高考物理分题型多维刷题练专题16电磁感应中的杆与导轨问题(原卷版+解析)

这是一份高考物理分题型多维刷题练专题16电磁感应中的杆与导轨问题(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了单杆模型，双杆模型等内容，欢迎下载使用。


①磁通量公式：；
②磁通量的变化量：；磁通量的变化率：；
③法拉第电磁感应定律公式：；（为线圈匝数）
④感应电流与感应电动势的关系：；
⑤与线框有关的公式：；；；
⑥恒流电路：。
在解电磁感应中的杆与导轨问题时，首先要找出等效电源，一般情况下，切割磁感线的导体是电源，等效电源之外部分为外电路，再画出等效电路。
其次要进行动力学分析：①对导体进行受力分析；②综合牛顿第二定律、运动学公式以及电磁学的知识分析导体的加速度以及速度的变化。
第三要分析导体运动过程中的能量转化，从而确定是单棒（动量定理）模型还是双棒模型（分析其受力情况，动量若守恒，则用动量守恒定律）。
最后，根据以上的分析并结合已知量和待求量，列出方程求解。
一、单杆模型
1.当时：
如图，质量为，电阻不计的单杆以一定初速度在光滑水平金属导轨上滑动，两平行导轨间距为L，导轨电阻不计。
【力学角度分析】杆以速度切割磁感线产生的感应电动势为，电流，安培力，杆做减速运动，有，当时，，，杆保持静止。
【图像分析】
【能量角度分析】动能全部转化为内能：。
1.当时：
（1）金属导轨水平光滑，单杆质量为，电阻不计，两平行导轨间距为L，导轨电阻不计。（如图）
【力学角度分析】S闭合时，杆受安培力，此时，杆速度感应电动势安培力⇒加速度，当时，最大，且°
【图像分析】
【能量角度分析】电源的电能转化为内能及杆的动能。
（2）金属导轨水平光滑，单杆质量为，电阻不计，两平行导轨间距为L，导轨电阻不计，拉力F恒定。（如图）
【力学角度分析】开始时，杆速度⇒感应电动势⇒⇒安培力，由知，当时，最大，有。
【图像分析】
【能量角度分析】F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生焦耳热：。
（3）金属导轨水平光滑，单杆质量为，电阻不计，两平行导轨间距为L，导轨电阻不计，拉力F恒定。（如图）
【力学角度分析】杆速度⇒感应电动势，经过Δt速度为ν+Δv，此时感应电动势，△t时间内流入电容器的电荷量，电流
，安培力，，可得所以杆以恒定的加速度做匀加速运动。
【图像分析】
【能量角度分析】F做的功一部分转化为动能，部分转化为电能。
二、双杆模型
1.光滑的平行金属导轨
如图，质量，电阻长度。
【力学角度分析】杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速，度均为零，以相等的速度匀速运动。
【图像分析】
【动量角度分析】两杆组成的系统动量守恒。
2.光滑不等距的平行金属导轨
如图，质量，电阻长度。
【力学角度分析】杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，杆b、a的速度之比为1：2。
【图像分析】
【动量角度分析】两杆组成的系统动量不守恒。对单杆可以用动量定理。
3.光滑的平行金属导轨（初速度为0，一杆受恒定水平外力）
如图，质量，电阻长度。
【力学角度分析】开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动。
【图像分析】
【动量角度分析】两杆组成的系统动量不守恒。对单杆可以用动量定理。
【能量角度分析】F做的功转化为两杆的动能和内能，即。
典例1：（2022·辽宁·高考真题）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，求：①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；②初始时刻N到的最小距离x；
（3）初始时刻，若N到的距离与第（2）问初始时刻的相同、到的距离为，求M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围。
典例2：（2021·海南·高考真题）如图，间距为l的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，一质量为m的金属杆放在导轨上。金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u0。设金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其它电阻。
（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为，求：
（i）这段时间内电阻R上产生的焦耳热；
（ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。
典例3：（2021·湖北·高考真题）如图（a）所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的图像如图（b）所示，当流过元件Z的电流大于或等于时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取，。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。
（1）闭合开关S。，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；
（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。
典例4：（2020·浙江·高考真题）如图甲所示，在水平面内，固定放置着间距为l的两平行金属直导轨，其间连接有阻值为R的电阻，电阻两端连接示波器（内阻可视为无穷大），可动态显示电阻R两端的电压。两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面的匀强磁场。时一质量为m、长为l的导体棒在外力F作用下从。位置开始做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲线。取，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O。不计摩擦阻力和其它电阻，导体棒始终垂直导轨运动。（提示：可以用图象下的“面积”代表力F所做的功）
（1）求导体棒所受到的安培力随时间t的变化规律；
（2）求在0至0.25T时间内外力F的冲量；
（3）若时外力，求外力与安培力大小相等时棒的位置坐标和速度。
1．（2022·福建·泉州五中模拟预测）如图（甲）所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，一质量为m、电阻为r、长度也刚好为l的导体棒垂直搁在导轨上a、b两点间，在a点右侧导轨间加一有界匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面，宽度为d0，磁感应强度为B，设磁场左边界到ab距离为d。现用一个水平向右的力F拉导体棒，使它从a、b处静止开始运动，棒离开磁场前已做匀速直线运动，与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，水平力F-x的变化情况如图（乙）所示，F0已知。求：
（1）棒ab离开磁场右边界时的速度v；
（2）棒ab通过磁场区域的过程中电阻R产生的焦耳热Q；
（3）d满足什么条件时，棒ab进入磁场后一直做匀速运动。
2．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2022年6月17日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水，如图甲所示，“福建舰"配备了目前世界上最先进的“电磁弹射”系统。“电磁弹射”系统的具体实现方案有多种，并且十分复杂。一种简化的物理模型如图乙所示，电源和一对足够长平行金属导轨M、N分别通过单刀双掷开关K与电容器相连。电源的电动势E = 10V， 内阻不计。两条足够长的导轨相距L =0. 1m且水平放置处于磁感应强度B = 0. 5T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面且竖直向下，电容器的电容C= 10F。现将一质量为m =0. 1kg，电阻r=0.1Ω的金属滑块垂直放置于导轨的滑槽内，分别与两导轨良好接触。将开关K置于a让电容器充电，充电结束后，再将开关K置于b，金属滑块会在电磁力的驱动下运动。在电容器放电过程中，金属滑块两端电压与电容器两极板间电压始终相等。不计导轨和电路其他部分的电阻，不计电容器充、放电过程中电磁辐射和导轨产生的磁场对滑块的作用，忽略金属滑块运动过程中的一切摩擦阻力。
（1）求在开关K置于b瞬间，金属滑块加速度a的大小；
（2）求金属滑块的最大速度v的大小。
3．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）如图1所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。
（1）如图2所示，若轨道左端MP间接一阻值为R的电阻，导体棒在水平向右的恒力F的作用下由静止开始运动。求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小。
（2）如图3所示，若轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源。闭合开关S，导体棒从静止开始运动。
a．若导轨与导体棒存在大小为f的摩擦力，求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小；
b．若不计导轨与导体棒间的摩擦，将图3改为图4所示结构，并入电阻的阻值为R，且那么导体棒最后的速度大小为多少和流过电阻R的电流大小？
4．（2022·广东北江实验学校模拟预测）小张同学设计了一款自动洒水装置，其简化原理图如图所示。平行导轨和固定在同一水平面内，间距，右端连接的电阻，边界MN的左侧导轨光滑，且处在竖直向下、磁感应强度的匀强磁场中，右侧导轨粗糙且足够长。在导轨上面搁置质量不计的洒水盒，盒内装有质量的水，洒水盒的底部固定一长度为、电阻、质量的金属杆，杆与边界的相距，以杆的位置为坐标原点，沿导轨方向建立x轴坐标。现在打开洒水盒开始洒水，同时施加水平向右的拉力，使洒水盒沿导轨开始做加速度的匀加速运动。已知盒中流出水的质量与位置的关系式为：，当盒中的水洒完或者杆经过边界时，则立即撤去拉力，整个过程杆与导轨始终接触良好，忽略盒的宽度，杆和盒与右侧导轨之间的动摩擦因数，重力加速度取。
（1）求洒水盒停止运动时，金属杆的位置坐标；
（2）若洒水盒中初始装水的质量为，求停止运 动时金属杆的位置坐标。
5．（2022·四川内江·三模）如图，两根平行光滑的金属导轨M1N1P1和M2N2P2，由四分之一圆弧与水平两部分构成，导轨的末端固定两根绝缘柱，弧形部分的半径r=0.8m、导轨间距L=1m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小为B=2T的匀强磁场中，两根完全相同的金属棒a、b分别垂直于导轨，静置于圆弧顶端M1M2处和水平导轨中的某位置，两金属棒的质量均为m=1kg、电阻均为R=2Ω。现将金属棒a由静止释放，沿圆弧导轨滑入水平导轨，此后，金属棒b向右运动，在导轨末端与绝缘柱发生碰撞且无机械能损失，在金属棒b接触绝缘柱之前两棒已匀速运动且未发生碰撞。金属棒b与绝缘柱发生碰撞后，在距绝缘柱x =0.5m的AA2位置与金属棒a发生碰撞，碰后停在距绝缘柱：x2=0.2m的A3A4位置。整个运动过程中金属棒与导轨接触良好，导轨电阻不计，g=10m/s2，不计空气阻力。求：
（1）金属棒a刚滑人水平导轨时，受到的安培力大小；
（2）金属棒b与绝缘柱碰撞后到与金属棒a碰撞前的过程中，整个回路产生的焦耳热；
（3）金属棒a和b在碰撞过程中损失的机械能。
6．（2022·江苏省昆山中学模拟预测）水平面内有两根足够长的平行光滑金属导轨，间距为L，两端分别通过开关接有电容为C的电容器和阻值为R的电阻，导轨间有垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m，电阻为R，长为2L的金属棒AD与导轨垂直放置，A端恰好与导轨接触，初始状态如图所示。开始时开关S1、S2均断开，定值电阻也为R，其他电阻均不计，金属棒始终与导轨接触良好。
（1）只闭合开关S2，让金属棒以初速度水平向右运动，求：开始运动时金属棒两端的电压和整个运动过程中金属棒产生的焦耳热。
（2）若金属棒的电阻不计，闭合开关S1、S2，让金属棒绕A端以角速度ω匀速转过90°的过程中，求通过电阻R的电荷量。
7．（2022·安徽淮北·二模）如图所示，固定的平行金属导轨由水平导轨和竖直放置的四分之一圆弧导轨组成，水平导轨足够长，圆弧导轨半径r=0.8m，导轨间距L=1.0m，水平导轨与圆弧导轨在底端平滑连接。整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1T。导体棒PQ、MN的质量分别为m1=2.0kg、m2=1.0kg，电阻分别为R1=3.0、R2=1.0，导体棒PQ与导轨间动摩擦因数=0.4，先将MN锁定在圆弧导轨顶端。对导体棒PQ施加一个水平向左、大小F=9N的恒力作用，使其沿水平导轨从静止开始运动，经过时间t=9s棒PQ恰好达到最大速度；然后将PQ棒锁定，并解除MN棒的锁定，同时给MN棒一个v=4m/s的竖直向下的初速度，该棒恰好能够沿圆弧导轨一直匀速下滑。不计导轨电阻，导体棒MN、PQ与导轨始终垂直且保持良好接触。重力加速度g取10m/s2。求：
（1）导体棒PQ运动过程中达到的最大速度；
（2）导体棒PQ从静止达到最大速度经过的位移；
（3）导体棒MN沿圆弧导轨下滑的过程中，MN克服摩擦力做的功。
8．（2022·上海·曹杨二中二模）如图a，两光滑金属导轨MN、MN相距L平行放置，导轨平面与水平面成θ夹角，MM、NN间分别连接阻值为R的电阻。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场区域的宽度均为d，相邻磁场间的无磁场区域的宽度均为s。一质量为m、阻值为R的金属棒ab跨放在两导轨上，从磁场区域Ⅰ上边界上方某处由静止释放，金属棒下滑过程中始终垂直于导轨且与导轨接触良好。导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。
（1）若金属棒能匀速通过磁场区域Ⅰ，求金属棒静止释放处距区域Ⅰ上边界的距离x1；
（2）在（1）的条件下，求金属棒通过区域Ⅰ的过程中产生的热量Q；
（3）若金属棒在相邻磁场间无磁场区域中运动的时间均为t，求金属棒静止释放处与区域Ⅰ上边界的距离x2；并在图b中定性画出其自静止开始运动到区域Ⅲ下边界过程中的v-t图线。
9．（2022·上海徐汇·三模）两根足够长、互相平行的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，顶端接有阻值为R的电阻，导轨电阻不计。导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，质量为m、电阻也为R的金属棒在导轨上静止下落，运动过程中，棒与导轨接触良好。求：
（1）通过R的电流方向（向左还是向右）；
（2）分析说明棒的运动情况；
（3）R上最大的电功率；
（4）当R上电功率达到后，分析说明棒的机械能是否随下落高度均匀变化。
10．（2022·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，甲、乙两水平面高度差为2h，甲水平面内有间距为2L的两光滑金属导轨平行放置，乙水平面内有间距分别为2L、L的光滑金属导轨平行放置，光滑的绝缘斜导轨紧挨甲、乙两个平面内的水平轨道放置，斜轨道的倾角为53°，斜轨道底端有一小段高度可忽略的光滑圆弧与金属导轨平滑连接。水平面甲内轨道左端连接一充满电的电容器C，右边缘垂直轨道放置长度为2L，质量为m，电阻为R的均匀金属棒ab，在水平面乙内垂直间距为L的轨道左端放置与ab完全相同的金属棒cd，导轨MM'与NN'、PP'与QQ'均足够长，所有导轨的电阻都不计。所有导轨的水平部分均有竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，斜面部分无磁场。闭合开关S，金属棒αb迅速获得水平向右的速度做平抛运动，刚好落在斜面底端，没有机械能损失，之后沿着水平面乙运动。已知重力加速度为g，，。求：
（1）金属棒ab做平抛运动的初速度v0；
（2）电容器C释放的电荷量q；
（3）从金属棒ab开始沿水平面乙内的光滑轨道运动起，至匀速运动止，这一过程中金属棒ab上产生的热量。
专题16 电磁感应中的杆与导轨问题
①磁通量公式：；
②磁通量的变化量：；磁通量的变化率：；
③法拉第电磁感应定律公式：；（为线圈匝数）
④感应电流与感应电动势的关系：；
⑤与线框有关的公式：；；；
⑥恒流电路：。
在解电磁感应中的杆与导轨问题时，首先要找出等效电源，一般情况下，切割磁感线的导体是电源，等效电源之外部分为外电路，再画出等效电路。
其次要进行动力学分析：①对导体进行受力分析；②综合牛顿第二定律、运动学公式以及电磁学的知识分析导体的加速度以及速度的变化。
第三要分析导体运动过程中的能量转化，从而确定是单棒（动量定理）模型还是双棒模型（分析其受力情况，动量若守恒，则用动量守恒定律）。
最后，根据以上的分析并结合已知量和待求量，列出方程求解。
一、单杆模型
1.当时：
如图，质量为，电阻不计的单杆以一定初速度在光滑水平金属导轨上滑动，两平行导轨间距为L，导轨电阻不计。
【力学角度分析】杆以速度切割磁感线产生的感应电动势为，电流，安培力，杆做减速运动，有，当时，，，杆保持静止。
【图像分析】
【能量角度分析】动能全部转化为内能：。
1.当时：
（1）金属导轨水平光滑，单杆质量为，电阻不计，两平行导轨间距为L，导轨电阻不计。（如图）
【力学角度分析】S闭合时，杆受安培力，此时，杆速度感应电动势安培力⇒加速度，当时，最大，且°
【图像分析】
【能量角度分析】电源的电能转化为内能及杆的动能。
（2）金属导轨水平光滑，单杆质量为，电阻不计，两平行导轨间距为L，导轨电阻不计，拉力F恒定。（如图）
【力学角度分析】开始时，杆速度⇒感应电动势⇒⇒安培力，由知，当时，最大，有。
【图像分析】
【能量角度分析】F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生焦耳热：。
（3）金属导轨水平光滑，单杆质量为，电阻不计，两平行导轨间距为L，导轨电阻不计，拉力F恒定。（如图）
【力学角度分析】杆速度⇒感应电动势，经过Δt速度为ν+Δv，此时感应电动势，△t时间内流入电容器的电荷量，电流
，安培力，，可得所以杆以恒定的加速度做匀加速运动。
【图像分析】
【能量角度分析】F做的功一部分转化为动能，部分转化为电能。
二、双杆模型
1.光滑的平行金属导轨
如图，质量，电阻长度。
【力学角度分析】杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速，度均为零，以相等的速度匀速运动。
【图像分析】
【动量角度分析】两杆组成的系统动量守恒。
2.光滑不等距的平行金属导轨
如图，质量，电阻长度。
【力学角度分析】杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，杆b、a的速度之比为1：2。
【图像分析】
【动量角度分析】两杆组成的系统动量不守恒。对单杆可以用动量定理。
3.光滑的平行金属导轨（初速度为0，一杆受恒定水平外力）
如图，质量，电阻长度。
【力学角度分析】开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动。
【图像分析】
【动量角度分析】两杆组成的系统动量不守恒。对单杆可以用动量定理。
【能量角度分析】F做的功转化为两杆的动能和内能，即。
典例1：（2022·辽宁·高考真题）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，求：①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；②初始时刻N到的最小距离x；
（3）初始时刻，若N到的距离与第（2）问初始时刻的相同、到的距离为，求M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围。
【答案】（1），方向水平向左；（2）①，②；（3）
【规范答题】（1）细金属杆M以初速度向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为
电流方向为，电流的大小为
则所受的安培力大小为
安培力的方向由左手定则可知水平向左；
（2）①金属杆N在磁场内运动过程中，由动量定理有
且
联立解得通过回路的电荷量为
②设两杆在磁场中相对靠近的位移为，有
整理可得
联立可得
若两杆在磁场内刚好相撞，N到的最小距离为
（3）两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N到的距离与第（2）问初始时刻的相同、到的距离为，则N到cd边的速度大小恒为，根据动量守恒定律可知
解得N出磁场时，M的速度大小为
由题意可知，此时M到cd边的距离为
若要保证M出磁场后不与N相撞，则有两种临界情况：
①M减速出磁场，出磁场的速度刚好等于N的速度，一定不与N相撞，对M根据动量定理有
联立解得
②M运动到cd边时，恰好减速到零，则对M由动量定理有
同理解得
综上所述，M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围为
典例2：（2021·海南·高考真题）如图，间距为l的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，一质量为m的金属杆放在导轨上。金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u0。设金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其它电阻。
（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为，求：
（i）这段时间内电阻R上产生的焦耳热；
（ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。
【答案】（1），；（2）（i），（ii）
【规范答题】（1）金属棒切割磁感线产生的感应电动势
E = Blv0
则金属杆中的电流
由题知，金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动则有
根据功率的计算公式有
（2）（i）设金属杆内单位体积的自由电子数为n，金属杆的横截面积为S，则金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动时的电流由微观表示为
解得
当电子沿金属杆定向移动的速率变为时，有
解得
v′ =
根据能量守恒定律有
解得
（ii）由（i）可知在这段时间内金属杆的速度由v0变到，设这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离为d，规定水平向右为正方向，则根据动量定理有
由于
解得
典例3：（2021·湖北·高考真题）如图（a）所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的图像如图（b）所示，当流过元件Z的电流大于或等于时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取，。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。
（1）闭合开关S。，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；
（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。
【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培力作用，当重力与安培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则
由法拉第电磁感应定律得
由欧姆定律得
解得
（2）由第（1）问得
由于
断开开关S后，当金属棒的速度达到最大时，元件Z两端的电压恒为
此时定值电阻两端的电压为
回路中的电流为
又由欧姆定律得
解得
（3）开关S闭合，当金属棒的速度最大时，金属棒产生的感应电动势为
断开开关S的瞬间，元件Z两端的电压为
则定值电阻两端的电压为
电路中的电流为
金属棒受到的安培力为
对金属棒由牛顿第二定律得
解得
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典例4：（2020·浙江·高考真题）如图甲所示，在水平面内，固定放置着间距为l的两平行金属直导轨，其间连接有阻值为R的电阻，电阻两端连接示波器（内阻可视为无穷大），可动态显示电阻R两端的电压。两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面的匀强磁场。时一质量为m、长为l的导体棒在外力F作用下从。位置开始做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲线。取，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O。不计摩擦阻力和其它电阻，导体棒始终垂直导轨运动。（提示：可以用图象下的“面积”代表力F所做的功）
（1）求导体棒所受到的安培力随时间t的变化规律；
（2）求在0至0.25T时间内外力F的冲量；
（3）若时外力，求外力与安培力大小相等时棒的位置坐标和速度。
【答案】(1)
(2)
(3) 和；和
【规范答题】（1）由显示的波形可得
安培力随时间变化规律：
（2）安培力的冲量：
由动量定理，有：
解得：
（3）棒做简谐运动，有：
当时：
当时，设，
根据动能定理：
解得：和；和
1．（2022·福建·泉州五中模拟预测）如图（甲）所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，一质量为m、电阻为r、长度也刚好为l的导体棒垂直搁在导轨上a、b两点间，在a点右侧导轨间加一有界匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面，宽度为d0，磁感应强度为B，设磁场左边界到ab距离为d。现用一个水平向右的力F拉导体棒，使它从a、b处静止开始运动，棒离开磁场前已做匀速直线运动，与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，水平力F-x的变化情况如图（乙）所示，F0已知。求：
（1）棒ab离开磁场右边界时的速度v；
（2）棒ab通过磁场区域的过程中电阻R产生的焦耳热Q；
（3）d满足什么条件时，棒ab进入磁场后一直做匀速运动。
【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）设棒ab离开磁场右边界时的速度为v，产生的感应电动势为
感应电流为

根据平衡条件得

解得

（2）全程根据动能定理得

根据功和能的关系得

解得
（3）棒在磁场中做匀速运动，进入磁场时的速度为v，根据动能定理得

解得
2．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2022年6月17日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水，如图甲所示，“福建舰"配备了目前世界上最先进的“电磁弹射”系统。“电磁弹射”系统的具体实现方案有多种，并且十分复杂。一种简化的物理模型如图乙所示，电源和一对足够长平行金属导轨M、N分别通过单刀双掷开关K与电容器相连。电源的电动势E = 10V， 内阻不计。两条足够长的导轨相距L =0. 1m且水平放置处于磁感应强度B = 0. 5T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面且竖直向下，电容器的电容C= 10F。现将一质量为m =0. 1kg，电阻r=0.1Ω的金属滑块垂直放置于导轨的滑槽内，分别与两导轨良好接触。将开关K置于a让电容器充电，充电结束后，再将开关K置于b，金属滑块会在电磁力的驱动下运动。在电容器放电过程中，金属滑块两端电压与电容器两极板间电压始终相等。不计导轨和电路其他部分的电阻，不计电容器充、放电过程中电磁辐射和导轨产生的磁场对滑块的作用，忽略金属滑块运动过程中的一切摩擦阻力。
（1）求在开关K置于b瞬间，金属滑块加速度a的大小；
（2）求金属滑块的最大速度v的大小。
【答案】（1）a = 50 m/s2；（2）v=40m/s
【规范答题】（1）开关K置于b的瞬间，流过金属滑块的电流
以金属滑块为研究对象，根据牛顿第二定律
解得
（2）设金属滑块加速运动到最大速度时两端电压为U，电容器放电过程中的电荷量变化为，放电时间为，流过金属滑块的平均电流为I，在金属块滑动过程中，由动量定理得
由电流的定义
由电容的定义
电容器放电过程的电荷量变化为
且
金属滑块运动后速度最大时，其两端电压为
解得
3．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）如图1所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。
（1）如图2所示，若轨道左端MP间接一阻值为R的电阻，导体棒在水平向右的恒力F的作用下由静止开始运动。求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小。
（2）如图3所示，若轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源。闭合开关S，导体棒从静止开始运动。
a．若导轨与导体棒存在大小为f的摩擦力，求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小；
b．若不计导轨与导体棒间的摩擦，将图3改为图4所示结构，并入电阻的阻值为R，且那么导体棒最后的速度大小为多少和流过电阻R的电流大小？
【答案】（1）；（2）a．；b．，
【规范答题】（1）导体棒切割磁感线达到最大速度时有
又
解得
（2）a．导体棒达到的最大速度时，导体棒所受安培力与摩擦力相等
又
解得
b．导体棒达到最大速度vm时，棒中没有电流。电源的路端电压
电源与电阻所在回路的电流
又
联立解得
4．（2022·广东北江实验学校模拟预测）小张同学设计了一款自动洒水装置，其简化原理图如图所示。平行导轨和固定在同一水平面内，间距，右端连接的电阻，边界MN的左侧导轨光滑，且处在竖直向下、磁感应强度的匀强磁场中，右侧导轨粗糙且足够长。在导轨上面搁置质量不计的洒水盒，盒内装有质量的水，洒水盒的底部固定一长度为、电阻、质量的金属杆，杆与边界的相距，以杆的位置为坐标原点，沿导轨方向建立x轴坐标。现在打开洒水盒开始洒水，同时施加水平向右的拉力，使洒水盒沿导轨开始做加速度的匀加速运动。已知盒中流出水的质量与位置的关系式为：，当盒中的水洒完或者杆经过边界时，则立即撤去拉力，整个过程杆与导轨始终接触良好，忽略盒的宽度，杆和盒与右侧导轨之间的动摩擦因数，重力加速度取。
（1）求洒水盒停止运动时，金属杆的位置坐标；
（2）若洒水盒中初始装水的质量为，求停止运 动时金属杆的位置坐标。
【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）当金属杆运动到边界时，设盒中流出水的质量为，则
说明金属杆运动到边界前一直做匀加速运动，设到达边界时的速度为，则
解得
金属杆经过边界后，力撤去，在摩擦力作用下做减速运动的加速度大小为，则
可知金属杆经过边界后做匀减速直线运动，设洒水盒停止运动时，金属杆的位置坐标为，则有
解得
（2）设的水洒完时位移为，速度为，则
解得
根据运动学公式有
解得
设金属杆到达边界时的速度为，水流完后（拉力撤去），金属杆继续运动到边界的过程中，由动量定理可得
又
联立解得
设停止运动时金属杆的位置坐标为，则
解得
5．（2022·四川内江·三模）如图，两根平行光滑的金属导轨M1N1P1和M2N2P2，由四分之一圆弧与水平两部分构成，导轨的末端固定两根绝缘柱，弧形部分的半径r=0.8m、导轨间距L=1m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小为B=2T的匀强磁场中，两根完全相同的金属棒a、b分别垂直于导轨，静置于圆弧顶端M1M2处和水平导轨中的某位置，两金属棒的质量均为m=1kg、电阻均为R=2Ω。现将金属棒a由静止释放，沿圆弧导轨滑入水平导轨，此后，金属棒b向右运动，在导轨末端与绝缘柱发生碰撞且无机械能损失，在金属棒b接触绝缘柱之前两棒已匀速运动且未发生碰撞。金属棒b与绝缘柱发生碰撞后，在距绝缘柱x =0.5m的AA2位置与金属棒a发生碰撞，碰后停在距绝缘柱：x2=0.2m的A3A4位置。整个运动过程中金属棒与导轨接触良好，导轨电阻不计，g=10m/s2，不计空气阻力。求：
（1）金属棒a刚滑人水平导轨时，受到的安培力大小；
（2）金属棒b与绝缘柱碰撞后到与金属棒a碰撞前的过程中，整个回路产生的焦耳热；
（3）金属棒a和b在碰撞过程中损失的机械能。
【答案】（1）4N；（2）3J；（3）0.64J
【规范答题】（1）金属棒a下滑运动中，则有
金属棒a将要滑入水平导轨时，产生感应电动势
回路中的电流
金属棒a受到的安培力
联立解得安培力大小
F=4N
（2）以金属棒a、b为系统，在要碰到绝缘柱之前动量守恒，由动量守恒定律可得
金属棒b与绝缘柱碰撞后等速率返回，以两金属棒为系统动量仍然守恒，可总动量是零
两金属棒相向运动到相碰，位移大小相等均为0.5m，对金属棒b由动量定理可得
由电磁感应定律可得
磁通量的变化量为
平均电流
由能量转化和守恒定律，可得焦耳热
联立解得
Q=3J
（3）金属棒a、b碰后，金属棒b减速到零的运动中，a、b两金属棒速度总等大反向，对b由动量定理可得
由电磁感应定律可得
磁通量的变化量为
平均电流
损失的机械能
由以上各式解得
E损=0.64J
6．（2022·江苏省昆山中学模拟预测）水平面内有两根足够长的平行光滑金属导轨，间距为L，两端分别通过开关接有电容为C的电容器和阻值为R的电阻，导轨间有垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m，电阻为R，长为2L的金属棒AD与导轨垂直放置，A端恰好与导轨接触，初始状态如图所示。开始时开关S1、S2均断开，定值电阻也为R，其他电阻均不计，金属棒始终与导轨接触良好。
（1）只闭合开关S2，让金属棒以初速度水平向右运动，求：开始运动时金属棒两端的电压和整个运动过程中金属棒产生的焦耳热。
（2）若金属棒的电阻不计，闭合开关S1、S2，让金属棒绕A端以角速度ω匀速转过90°的过程中，求通过电阻R的电荷量。
【答案】（1） ；；（2）
【规范答题】（1）导轨间金属棒的感应电动势为
则金属棒两端电压（电阻R两端的电压）为
电路中产生的总的焦耳热为
金属棒产生的焦耳热
（2）金属棒转过60°过程中，由法拉第电磁感应定律可得
而
平均感应电流
通过R的电荷量
金属棒转过60°时的电动势
2
则此时电容器所答的电荷量为
金属棒转过60°后，电容器迅速放电，通过R上的电荷量
金属棒转过90°的过程中，通过电阻R的上电荷量
7．（2022·安徽淮北·二模）如图所示，固定的平行金属导轨由水平导轨和竖直放置的四分之一圆弧导轨组成，水平导轨足够长，圆弧导轨半径r=0.8m，导轨间距L=1.0m，水平导轨与圆弧导轨在底端平滑连接。整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1T。导体棒PQ、MN的质量分别为m1=2.0kg、m2=1.0kg，电阻分别为R1=3.0、R2=1.0，导体棒PQ与导轨间动摩擦因数=0.4，先将MN锁定在圆弧导轨顶端。对导体棒PQ施加一个水平向左、大小F=9N的恒力作用，使其沿水平导轨从静止开始运动，经过时间t=9s棒PQ恰好达到最大速度；然后将PQ棒锁定，并解除MN棒的锁定，同时给MN棒一个v=4m/s的竖直向下的初速度，该棒恰好能够沿圆弧导轨一直匀速下滑。不计导轨电阻，导体棒MN、PQ与导轨始终垂直且保持良好接触。重力加速度g取10m/s2。求：
（1）导体棒PQ运动过程中达到的最大速度；
（2）导体棒PQ从静止达到最大速度经过的位移；
（3）导体棒MN沿圆弧导轨下滑的过程中，MN克服摩擦力做的功。
【答案】（1）4m/s；（2）4m；（3）7.372J
【规范答题】（1）金属棒PQ先做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，金属棒达到最大速度，此后开始做匀速直线运动，设最大速度为vm，则速度达到最大时有
又
解得
（2）对PQ棒从静止达到最大速度的过程应用动量定理可得
其中
故安培力的冲量为
联立以上各式解得
（3）导体棒MN沿圆弧导轨下滑的过程中，导体棒MN垂直于磁场方向的有效切割速度为
（为导体棒MN的速度与竖直向下方向的夹角）
设导体棒MN做匀速圆周运动角速度为，则
感应电动势
故导体棒MN沿圆弧导轨下滑的过程中，电路中产生的是正弦交流电，故感应电动势的有效值为
经过的时间
根据焦耳定律可得回路中产生的焦耳热为
MN下滑过程中根据动能定理可得
解得导体棒MN克服摩擦力做功为
8．（2022·上海·曹杨二中二模）如图a，两光滑金属导轨MN、MN相距L平行放置，导轨平面与水平面成θ夹角，MM、NN间分别连接阻值为R的电阻。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场区域的宽度均为d，相邻磁场间的无磁场区域的宽度均为s。一质量为m、阻值为R的金属棒ab跨放在两导轨上，从磁场区域Ⅰ上边界上方某处由静止释放，金属棒下滑过程中始终垂直于导轨且与导轨接触良好。导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。
（1）若金属棒能匀速通过磁场区域Ⅰ，求金属棒静止释放处距区域Ⅰ上边界的距离x1；
（2）在（1）的条件下，求金属棒通过区域Ⅰ的过程中产生的热量Q；
（3）若金属棒在相邻磁场间无磁场区域中运动的时间均为t，求金属棒静止释放处与区域Ⅰ上边界的距离x2；并在图b中定性画出其自静止开始运动到区域Ⅲ下边界过程中的v-t图线。
【答案】（1）；（2）；（3），
【规范答题】（1）若棒ab以速度v匀速通过磁场区域Ⅰ，则在此过程中产生感应电动势
闭合回路的总电阻
则通过金属棒的电流
金属棒ab进入磁场受到的安培力为
。
因为金属棒匀速进入磁场区域Ⅰ，所以由受力可知
即
解得金属棒到区域Ⅰ上边界的速度
从静止释放到区域Ⅰ上边界的过程，机械能守恒。故
解得
（2）设棒ab匀速通过区域Ⅰ过程用时为t，流经棒的电流为I，则此过程中金属棒上产生的热量
两个电阻上产生的热量为
由此可知
由能量的转化与守恒定律可知，机械能的减少量等于回路中产生的总热量，即
因此
解得
（3）设导体棒进入磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ时的速度分别为、、，出磁场的速度分别为、、，通过无磁场区域用时均为t，导体棒在无磁场区域，由牛顿第二定律
得
由匀变速运动规律可得
，
解得
，
即导体棒每次进入磁场的速度相等，每次出磁场的速度也相等。
导体棒离开磁场Ⅰ到进入磁场Ⅱ的过程中，由匀变速运动规律得
，
解得
进入磁场Ⅱ时的速度与进入磁场Ⅰ时的速度相等，所以
由静止释放到区域Ⅰ上边界的过程，做匀变速直线运动，故
因此
金属棒ab由静止释放直至运动到区域Ⅲ下边界过程中的图，如图所示
9．（2022·上海徐汇·三模）两根足够长、互相平行的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，顶端接有阻值为R的电阻，导轨电阻不计。导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，质量为m、电阻也为R的金属棒在导轨上静止下落，运动过程中，棒与导轨接触良好。求：
（1）通过R的电流方向（向左还是向右）；
（2）分析说明棒的运动情况；
（3）R上最大的电功率；
（4）当R上电功率达到后，分析说明棒的机械能是否随下落高度均匀变化。
【答案】（1）向左；（2）导体棒向下先做加速度减小的加速运动，最后匀速运动；（3）；（4）MN棒的机械能随下落高度均匀变化
【规范答题】（1）根据右手定则可知，MN中的感应电流从M到N，通过R的电流方向向左；
（2）开始时导体棒向下加速运动，随速度的增加，感应电流变大，导体棒受向上的安培力增加，根据
mg-F安=ma
可知加速度逐渐减小，当安培力等于重力时加速度减为零，此时导体棒的速度达到最大，以后保持该速度做匀速下降，即导体棒向下先做加速度减小的加速运动，最后匀速运动。
（3）当速度达到最大时满足
mg=F安=BIL
则R上最大的电功率
（4）当R上电功率达到后，导体棒将匀速向下运动，导体棒的动能不变，重力势能逐渐减小，即机械能逐渐减小，机械能的减小量等于克服安培力做功，即
即MN棒的机械能随下落高度均匀变化。
10．（2022·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，甲、乙两水平面高度差为2h，甲水平面内有间距为2L的两光滑金属导轨平行放置，乙水平面内有间距分别为2L、L的光滑金属导轨平行放置，光滑的绝缘斜导轨紧挨甲、乙两个平面内的水平轨道放置，斜轨道的倾角为53°，斜轨道底端有一小段高度可忽略的光滑圆弧与金属导轨平滑连接。水平面甲内轨道左端连接一充满电的电容器C，右边缘垂直轨道放置长度为2L，质量为m，电阻为R的均匀金属棒ab，在水平面乙内垂直间距为L的轨道左端放置与ab完全相同的金属棒cd，导轨MM'与NN'、PP'与QQ'均足够长，所有导轨的电阻都不计。所有导轨的水平部分均有竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，斜面部分无磁场。闭合开关S，金属棒αb迅速获得水平向右的速度做平抛运动，刚好落在斜面底端，没有机械能损失，之后沿着水平面乙运动。已知重力加速度为g，，。求：
（1）金属棒ab做平抛运动的初速度v0；
（2）电容器C释放的电荷量q；
（3）从金属棒ab开始沿水平面乙内的光滑轨道运动起，至匀速运动止，这一过程中金属棒ab上产生的热量。
【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）金属棒ab落到斜面底端时，在竖直方向上有
解得
由几何关系
解得
（2）金属棒ab弹出瞬间，根据动量定理得
又因为
联立解得电容器C释放的电荷量为
（3）金属棒ab落在水平轨道时，根据动能定理有
解得
最终匀速运动时，电路中无电流，所以金属棒ab和金属棒cd产生的感应电动势相等，即
此过程中，对金属棒ab根据动量定理得
对金属棒cd分析，根据动量定理得
解得
该过程中ab、cd产生的总热量为
解得
因cd棒接入电路中的电阻为ab棒的二分之一，则ab棒上产生的热量为