江苏省江阴市青阳镇2023-2024学年九年级下学期数学下学期3月份检测试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 4C. ±4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的性质，互为倒数的两个数的乘积为1，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是正确的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是错误的；
故选：B
2. 函数中，自变量x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意，得，
解得．
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂除法，积和幂的乘方，合并同类项，根据同底数幂除法，积和幂的乘方，合并同类项法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误正确，符合题意；
故选：．
4. 下列各点，在一次函数图象上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了在一次函数的定义：求一次函数自变量或函数值， 把每个选项是坐标代入，若左右两边的值相等，即为一次函数图象上的点，即可作答．
【详解】解：A、把代入，得，不相等，故不符合题意；
B、把代入，得，不相等，故不符合题意；
C、把代入，得，相等，故符合题意；
D、把代入，得，不相等，故不符合题意；
故选：C
5. 二次函数的图象与x轴公共点的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：令，则
∴二次函数0的图象与x轴有1个公共点．
故选B．
6. 在中，，，，则的长为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角函数的定义以及勾股定理，先根据三角函数的定义求出，再利用勾股定理即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
7. 已知圆的半径为3，某直线到圆心的距离是2，则此直线与圆的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相切C. 相离或相切D. 相交
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和相交；直线和相切；直线和相离．根据题意，圆心到直线的距离2小于3，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法得到直线与圆的位置关系．
【详解】圆的半径为3，某直线到圆心的距离是2，则圆心到直线的距2离小于3，所以直线与圆相交．
故选：D．
8. 在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，、熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．根据矩形的性质分析即可．
【详解】解：如图，
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
故B、C、D正确，A不一定正确．
故选：A．
9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，则使的x的取值范围是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】当y1＞y2时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方；由图知：符合条件的函数图象有两段：①第一象限，x＞2时，y1＞y2；②第三象限，-1＜x＜0时，y1＞y2．
【详解】解：从图象上可以得出：
在第一象限中，当x＞2时，y1＞y2成立；
在第三象限中，当-1＜x＜0时，y1＞y2成立．
所以使y1＞y2的x的取值范围是x＞2或-1＜x＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
10. 如图，正方形中，E是上一点，将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③的外心是定点；④若正方形边长为2，E为的中点，则点C到直线的距离为1．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据翻折可知，，再根据角平分线定义得，进而得出，即可判断①；过点B作，交于点P，再证明，可得，，然后证明，即可说明②；在②的前提下，延长交于点Q，可得四边形是平行四边形，对角线交点与正方形对角线交点重合，再根据平行线分线段成比例可知过点O的直线垂直平分，即垂直平分，然后根据的垂直平分线过点O，可知的外心是点O，判断③；由②可知，再说明，可得，即就是点C到直线的距离，根据锐角三角函数求出，，即可得出答案，判断④．
【详解】根据翻折可知，点A和点F关于对称，
∴．
∵是的平分线，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
所以①正确；
过点B作，交于点P，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
所以②正确；
在②的前提下，延长交于点Q，
∵，，
∴四边形是平行四边形，对角线交点O与正方形对角线交点重合．
过点O作直线，
∴．
∴垂直平分，即垂直平分．
∵的垂直平分线过点O，
∴的外心是点O．
所以③正确；
由②可知，
∵，，，
∴，
∴
∴，即就是点C到直线距离．
∵，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∴，
∴．
所以④不正确．
正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，翻折的性质，外心，锐角三角函数，勾股定理，平行四边形的性质和判定等，合理构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
11. 分解因式：x2-16= ________________．
【答案】（x-4）（x+4）
【解析】
【分析】利用平方差公式进行分解即可
【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
12. 据统计，2023年无锡市国内生产总值（GDP）约为15 500亿元，数据15 500用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故答案为：
13. 请用字母表示有理数减法法则：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了用字母表示数和有理数减法法则，根据减去一个数等于加上这个数的相反数即可解答．
【详解】解：用字母表示有理数减法法则为：，
故答案为：
14. 底面圆半径为2，高为4的圆锥的侧面展开图的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查圆锥的侧面展开图，关键是根据圆锥的侧面展开图解答．根据圆锥的侧面展开图的面积即为扇形面积解答即可．
【详解】圆锥的侧面展开图是扇形，
∵底面圆半径为2、高为4的圆柱体，
∴圆锥的母线长为，
∴圆锥的侧面展开图的面积为：，
故答案为：．
15. 请写出一个二元一次方程，使得它的一个解为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程，根据二元一次方程的解使方程左右两边值相等进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，是二元一次方程，且满足它的一个解为
故答案为：（答案不唯一）
16. 圆内接正十二边形的一个内角的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查多边形的计算，首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．正确理解内角与外角的关系是解题的关键．
【详解】解：正十二边形的每个外角的度数是：，
∴每一个内角的度数是：．
故答案为：．
17. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于大约1500年前，其中一道题的原文：“今三人共车，两车空；两人工车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人乘车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各有多少？上述问题中车有______辆．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设有人，辆车，根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设有人，辆车．
根据题意，得
解得．
即上述问题中车有15辆．
故答案为：15
18. 在中，，，，D为的中点，P为边上一点，将绕点D逆时针旋转得线段，点P的对应点是点Q，当A、Q、D三点在同一直线上时的长为______．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，旋转的性质等知识，综合性较强．当A、Q、D三点在同一直线上时，连接，延长到E，使，连接．先证明，进而证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，即可求出．
【详解】解：如图，当A、Q、D三点在同一直线上时，连接，延长到E，使，连接．
∵绕点D逆时针旋转得线段，
∴．
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
三、解答题（本大题共10小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算、特殊角的三角函数值、零指数幂及同分母分式的减法，熟记特殊角的三角函数值并熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据绝对值、零指数幂的性质，代入特殊角的三角函数值化简，再计算加减法即可；
（2）根据同分母分式的减法法则计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
．
20 （1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，以及解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把二项式的系数化1，再运用公式法进行解方程，即可作答．
（2）分别算出每个不等式的解，再取公共部分，即可作答．
【详解】解：（1）
把二项式的系数化1，得
则
∴，；
（2）
由，得
由，得
∴不等式组的解集为
21. 如图，在中，E、F为对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，结合条件活用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．连接，交于点，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
【详解】如图，连接，交于点，

∵四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
，
∵，
∴四边形是平行四边形．
22. 如图是某商店在第1周—第5周销售甲、乙两种品牌空调的销量的折线统计图（单位：台）．
（1）这段时间内甲品牌空调的周销量的平均数是 （台），方差是 （台2），乙品牌空调的周销量的平均数是 （台），方差是 （台2）．
（2）若商店以后只打算销售一种品牌的空调，根据计算结果及折线统计图，请运用统计知识给该商店提出建议，并说明理由．
【答案】（1）10，4，10，0.8
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了求平均数、方差，运用平均数、方差做决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用平均数和方差公式进行；列式，代入数值进行计算，即可作答．
（2）运用平均数、方差的意义，且结合统计知识给该商店提出建议，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，甲的平均数：
甲的方差：
乙的平均数：
乙的方差：
故答案为：10，4，10，0.8
【小问2详解】
解：由（1）知，甲、乙的平均数都是10，但甲的方差4大于乙的方差0.8，
则给该商店提出建议：商店以后只打算销售一种乙品牌的空调，理由是销售稳定性好．
23. 如图，电路中有A、B、C、D共4个开关和1个小灯泡，闭合开关A或同时闭合开关B、C、D都能使小灯泡发光．
（1）若闭合4个开关中的一个开关，小灯泡发光的概率是 ．
（2）请用列表或画树状图等方法求出同时闭合两个开关能使小灯泡发光的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式以及列表或画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据图形信息，关闭一个开关且当关闭开关才能让小灯泡发光，即可作答．
（2）画树状图把所有情况列举出来，再把满足条件的情况数除以总情况数，即可作答．
【小问1详解】
解：∵电路中有A、B、C、D共4个开关和1个小灯泡，闭合开关A或同时闭合开关B、C、D都能使小灯泡发光
∴关闭一个开关且当关闭开关才能让小灯泡发光
则闭合4个开关中的一个开关，小灯泡发光的概率是，
故答案为：
【小问2详解】
解：依题意，画树状图如下：
总共有12种情况，满足同时闭合两个开关能使小灯泡发光的有种
则同时闭合两个开关能使小灯泡发光的概率
24. 如图，点D是中边上的定点．
（1）请在图1中作图：①过点D作的垂线l；②连接，作的垂直平分线交l于点O；③作以O为圆心的圆，使其恰好经过点D；（作图使用无刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并标记字母l、O ）
（2）在（1）中所作的图形中，若，，，则点O恰好在边上，则此时的半径为 ．（如需画草图分析，请使用图2）
【答案】（1）图见详解；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查作垂直平分线，勾股定理，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的性质：
（1）根据垂直平分线的判定直接画图即可得到答案；
（2）连接，根据勾股定理求出，结合垂直平分线得到，结合，得到即可得到，即可得到，结合勾股定理求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：以D为圆心，为半径画圆交与一点，再分别以这点及点为圆心画圆弧交于两点连线即可得到垂线，分别以，为圆心画圆弧交于两点连线交于一点即为O点，最后以O点为圆心为半径画圆如图所示，
；
【小问2详解】
解：连接，
∵，，，
∴，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中由勾股定理得，
∴，
解得：，
故答案为：．
25. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）6
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形的三线合一即可解决问题；
（2）利用圆内接四边形的性质得出，结合已知条件证明，可得，由此即可解决问题．
【小问1详解】
连接，如图，

∵为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
小问2详解】
连接DE，如图，
∵
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
26. 某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象．
（1）当时，求出此时y与x的函数关系式；
（2）求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润．
【答案】（1）
（2）该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用—销售盈利问题，待定系数法进行求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答．
（2）先根据利润等于单件利润乘上数量，得，根据二次函数的性质，即开口向下，当，有最小值，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，设y与x的函数关系式为
在时，经过，
则有
解得
∴；
【小问2详解】
解：设利润为，依题意
当时，，
∵，随的增大而增大，
当时，有最大值，且为；
当，得
∵
∴开口向下，当， 有最小值，
且为
∵
∴该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润
27. 如图1，已知二次函数的图象经过点，对称轴与轴交于点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图2，直线：经过点，点是二次函数图象上一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征可得的值，根据对称轴可得的值，即可得解；
（2）根据待定系数法确定直线的解析式为，得到，，确定直线的解析式为，过点作，交轴于点，可得，，确定直线的解析式为，根据对称性可得直线垂直平分，设，，确定直线的解析式为，继而得到，根据中点坐标公式得到，最后根据函数图象上点的坐标特征得到，求解后可得结论．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点，对称轴与轴交于点，
∴当时，得；，得：，
∴此二次函数的表达式为；
【小问2详解】
∵直线：经过点，设直线与轴交于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，得，
∴，
∴，
过点B作，交y轴于点C，
∵，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵二次函数图象上的点关于直线的对称点在直线上，
∴直线垂直平分，
∴，点是的中点，
设，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
可得方程组，
解得：，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点在二次函数的图像上，
∴，
解得：或，
当时，得，则，
当时，得，则，
∴求点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，对称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，一元一次方程的应用等知识点．掌握待定系数法确定函数解析式及对称的性质是解题的关键．
28. 如图，中，，，点为平行四边形边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得线段，点的对应点是．
（1）如图1．
①当，点落在直线或直线上时，直接写出此时的长为 ；
②连接，求证：的面积是一个定值．
（2）如图2，当时，连接，将绕点逆时针旋转得线段，点的对应点是．直接写出是等腰三角形时的值．
【答案】（1）①；②见解析
（2）的长为 或
【解析】
【分析】（1）①当在上时，分别画出图形，得出是等腰直角三角形，进而根据勾股定理，即可求解；
②过点作交于点，过点作于点，证明，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
（2）分，当时，两种情况，分别画出图形，即可求解．
【小问1详解】
解：①如图所示，当在上时，
∵
∴
∵，，
∴；
当在上时，如图所示，
∵，，
∴，
∵，四边形是平行四边形
∴
∴
在中，，
故此情况不存在；
综上所述，，
故答案为：．
②是定值；
如图所示，过点作交于点，过点作于点，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，添加辅助线如图所示，
同理可得，
∴，
又
∴
∴到的距离为的长，即，
延长交于点，则是等腰直角三角形，
∴，
同理可得是等腰直角三角形，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
又∵，
∴
∴；
当时，
如图所示，
在中，
在中，
当时，如图所示，
设交与点，交于点，
∵，则
∴
∴
又∵，
∴
又∵
∴
∵
∴垂直平分
∴
∴
过点，分别作的垂线，垂足分别为，
∴四边形是矩形，，
又∵是等腰直角三角形，
∴
∴
综上所述：的长为 或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．