上海市向明中学2022-2023学年高一上学期10月质量监控数学试题-

这是一份上海市向明中学2022-2023学年高一上学期10月质量监控数学试题-，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．已知集合，则的真子集的个数为_________.
2．若，则实数_________.
3．已知全集，设集合，，则_________.
4．已知集合有且仅有两个子集，则实数______.
5．若方程的两根为，，且，则___________.
6．已知集合，，若，则实数m的取值范围______________
7．若不等式的解集是，则不等式的解集为______．
8．若“对任意，”是假命题，则实数的取值范围是_______.
9．已知实数满足：，，则的最大值为_______.
10．若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________
11．在中，已知，点为边上一动点，且点到边的距离分别是，则的最小值为______.
12．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．
二、单选题
13．下列表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
14．下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
15．设，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要
16．设全集，给出条件：①；②若，则；③若，则.那么同时满足三个条件的集合的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
三、解答题
17．命题：“任意，”，命题：“存在，使”.
(1)写出命题的否定命题形式，并求当命题为真时，实数的取值范围；
(2)若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
18．已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围.
(2)命题：，命题：，且是的必要非充分条件，求实数的取值范围；
19．已知正数a，b满足.
(1)求的最小值；
(2)求证：不小于25.
20．已知关于的不等式，其中.
(1)当时，求不等式的解集A；
(2)若，试求不等式的解集B；
(3)若原不等式的解集C中所含整数最少，求C中的最小整数，以及实数的取值范围.
21．设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合为的自邻集.记为集合的所有自邻集中最大元素为的集合的个数.
(1)直接判断集合和是否为的自邻集；
(2)比较和的大小，并说明理由；
(3)求证：.
参考答案：
1．7
【分析】利用集合的真子集个数的公式直接求解即可.
【详解】因为集合，
所以的真子集的个数为个，
故答案为：7
2．或##或
【分析】由，可得或，分三种情况讨论即可求解.
【详解】解：因为，所以或，即或，
当时，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去；
当时，符合题意；
当时，符合题意.
故答案为：或.
3．.
【分析】根据补集和交集的定义即可得到答案.
【详解】由题意，，所以.
故答案为：.
4．或##或
【分析】根据集合有且仅有两个子集，转化为方程有一个解或两个相同的实数根即可.
【详解】集合有且仅有两个子集，
方程有一个解或两个相同的实数根即可，
当时，，符合题意；
当时，；
所以实数或.
故答案为：或.
5．12
【分析】利用根与系数关系列方程求m，注意验证.
【详解】由题设，，而，则，
所以，此时满足题设，
所以.
故答案为：12
6．
【分析】由得到，然后分B为空集和不是空集讨论，当B不是空集时利用端点值的关系列不等式求解．
【详解】解：，，
由，
，
当时，满足，
此时，
；
当时，
，
则，
解得．
综上，．
故答案为：．
7．
【分析】根据不等式的解集求得的值，把不等式化为，结合不等式的解法，即可求解.
【详解】由题意，不等式的解集是，
可得和是一元二次方程的两个实数根，
所以，解得，，
所以不等式化为，即，
解得，即不等式的解集为．
故答案为：．
8．或
【分析】把命题“对任意，”是假命题转化为与轴至少有一个交点来解即可.
【详解】“对任意，”是假命题，则与轴至少有一个交点， ，即或.
故答案为：或.
9．8
【分析】令求出m、n，再利用不等式性质求的范围，即可得最大值.
【详解】令，则，得，
所以，而，，
所以，故的最大值为8.
故答案为：8
10．或
【分析】令，依题意可得时恒成立，则，即可得到关于的一元二次不等式组，解得即可；
【详解】解：因为，所以
令，即在恒成立，即时恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式组的解集为
故答案为：
11．
【分析】根据，利用相似比得到，又有，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】如图所示，因为，可得，
所以，所以，所以，
由，所以，
又由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
12．．
【分析】先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围．
【详解】不等式可化为，
①当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；
②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；
③当时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有2个整数，，解得：；
④当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；
⑤当时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有2个整数，，解得：，
综合以上，可得：.
故答案为：．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．
13．C
【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可.
【详解】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误；
B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误；
C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确；
故选：C
14．B
【解析】根据不等式的性质或取特殊值验证即可.
【详解】解：A，令，则，故A错误；
B，由，所以，由同向不等式相加得，，故B正确；
C，令，，故C错误；
D，令，，故D错误.
故选：B
15．D
【分析】先化简两个不等式，再结合充分性与必要性概念得到结果.
【详解】由可得，或，即，或；
由可得，即，或，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D
16．C
【分析】集合中各元素的放置，由此可得出结论.
【详解】由题意可知，若，则，，；若，则，，.
此时，、、、的放置有种；
若，则；若，则，此时、的放置有种；
若，则；若，则，此时，、的放置有种.
、的放置没有限制，各有种.
综上所述，满足条件的集合的个数为.
故选：C.
17．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据全称命题的否定形式写出，当命题为真时，可转化求解即可；
（2）由（1）可得为真命题时的取值范围，再求解为真命题时的取值范围，分真和假，假和真两种情况讨论，求解即可
（1）
由题意，命题：“，”，
命题的否定形式为：“，”
当命题为真时，即“任意，”恒成立，则
，.
（2）
由（1）若为真命题时，，则若为假命题时，.
若命题：“，” 为真命题
则，解得，故若为假命题时，.
由题意，和中有且只有一个是真命题，
当真和假时，且，故；
当假和真时，且，故；
综上：实数的取值范围是：或，即.
18．(1)或；
(2).
【分析】（1）解绝对值不等式求集合A，解一元二次不等式求集合B，根据交集为空列不等式求参数范围；
（2）由题意，列不等式组求的范围.
（1）
由，
，
因为，则或，可得或.
（2）
由题设，则（等号不能同时成立），可得.
19．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用乘“1”法，展开后结合基本不等式即可求解；
（2）先对目标式子进行变形，结合已知条件可得，利用基本不等式可证．
（1）
因为、是正数，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最小值为．
（2）
因为正数a，b满足，所以，，，，
可变形为，
，
当且仅当、时等号成立.
故 不小于25.
20．(1)
(2)
(3)最小整数为，
【分析】（1）将代入可得，再将式子变形，因式分解，即可求出不等式的解集；
（2）依题意可得，即，再由基本不等式求出的取值范围，即可求出不等式的解集；
（3）依题意分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集，要使解集中整数最少，则，再由基本不等式，即可求出最小整数解及的取值范围.
（1）
解：当时，不等式为，即，即，解得，
即原不等式的解集；
（2）
解：因为，
所以，
因为，所以不等式可化为，
又，当且仅当，即时取等号，
或，即不等式的解集．
（3）
解：因为，
所以，
当时，原不等式化为，解得，即不等式的解集；
当时，不等式的解集；
当时，原不等式化为，
又，当且仅当，即时取等号，，
即不等式的解集，
要使原不等式的解集中所含整数最少，所以，此时不等式的解集，
又，所以，
因为，所以，所以解集中最小的整数为；
因为不等式的解集中所含整数最少，所以，解得，
所以当时解集为，解集中所含整数最少，解集中最小的整数为；
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用自邻集的定义直接判断即可；
（2）利用自邻集的定义求出的自邻集中最大元集分别为6，5，3的所有自邻集，从而可得答案；
（3）记集合所有子集中自邻集的个数为，可得，然后分：①自邻集中含这三个元素，②自邻集中含有这两个元素，不含，且不只有这两个元素，③自邻集只含有这两个元素，三种情况求解，即先证，取时，即可得证.
（1）
因为，
所以和，
因为，所以不是的自邻集，
因为
所以是的自邻集.
（2）
，
则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有{5，6}，{4，5，6}，{3，4，5，6}，{2，3，5，6}，{1，2，5，6}，{2，3，4，5，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5，6}共9个，即
其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有{4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共5个，
其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有{2，3}，{1，2，3}共2个，
所以
（3）
记集合所有子集中自邻集的个数为，由题意可得当时， ，，显然
①自邻集中含这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，因为，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素为，所以含有这三个元素的自邻集的个数为，
②自邻集中含有这两个元素，不含，且不只有这两个元素，记自邻集除之外最大元素为，则，每个自邻集中去掉这两个元素后，仍为自邻集，此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为种情况：
含有最大数为2的集合个数为
含有最大数为3的集合个数为
……，含有最大数为的集合个数为
则这样的集合共有，
③自邻集只含有这两个元素，这样的自邻集只有1个，
综上可得
因为，，
所以，
所以，所以，故当时，得：.
【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合子集的有关知识，考查分析问题的能力，解题的关键是对集合新定义的理解，考查理解能力，属于较难题