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM= 2MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM=B′M，
∴CM= 2BM，
∵BC= 2+1，
∴CM+BM= 2BM+BM= 2+1，
∴BM=1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为12 2+12或1，
故答案为：12 2+12或1.
18.【答案】3 2
【解析】解：在CD上截取DM=AE，连接FM，作点B关于CF的对称点N，连接CN，BN，如图：
∵∠A=45∘，∠EDF=45∘，∠A+∠AED=∠EDM=∠EDF+∠FDM，
∴∠AED=∠FDM，
∵DF=DE，
∴△ADE≌△MFD(SAS)，
∴AD=FM，∠A=∠DMF=45∘，
∵AB=AC，
∴AE+BE=AD+CD，
∵BE=2AD，
∴CD=AE+AD，
∵CD=DM+CM，
∴CM=AD，
∴FM=CM，
∴∠MCF=∠MFC，
∵∠DMF=45∘，
∴∠FCM=∠MFC=22.5∘，
∴F点在射线CF上运动，
∵点B与点N的关于CF对称，
∴BF=NF，CN=BC=6，
∴BF+FN=2BF≥BN，
∴当B、F、N三点共线时，BF+NF=2BF的值最小，最小值为BN，
∵∠A=45∘，AB=BC，
∴∠ACB=67.5∘，
∴∠BCF=∠ACB−∠FCM=45∘，
由对称性可知，∠NCF=∠BCF=45∘，
∴∠BCN=90∘，
∴△BCN为等腰直角三角形，
BN= BC2+CN2=6 2，
∴BF=12BN=3 2，
∴线段BF长度的最小值为3 2.
故答案为：3 2.
在CD上截取DM=AE，连接FM作点B关于CF的对称点N，连接N，BN，先明△ADE≌△MFD(SAS)得到AD=FM，∠A=∠DMF=45∘，根据当A、F、N三点共线时，AF+NF的值最小，最小值为BN，再证明△BCN为等腰直角三角形，利用股定理求出BN长，即可求出BF长度的最小值．
本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质，利用轴对称求最短距离，作出恰当辅助线是解题的关键，
19.【答案】解：(1)原式=2−1−2+3
=2；
(2)原式=4 3−2 33− 12×16×272
=4 3−2 33−3 3
= 33.
【解析】(1)根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算；
(2)先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1){2x+3y=7①x=−2y+3②，
把②代入①得，2(−2y+3)+3y=7，
解得y=−1，
把y=−1代入②得，x=5，
∴方程组的解是x=5y=−1；
(2)∵ 9< 15< 16，即3< 15<4，
∴ 15的整数部分为3，小数部分为 15−3，
∴n=3，m= 15−3，
∵mx=2n，
∴( 15−3)x=6，
解得x= 15+3.
【解析】(1)根据代入消元法解二元一次方程组即可；
(2)仿照题中给出的方法求出m、n的值，即可求出x的值．
本题考查了解二元一次方程组，无理数的估算，熟练掌握解二元一次方程组的方法和用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
21.【答案】60 3 3
【解析】解：(1)①m=15÷90360=60(名)，3小时的人数=60−10−15−10−5=20(名).
条形图如图所示：
故答案为：60；
②这组数据的众数3、中位数是3.
故答案为：3，3；
(2)1800×20+10+560=1050(名).
答：估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数约为1050名．
(1)①根据2小时的人数，以及扇形统计图中的圆心角的度数，解决问题即可，再求出3小时的人数，画出条形图；
②根据中位数，众数的定义判断即可；
(2)用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】(−4,4)2
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点C的对应点C1的坐标是(−4,4).
故答案为：(−4,4)；
(2)△A1B1C1的面积=4×4−12×2×4−12×3×4−12×1×2=5；
(3)设AC边上的高为h.
∵AC= 32+42=5，
∴12×5×h=5，
∴h=2.
故答案为：2.
(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
(3)利用三角形面积公式求解．
本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
23.【答案】(0,4)y=x+4
【解析】解：(1)∵点A在y轴上，直线y=−2x+4过点A，
∴点A坐标为(0,4)，
将点A(0,4)和点B(−4,0)代入直线y=kx+b，
得b=4−4k+b=0，
解得k=1b=4，
∴直线AB的函数表达式为y=x+4，
故答案为：(0,4)，y=x+4；
(2)设点P坐标为(p,p+4)，
∵直线y=−2x+4过点A，与x轴交于点C，
令y=0，得x=2，
∴点C坐标为(2,0)，
∵点A(0,4)，点B(−4,0)，
∴OA=4，OB=4，BC=6，
∴S△AOB=12×4×4=8，
∴S△PBC=S△AOB=8，
∴12×6|p+4|=8，解得p=−43或−203，
∴P点的坐标为(−43,83)或(−203,−83)；
(3)∵点M在第二象限，当S△MAB=S△AOB时，如图，
∴M在过点D(0,8)且平行于AB的线段DE(不含端点)上，
∴直线DE的函数表达式为y=x+8，
∴E(−8,0)，
∴OD=OE=8，
∴∠OED=45∘，
作点B关于线段DE的对称点B′，连接CB′，BB′，EB′，交线段DE点M，连接BM，则BM+CM的最小值即为CB′的长，
∴DE⊥BB′，EB′=EB=4，BM=B′M，
∴∠EBB′=∠EB′B=45∘，
∴∠BEB′=90∘，
∴B′(−8,4)，
∴CB′= 42+(2+8)2=2 29，
∵点N的运动速度始终为每秒1个单位长度，
∴运动的总时间为t=2 29(秒)，
∴t的最小值为2 29.
(1)先根据直线y=−2x+4过点A，求出点A坐标，再利用待定系数法求直线AB的函数表达式即可；
(2)设点P坐标为(p,p+4)，先求出点C坐标，再求出△AOB的面积，表示出△PBC的面积，根据S△PBC=S△AOB，列方程求解即可；
(3)根据点M在第二象限，当S△MAB=S△AOB，可知点M在线段DE(不含端点)上运动，作点B关于线段DE的对称点B′，连接CB′，交线段DE点M，连接BM，则BM+CM的最小值即为CB′的长，求出CB′的长度，进一步可得t的最小值．
本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积等，本题综合性较强，灵活运用所学知识是解题关键．
24.【答案】解：(1)设购进A款“蓉宝”玩偶x个，B款“蓉宝”玩偶y个，
根据题意得：x+y=3020x+15y=550，
解得：x=20y=10.
答：购进A款“蓉宝”玩偶20个，B款“蓉宝”玩偶10个；
(2)设购进A款“蓉宝”玩偶m个，全部售出后获得的总利润为w元，则购进B款“蓉宝”玩偶(45−m)个，
根据题意得：w=(28−20)m+(20−15)(45−m)，
即w=3m+225，
∵3>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵20≤m≤25，
∴当m=25时，w取得最大值，最大值=3×25+225=300(元).
答：小冬第二次销售中获得的最大利润是300元．
【解析】(1)设购进A款“蓉宝”玩偶x个，B款“蓉宝”玩偶y个，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合第一次小冬用550元购进了A，B两款“蓉宝”玩偶共30个，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A款“蓉宝”玩偶m个，全部售出后获得的总利润为w元，则购进B款“蓉宝”玩偶(45−m)个，利用总利润=每个A款“蓉宝”玩偶的销售利润×销售数量(购进A款“蓉宝”玩偶的数量)+每个B款“蓉宝”玩偶的销售利润×销售数量(购进B款“蓉宝”玩偶的数量)，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
25.【答案】12 (−4,0)(0,2)
【解析】解：(1)∵直线AB：y=kx+2与直线y=12x平行．
∴k=12.
∴直线AB的解析式为y=12x+2.
令y=0，得x=−4.
即点A的坐标为(−4,0).
令x=0，得y=2.
即点B的坐标为(0,2).
故答案为：12，(−4,0)，(0,2).
(2)∵点C(2,0)，且将线段AB水平向右平移m个单位(m>0)得到线段A′B′.
∴点A′的坐标为(−4+m,0)，点B′的坐标为(m,2).
∴A′B′2=(−4+m−m)2+(0−2)2=20.
A′C2=(−4+m−2)2=(m−6)2.
B′C2=(m−2)2+(2−0)2=(m−2)2+4.
△A′B′C是等腰三角形，分情况讨论：
①当A′B′=A′C时，可得20=(m−6)2，解得m=6+ 20或m=6− 20.
②当A′B′=B′C时，可得20=(m−2)2+4，解得m=6(舍去)或m=−2(舍去).
③当A′C=B′C时，可得(m−6)2=(m−2)2+4，解得m=72.
综上所述，m=6+ 20或m=6− 20或m=72.
(3)分情况讨论：
①过点B作BD⊥AB，且BD=AB，连接AD交y轴于点P，过点D作DH⊥y轴于点H，如图所示：
则△ABD是等腰直角三角形．
∴∠PAB=45∘.
∵点A(−4,0)，点B(0,2).
∴OA=4，OB=2.
∵∠DHB=90∘.
∴∠HDB+∠HBD=90∘.
∵∠ABD=90∘.
∴∠ABO+∠HBD=90∘.
∴∠HDB=∠ABO.
在△BDH和△ABO中．
∠DHB=∠BOA=90∘∠HDB=∠ABOBD=AB.
∴△BDH≌△ABO(AAS).
∴BH=AO=4.
DH=OB=2.
∴点D的坐标为(−2,6).
设直线AD的解析式为y=kx+b(k,b为常数，k≠0).
代入点A(−4,0)，点D(−2,6).
得−4k+b=0−2k+b=6.
解得k=3b=12.
∴直线AD的解析式为y=3x+12.
∴点P的坐标为(0,12).
②过点B作BM⊥AB，且BM=AB，连接AM交y轴于点P，过点M作MN⊥y轴于点N，如图所示：
则△ABM是等腰直角三角形．
∴∠PAB=45∘.
∵∠ABM=90∘.
∴∠ABO+∠NBM=90∘.
∵∠BNM=90∘.
∴∠NMB+∠NBM=90∘.
∴∠NMB=∠ABO.
在△ABO和△BMN中．
∠AOB=∠BNM=90∘∠ABO=∠BMNAB=BM.
∴△ABO≌△BMN(AAS).
∴BN=AO=4.
NM=OB=2.
∴点M的坐标为(2,−2).
设直线AM的解析式为y=ax+c(a,c为常数，a≠0).
代入点A(−4,0)，点M(2,−2).
得−4a+c=02a+c=−2.
解得a=−13c=−43.
∴直线AM的解析式为y=−13x−43.
∴点P的坐标为(0,−43).
综上所述，满足条件的点P的坐标为(0,12)或(0,−43).
(1)根据两直线平行，可得k的值，即可求出直线与坐标轴的交点．
(2)根据平移的性质，可知点A′和点B′的坐标，△A′B′C是等腰三角形，分三种情况讨论．
(3)分两种情况讨论，①过点B作BD⊥AB，且BD=AB，连接AD交y轴于点P，过点D作DH⊥y轴于点H，则△ABD是等腰直角三角形，∠PAB=45∘，证明△BDH≌△ABO(AAS)，根据全等三角形的性质进一步可得点D的坐标为(−2,6)，再利用待定系数法求直线AD的解析式，进一步可得点P的坐标；②过点B作BM⊥AB，且BM=AB，连接AM交y轴于点P，过点M作MN⊥y轴于点N，则△ABM是等腰直角三角形，∠PAB=45∘，证明△ABO≌△BMN(AAS)
根据全等三角形的性质进一步可得点M的坐标为(2,−2)，再利用待定系数法求直线AM的解析式，进一步可得点P的坐标．
本题考查了一次函数的综合，涉及一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，本题综合性较强，计算量较大．
26.【答案】AD=BE120∘
【解析】解：(1)①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE；
故答案为：AD=BE；
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60∘.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120∘.
∴∠BEC=120∘.
故答案为：120∘；
(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90∘.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE=AE−DE=15−7=8，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形
∴∠CDE=∠CED=45∘.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135∘.
∴∠BEC=135∘.
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90∘.
∴AB= AE2+BE2= 152+82=17；
(3)把△BPC绕点C逆时针旋转60∘得△AEC，连接PE，如图所示：
则△AEC≌△BPC，
∴CE=CP，∠PCE=60∘，AE=BP=6，∠AEC=∠BPC=150∘，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠EPC=∠PEC=60∘，PE=CP=4，
∴∠AED=∠AEC−∠PEC=90∘，
∵∠BPD=30∘，
∴∠DPC=150∘−30∘=120∘，
又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120∘+60∘=180∘，
即D、P、E在同一条直线上，
∴DE=DP+PE=8+4=12，
在Rt△ADE中，AD= DE2+AE2= 122+62=6 5，
即AD的长为6 5.
(1)由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC.由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠BEC的度数；
(2)同(1)证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE=AE−DE=8，∠ADC=∠BEC，求出∠BEC=135∘，得出∠AEB=∠BEC−∠CED=90∘.由勾股定理求出AB即可；
(3)把△BPC绕点C逆时针旋转60∘得△AEC，连接PE，则△AEC≌△BPC，得出CE=CP，∠PCE=60∘，AE=BP=6，∠AEC=∠BPC=150∘，证出△PCE是等边三角形，得出∠EPC=∠PEC=60∘，PE=CP=4，求出∠ED=∠AEC−∠PEC=90∘，证明D、P、E在同一条直线上，得出DE=DP+PE=12，再由勾股定理求出AD即可．
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．A款“蓉宝”玩偶
B款“蓉宝”玩偶
进货价(元/个)
20
15
销售价(元/个)
28
20