2022年广东省深圳市南山区育才三中中考数学一模试卷

这是一份2022年广东省深圳市南山区育才三中中考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列实数中，无理数是
A．0B．C．D．
2．（3分）据国家卫生健康委员会发布，截至2022年2月26日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗311966.4万剂次，将“311966.4万”用科学记数法表示为
A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
4．（3分）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A．B．C．D．
5．（3分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：10，7，6，9，8，9，5，这组数据的中位数和众数分别是
A．7，9B．9，9C．8，9D．9，8
6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，在中，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为
A．B．C．D．
8．（3分）设的整数部分为，小数部分为，则的值是
A．6B．C．1D．
9．（3分）如图，在中，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动到点，动点同时从点出发，以的速度沿折线方向运动到点．设的面积为，运动时间为，则下列图象能反映与之间关系的是
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，，，点在边上（与、不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若，则代数式的值为 ．
12．（3分）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，长为半径在内画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④作射线交于点．若，．则的度数为 ．
13．（3分）校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处，测得树顶端的仰角为．已知点的高度为4米，台阶的坡度为（即，且、、三点在同一条直线上．根据以上条件求出树的高度为 米．（测倾器的高度忽略不计）．
14．（3分）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数的图象经过的顶点和边的中点，如果的面积为9，那么的值是 ．
15．（3分）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接、．则线段长的最小值为 ．
三、解答题
16．（5分）计算：．
17．（6分）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
18．（7分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图，请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 人；
（2）图2中是 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校600名九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为、、、随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中的概率．
19．（9分）某花店用3600元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低，则可以多购买该花卉20盆．市场调查反映，该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆．若调整价格，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆．
（1）该花卉每盆批发价是多少元？
（2）若每天所得的销售利润为200元时，且销量尽可能大，该花卉每盆售价是多少元？
（3）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过5元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？
20．（8分）如图，是上一点，点在直径的延长线上，且是的切线，交的延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
21．（10分）如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连接、、、．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当的面积等于的面积的时，求的值．
（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）（1）【问题发现】
如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．
填空：
①线段与的数量关系为 ；
②直线与所夹锐角的度数为 ．
（2）【拓展探究】
如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）【解决问题】
如图③，和都是等腰直角三角形，，，为的中点．若点在直线上运动，连接，则在点的运动过程中，线段长的最小值为 （直接写出结果）．
2022年广东省深圳市南山区育才三中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，无理数是
A．0B．C．D．
【解答】解：0，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数是．
故选：．
2．（3分）据国家卫生健康委员会发布，截至2022年2月26日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗311966.4万剂次，将“311966.4万”用科学记数法表示为
A．B．
C．D．
【解答】解：311966.4万．
故选：．
3．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：，
选项不符合题意；
，
选项符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
故选：．
4．（3分）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：．
5．（3分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：10，7，6，9，8，9，5，这组数据的中位数和众数分别是
A．7，9B．9，9C．8，9D．9，8
【解答】解：将数据从小到大排列：5，6，7，8，9，9，10，最中间的数是8，
则中位数是92；
出现了2次，出现的次数最多，
众数是9；
故选：．
6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为
A．B．
C．D．
【解答】解：设绳长尺，木长为尺，
依题意得，
故选：．
7．（3分）如图，在中，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，如图，
为切线，
，
，
，
．
故选：．
8．（3分）设的整数部分为，小数部分为，则的值是
A．6B．C．1D．
【解答】解：，
，
，
的的整数部分为，小数部分为，
．
故选：．
9．（3分）如图，在中，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动到点，动点同时从点出发，以的速度沿折线方向运动到点．设的面积为，运动时间为，则下列图象能反映与之间关系的是
A．B．
C．D．
【解答】解：（1）过点作于点，
①如图1，当点在上运动时，即，
由题意知、，
，
，
则；
②如图2，当点在上运动时，即，此时点与点重合，
由题意知、，
，
，
则；
故选：．
10．（3分）如图，，，点在边上（与、不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
故②正确；
，，
，
故③正确；
，，
，
，
，
故④正确；
正确的是①②③④，共4个．
故选：．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若，则代数式的值为 10 ．
【解答】解：，
，
，
故答案为：10．
12．（3分）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，长为半径在内画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④作射线交于点．若，．则的度数为 ．
【解答】解：，，
，
由作法得，
．
故答案为．
13．（3分）校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处，测得树顶端的仰角为．已知点的高度为4米，台阶的坡度为（即，且、、三点在同一条直线上．根据以上条件求出树的高度为 12 米．（测倾器的高度忽略不计）．
【解答】解：台阶的坡度为（即，
，
在中，米，，
（米，
，
在中，米，，
（米，
在中，（米，
（米，
即树高为12米，
故答案为：12．
14．（3分）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数的图象经过的顶点和边的中点，如果的面积为9，那么的值是 6 ．
【解答】解：过作于，
点在反比例函数的图象上，
设，
的面积为9，
，
，，
点是的中点，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
故答案为：6．
15．（3分）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接、．则线段长的最小值为 ．
【解答】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，
，
，
在与中，
，
，
，
正方形中，，是边的中点，
，
，
，
，
，
线段长的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
16．（5分）计算：．
【解答】解：原式
．
17．（6分）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
【解答】解：原式
，
不等式组，
解得：，
不等式组的整数解是或1或0或2，
当，1，0时，原式没有意义；
当时，原式．
18．（7分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图，请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 40 人；
（2）图2中是 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校600名九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为、、、随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中的概率．
【解答】解：（1）自主学习的时间是1小时的有12人，占，
则本次调查的学生人数是（人，
故答案为：40；
（2），
自主学习的时间是1.5小时的人数有：（人；
补全统计图如下：
故答案为：54；
（3）（人，
答：估算该校600名九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有330人．
故答案为：330；
（4）根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的有6种，
选中的概率是．
19．（9分）某花店用3600元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低，则可以多购买该花卉20盆．市场调查反映，该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆．若调整价格，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆．
（1）该花卉每盆批发价是多少元？
（2）若每天所得的销售利润为200元时，且销量尽可能大，该花卉每盆售价是多少元？
（3）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过5元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？
【解答】解：（1）设该花卉每盆批发价是元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：该花卉每盆批发价是20元．
（2）设该花卉每盆售价是元，由题意得：
，
化简得：，
解得：，，
销量尽可能大，
．
答：该花卉每盆售价是30元．
（3）设该花卉一天的利润是元，每盆售价是元，由题意得：
．
每盆花卉涨价不超过5元，
．
时，随的增大而增大，
当时，有最大值为200．
答：该花卉一天最大的销售利润是200元．
20．（8分）如图，是上一点，点在直径的延长线上，且是的切线，交的延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接、，
，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，
与相切于点，
，
，，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：如图，设的半径为，
是的直径，
，
，
，，
，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
的半径为．
21．（10分）如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连接、、、．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当的面积等于的面积的时，求的值．
（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标，得直线的表达式为：，
如图所示，过点作轴的平行线交直线于点，
设点，则点，
则，
，
即：，
解得：或3（舍去，
故；
（3）当时，点，
设点，点，则①，
①当是边时，
点向左平移1个单位向上平移个单位得到点，同样点向左平移1个单位向上平移个单位得到点，
故，
解得（舍去）或0或；
故点的坐标为或，或，；
②当是对角线时，
由中点公式得：，③，
联立①③并解得（舍去）或8，
故点的坐标为；
综上，点的坐标为或，或，或．
22．（10分）（1）【问题发现】
如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．
填空：
①线段与的数量关系为 ；
②直线与所夹锐角的度数为 ．
（2）【拓展探究】
如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）【解决问题】
如图③，和都是等腰直角三角形，，，为的中点．若点在直线上运动，连接，则在点的运动过程中，线段长的最小值为 （直接写出结果）．
【解答】解：（1）连接，
四边形、是正方形，
，
点、、三点共线，
，，
，
故答案为：，；
（2）仍然成立，连接，，
，
，，
，
，，
，
（1）中的结论仍然成立；
（3）连接，
，
，
，，
，
，
，
当时，最小，
，为的中点．
，
，
，
故答案为：．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/9 17:11:31；用户：刘聪；邮箱：18576686425；学号：24075133