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2023-2024学年湖南省常德市安乡县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)
展开这是一份2023-2024学年湖南省常德市安乡县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列数中，无理数的是( )
A. 16B. 3−27C. πD. 3.1415926
2.如果|a|>|b|，那么下列结论一定正确的是( )
A. a+1
3.下列长度的三条线段不能组成三角形的是( )
A. 1、2、3B. 2、3、4C. 3、4、5D. 5、6、7
4.若分式(x+3)(x−4)x2−16的值为零，则x的值为( )
A. 4或−4B. −3C. −3或4D. 4
5.下列运算正确的是( )
A. ( 6− 2)( 6+ 2)=2B. (−1)3=−3
C. x8÷x2=x4D. 38=4
6.如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N.作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB=8，AC=13，BC=4，则△ABD的周长为( )
A. 25
B. 21
C. 16
D. 17
7.临近春节，某机械厂要加速生产一批零件，现在平均每天生产零件比原计划平均每天多生产400个，现在生产7000个零件所需时间与原计划生产5000个零件所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少个零件？设原计划平均每天可生产x个零件，则下面所列方程正确的是( )
A. 5000x=7000x+400B. 7000x=5000x+400C. 5000x=7000x−400D. 5000x−400=7000x
8.如图，AD是∠BAC的角平分线，∠ADB=100∘，∠DBC=25∘，∠C=53∘，则∠DBA是( )
A. 52∘B. 42∘C. 58∘D. 32∘
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.比较大小：−2 7______−3 3.
10.我们之所以能看见物体，是因为我们的眼睛感受到了从物体表面反射回来的可见光，可见光的光波最短约为0.00000048m，这个数用科学记数法表示为______m.
11.关于x的不等式组x>m−1x
13.如图，点C是线段BD上一点，∠A=50∘，∠B=70∘，∠D=35∘，∠DEC=______.
14.若关于x的分式方程2xx−1−3=2mx−1无解，则m=______.
15.如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE长为______.
16.如图，等腰△ABC面积为21，底边BC=6，点D，F分别是AC，BC的中点，DH⊥AC交AB于H，点E是DH上一动点，则△CEF的周长的最小值为______.
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算： (−2)2+(π−3.14)0+( 5− 2)( 5+ 2)−(14)−1.
18.(本小题5分)
解方程：4−xx−2−22−x=3.
19.(本小题6分)
解不等式组3x−4>2(x−3)2(x−1)≤x+1，并将解集在数轴上表示出来.
20.(本小题6分)
先化简，再求值：(2−4x−1)⋅x2−xx2−6x+9，其中x=4.
21.(本小题7分)
已知a是 8的整数部分，且(b−32)2+ 3−c=0，求|a2−b+4c|的平方根.
22.(本小题7分)
如图，已知AC=CE，∠1=∠2=∠3.
求证：
(1)∠B=∠D；
(2)AC是∠BAE的平分线.
23.(本小题8分)
安乡是中国酱卤之乡，某酱卤专卖店用8000元购进一批酱卤制品，很快售完，专卖店老板又用3500元购进第二批同样的酱卤制品，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了20元.
(1)这两次购进这种酱卤制品共多少件？
(2)若第一批酱卤制品的售价是200元/件，老板想让这两批酱卤制品售完后的总利润不低于4000元，则第二批酱卤制品每件至少要售多少元？
24.(本小题8分)
如图1：在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥DB，且AB=6，AD=2.
(1)若∠CAD=∠ACB，求BC的长；
(2)如图2，若AE⊥BC交BC于E，交BD于F，且△ABE为等腰三角形，求BF的长.
25.(本小题10分)
阅读材料：
在解决问题“已知a=12− 3，求3a2−12a+4的值”时，小红是这样分析与解答的：
∵a=12− 3=2+ 3(2− 3)(2+ 3)=2+ 3，
∴a−2= 3.
∴(a−2)2=3，即a2−4a+4=3.
∴a2−4a=−1.
3a2−12a+4=3(a2−4a)+4=−3+4=1.
请你根据小红的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：24+ 14；
(2)若a=33− 6，求2a2−12a+1的值.
26.(本小题10分)
已知△ABC和△DEF为等边三角形.点D在△ABC边AB上，点F在直线AC上.
(1)若点C和点F重合(如图①)，求证：AE//BC；
(2)若F在AC的延长线上(如图②)，(1)中的结论是否成立.给出你的结论并证明.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A. 16=4，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.3−27=−3，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.π是无理数，故本选项符合题意；
是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C.
根据无限不循环小数是无理数，即可求解．
本题主要考查了无理数，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵如果|a|>|b|，
∴a2−1>b2−1，
故选：D.
根据绝对值的定义，逐个选项进行分析即可得出结果．
本题主要考查了绝对值的定义，比较简单．
3.【答案】A
【解析】解：A、1+2=3，长度是1、2、3的线段不能组成三角形，故A符合题意；
B、3+2>4，长度是3、2、4的线段能组成三角形，故B不符合题意；
C、3+4>5，长度是3、4、5的线段能组成三角形，故C不符合题意；
D、6+5>7，长度是5、6、7的线段能组成三角形，故D不符合题意；
故选：A.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4.【答案】B
【解析】解：∵分式(x+3)(x−4)x2−16的值为零，
∴(x+3)(x−4)=0且x2−16=(x+4)(x−4)≠0.
∴x+3=0.
∴x=−3.
故选：B.
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题主要考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
5.【答案】A
【解析】解：A、 ( 6− 2)( 6+ 2)= 4=2，正确，符合题意；
B、(−1)3=−1，原计算错误，不符合题意；
C、x8÷x2=x6，原计算错误，不符合题意；
D、38=2，原计算错误，不符合题意．
故选：A.
分别根据平方差公式，立方根及同底数幂的除法法则对各选项进行计算即可．
本题考查的是平方差公式，立方根及同底数幂的除法，熟知以上知识是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由作图可知MN垂直平分线段BC，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=8+13=21.
故选：B.
证明△ABD的周长=AB+AC即可．
本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
7.【答案】A
【解析】解：设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产(x+400)个零件，
由题意，得5000x=7000x+400.
故选：A.
设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产(x+400)个零件，根据“现在生产7000个零件所需时间与原计划生产5000个零件所需时间相同”即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
8.【答案】C
【解析】解：连接CD，延长CD交AB于点E，如图所示.
∵∠BDE是△BCD的外角，∠ADE是△ACD的外角，
∴∠BDE=∠DBC+∠BCD，∠ADE=∠CAD+∠ACD，
∴∠BDE+∠ADE=∠DBC+∠BCD+∠CAD+∠ACD，
即∠ADB=∠DBC+∠CAD+∠ACB，
∴∠CAD=∠ADB−∠DBC−∠ACB=100∘−25∘−53∘=22∘.
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=22∘.
在△ABD中，∠BAD=22∘，∠ADB=100∘，
∴∠DBA=180∘−∠BAD−∠ADB=180∘−22∘−100∘=58∘.
故选：C.
连接CD，延长CD交AB于点E，利用三角形的外角性质，可求出∠CAD的度数，结合角平分线的定义，可求出∠BAD的度数，再在△ABD中，利用三角形内角和定理，即可求出∠DBA的度数．
本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用三角形的外角性质及角平分线的定义，求出∠BAD的度数是解题的关键．
9.【答案】<
【解析】【分析】
本题考查了实数的大小比较和二次根式性质的应用，题目比较好，难度不大．把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【解答】解：∵−2 7=− 28，−3 3=− 27，
而 28> 27，
∴−2 7<−3 3.
故答案为<.
10.【答案】4.8×10−7
【解析】解：0.00000048=4.8×10−7.
故答案为：4.8×10−7.
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】0
【解析】解：∵关于x的不等式组x>m−1x
故答案为：0.
根据不等式组的整数解仅为0，1，即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，能够理解题意得出关于m的不等式组是解题的关键．
12.【答案】−2
【解析】解：∵一个正数x的平方根是317−a和33a−1，
∴317−a+33a−1=0，
∴17−a+3a−1=0，
∴a=−8，
∴3a=3−8=−2，
故答案为：−2.
根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出317−a+33a−1=0，再根据立方根的定义得出17−a+3a−1=0，从而求出a的值，即可求出3a的值．
本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
13.【答案】25∘
【解析】解：∵∠A=50∘，∠B=70∘，
∴∠ACB=180∘−∠A−∠B=60∘，
∵∠D=35∘，∠ACB是△CDE的外角，
∴∠DEC=∠ACB−∠D=25∘.
故答案为：25∘.
由三角形的内角和可求得∠ACB=60∘，再利用三角形的外角性质即可求∠DEC的度数．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
14.【答案】1
【解析】解：将关于x的分式方程2xx−1−3=2mx−1两边都乘以x−1，得
2x−3(x−1)=2m，
解得x=3−2m，
由于分式方程有增根x=1，
当x=1时，即3−2m=1，
解得m=1.
故答案为：1.
根据分式方程的解法求出关于x的分式方程的解，再根据分式方程无解和增根的定义进行解答即可．
本题考查分式方程的解，理解分式方程解的定义，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．
15.【答案】1
【解析】【分析】
本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过P做BC的平行线至AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得ED=12AC，即可推出ED的长度．
【解答】
解：过P做BC的平行线至AC于F，
∴∠Q=∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF=∠B=60∘，∠AFP=∠ACB=60∘，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵在△PFD和△QCD中，
∠FPD=∠Q∠PDF=∠QDCPF=CQ，
∴△PFD≌△QCD(AAS)，
∴FD=CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
∴ED=12AC，
∵AC=2，
∴DE=1.
故答案为1.
16.【答案】10
【解析】解：连接AE、AF，
∵等腰△ABC面积为21，底边BC=6，
∴AB=AC，
∵点F是BC的中点，
∴AF⊥BC，CF=BF=12BC=3，
∴12×6AF=21，
∴AF=7，
∴AF+CF=7+3=10，
∵点D是AC的中点，DH⊥AC，
∴DH垂直平分AC，
∴点C与点A关于直线DH对称，
∴CE=AE，
∵AE+FE≥AF，
∴AE+FE+CF≥AF+CF，
∴CE+FE+CF≥10，
∴CE+FE+CF的最小值为10，
∴△CEF的周长的最小值为10，
故答案为：10.
连接AE、AF，由等腰△ABC面积为21，底边BC=6，得AB=AC，则AF⊥BC，CF=BF=12BC=3，由12×6AF=21，求得AF=7，由DH垂直平分AC，得CE=AE，由AE+FE≥AF，得AE+FE+CF≥AF+CF，则CE+FE+CF≥10，求得△CEF的周长的最小值为10，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2+1+5−2−4
=2.
【解析】先根据二次根式的性质、零指数幂、平方差公式和负整数指数幂的意义计算，然后进行有理数的加减运算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
18.【答案】解：4−xx−2−22−x=3，
4−x+2=3(x−2)，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x−2≠0，
∴x=3是原方程的根．
【解析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验．
19.【答案】解：{3x−4>2(x−3)①2(x−1)⩽x+1②，
由①得：3x−4>2x−6，
3x−2x>4−6，
x>−2，
由②得：2x−2≤x+1，
2x−x≤1+2，
x≤3，
∴原不等式组解集为−2
【解析】先按照解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，从而求出不等式组的解集，然后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤．
20.【答案】解：原式=2(x−1)−4x−1⋅x(x−1)(x−3)2
=2(x−3)x−1⋅x(x−1)(x−3)2
=2xx−3，
当x=4时，原式=2×44−3=8.
【解析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式=2xx−3，然后把x=4代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
21.【答案】解：∵2< 8<3，
∴ 8的整数部分是2，
即a=2，
又∵(b−32)2+ 3−c=0
∴b−32=0，3−c=0，
解得b=32，c=3，
∴|a2−b+4c|=|22−32+4×3|=|4−32+12|=|−16|=16，
∵16的平方根是±4，
∴|a2−b+4c|的平方根是±4.
【解析】运用算术平方根和非负数的知识确定出a，b，c的值，再代入求解．
此题考查了算术平方根和非负数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
22.【答案】证明：(1)∵∠D+∠1+∠DFA=180∘，∠B+∠2+∠BFC=180∘，
∴∠D+∠1+∠DFA=∠B+∠2+∠BFC，
∵∠DFA=∠BFC(对顶角)，∠1=∠2，
∴∠B=∠D；
(2)∵∠2=∠3，
∴∠2+∠ACD=∠3+∠ACD，
∴∠ACB=∠ECD，
在△ABC和△EDC中，
∠B=∠D∠ACB=∠ECDAC=EC，
∴△ABC≌△EDC(AAS)，
∴∠BAC=∠DEC，
∵AC=CE，
∴∠CAE=∠AEC=∠DEC，
∴∠BAC=∠CAE，
∴AC是∠BAE的平分线．
【解析】(1)根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解决问题；
(2)证明△ABC≌△EDC(AAS)，得∠BAC=∠DEC，利用等腰三角形的性质，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，解决本题的关键是得到△ABC≌△EDC.
23.【答案】解：(1)设第一次购进酱卤制品x件，则第二次购进酱卤制品12x件，
根据题意得：8000x−350012x=20，
解得：x=50，
经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，
∴12x=12×50=25(件)，
∴50+25=50(件).
答：这两次购进这种酱卤制品共75件；
(2)设第二批酱卤制品每件售价为y元，
根据题意得：50×(200−160)+25(y−140)≥4000，
解得：y≥220，
∴y的最小值为220.
答：第二批酱卤制品每件至少要售220元．
【解析】(1)设第一次购进酱卤制品x件，则第二次购进酱卤制品12x件，利用进货单价=进货总价÷进货数量，结合第二批的进价每件比第一批降低了20元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出第一次购进酱卤制品的数量，将其代入12x中，可求出第二次购进酱卤制品的数量，再将两次购进酱卤制品的数量相加即可求出结论；
(2)设第二批酱卤制品每件售价为y元，利用总利润=每件的销售利润×销售数量，结合这两批酱卤制品售完后的总利润不低于4000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)如图，延长AD交BC于点H.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠HBD.
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=∠HDB=90∘.
在△BAD和△BHD中，
∠ABD=∠HBDBD=BD∠ADB=∠HDB，
∴△BAD≌△BHD(ASA).
∴HB=AB=6，HD=AD=2.
∴AH=4.
∵∠CAD=∠ACB，
∴CH=AH=4.
∴BC=CH+HB=4+6=10.
(2)如图，作AE⊥CB，交DB于点F.
∴∠HAE+∠AHE=90∘，∠FBE+∠AHE=90∘
∴∠HAE=∠FBE.
∵直角△ABE为等腰直角三角形，AE⊥BC，
∴AE=BE.
在△AHE与△BFE中．
∠AEB=∠AEHBE=AE∠EBF=∠HAE，
∴△AHE≌△BFE(ASA).
∴BF=AH=4.
【解析】(1)延长AD交BC于点H，利用ASA证明△BAD和△BHD全等，可得BH=AB=6，DH=AD=2，那么AH=4.根据∠CAD=∠ACB，可得CH=AH=4，即可求得BC的长．
(2)设AE交DB于点F，利用ASA证明BF所在的△BFE和AH所在的△AHE全等即可得到BF=AH=4.
本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用．解题关键在于根据题意判断出相应的三角形全等．应注意有角平分线常常构造两个相等的角所在的三角形全等．
25.【答案】解：(1)24+ 14
=2(4− 14)(4− 14)(4+ 14)
=2(4− 14)2
=4− 14；
(2)∵a=33− 6=3(3+ 6)(3− 6)(3+ 6)=3(3+ 6)3=3+ 6，
∴a−3= 6，
∴(a−3)2=6，
即a2−6a+9=6，
∴a2−6a=−3，
∴2a2−12a+1
=2(a2−6a)+1
=−6+1
=−5.
【解析】(1)根据分母有理化的方式进行解答即可；
(2)参照所给的解答方式进行求解即可．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
26.【答案】(1)证明：∵△ABC和△DEF为等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠B=∠BCA=∠DCE=60∘，
∴∠BCD+∠DCA=∠ACE+∠DCA，即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠EAC，
∵∠B=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE//BC；
(2)若F在AC的延长线上，(1)中的结论仍然成立．
过点F作FM//BC交AB的延长线于点M，
∵△ABC为等边三角形，FM//BC，
∴∠M=∠ABC=60∘，∠AFM=∠ACB=60∘，
∴△AFM为等边三角形，
同(1)可证AE//FM，
∵FM//BC，
∴AE//BC.
【解析】(1)利用等边三角形的性质可得BC=AC，DC=EC，∠B=∠BCA=∠DCE=60∘，再根据全等三角形的判定与性质可得∠B=∠EAC，最后根据平行线的判定方法可得结论；
(2)过点F作FM//BC交AB的延长线于点M，利用等边三角形的判定与性质及平行线的性质可得结论．
此题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
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这是一份2023-2024学年湖南省常德市安乡县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省常德市安乡县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）：
这是一份湖南省常德市安乡县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。
