2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷九统计与统计案例及计数原理

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷九统计与统计案例及计数原理，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知一组数据点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(x7,y7),用最小二乘法得到其经验回归方程为=-2x+4.若数据x1,x2,x3,…,x7的平均数为1,则yi=( )
A.2B.11C.12D.14
2.在的展开式中,x2的系数为( )
A.-5B.5C.-10D.10
3. “中国梦”的英文翻译为“China Dream”,其中China又可以简写为CN,从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排,含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )
A.360种B.480种C.600种D.720种
4.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A.y=a+bxB.y=a+bx2
C.y=a+bexD.y=a+bln x
5. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )
A.120种B.90种
C.60种D.30种
6.为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关联,随机调查100名高一学生,得到如下2×2列联表.由此得出的正确结论是( )
附:χ2=
A.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“选择物理与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“选择物理与性别无关”
C.有99.9%的把握认为“选择物理与性别有关”
D.有99.9%的把握认为“选择物理与性别无关”
7.已知(1+mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,若a1+a2+a3+a4+a5=242,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=( )
A.1B.-1C.-81D.81
8.万历十二年,中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中,首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例,这十二个半音音阶称为十二平均律.十二平均律包括六个阳律(黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射)和六个阴律(大吕、夹钟、中吕、林钟、南吕、应钟).现从这十二平均律中取出两个阳律和两个阴律,排成一个序列,组成一种旋律,要求序列中的两个阳律相邻,两个阴律不相邻,则可组成不同的旋律( )
A.450种B.900种
C.1 350种D.1 800种
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9. 2020年初以来,5G技术在我国已经进入高速发展的阶段,5G手机的销量也逐渐上升,某手机商城统计了近5个月来5G手机的实际销量(单位:千部),如下表所示:
若y与x线性相关,且求得回归直线方程为=45x+5,则下列说法正确的是( )
A.a=147
B.y与x正相关
C.y与x的相关系数为负数
D.8月份该手机商城的5G手机销量约为36.5万部
10.已知(其中n<15)的展开式中第9项,第10项,第11项的二项式系数成等差数列.则下列结论正确的是( )
A.n的值为14
B.展开式中常数项为第8项
C.展开式中有理项有3项
D.二项式系数最大的项是第7项
11. A,B,C,D,E五个人并排站在一起,则下列说法正确的有( )
A.A,B两人站在一起有24种方法
B.A,B不相邻有72种方法
C.A在B左边有60种排法
D.A不站在最左边,B不站最右边,有78种排法
12.若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则( )
A.a2=180
B.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=310
C.a1+a2+…+a10=1
D.+…+=-1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知=7,那么n= .
14.为了判断高中二年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取50名学生,得到如下2×2列联表:
已知P(χ2≥3.841)=0.05,P(χ2≥5.024)=0.025.
根据表中数据,得到χ2=≈4.844,则认为选文科与性别有关犯错误的概率为 .
15.二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4= ,a1+a3+a5= .
16.为了积极稳妥疫情期间的复学工作,市教育局抽调五名机关工作人员去某街道三所不同的学校开展驻点服务,每个学校至少去一人,若甲、乙两人不能去同一所学校,则不同的分配方法种数为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)在下面两个条件中任选一个条件,补充在后面问题中的横线上,并完成解答.
条件①:“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”;
条件②:“展开式中前三项的二项式系数之和为22”.
问题:已知二项式(1+3x)n,若 (填写条件前的序号),
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求(1+3x)n(1-x)5中含x2的项的系数.
18.(12分)由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数.
(1)共可以组成多少个五位数?
(2)其中奇数有多少个?
(3)如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列,43125是第几个数?说明理由.
19.(12分)为推动更多人阅读,联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”.设立目的是希望居住在世界各地的人,无论你是年老还是年轻,无论你是贫穷还是富裕,都能享受阅读的乐趣,都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们,都能保护知识产权.为了解不同年龄段居民的主要阅读方式,某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民,经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1,将这200人按年龄分组,其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄(同一组中数据用该组区间中点值作代表);
(2)把年龄在[15,45)的居民称为青少年组,年龄在第[45,65]组的居民称为中老年组,若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人,请完成上面2×2列联表,依据α=0.025的独立性检验,能否认为阅读方式与年龄有关联?
χ2=
20.(12分)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加,为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得xi=60,yi=1 200,(xi-)2=80,(yi-)2=9 000,(xi-)(yi-)=800.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);
(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法.并说明理由.
附:相关系数r=≈1.414.
21.(12分)根据公安部交管局下发的通知,自2020年6月1日起,将在全国开展“一盔一带”安全守护行动,其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔,为的就是让大家重视交通安全.某地交警部门根据某十字路口的监测数据,从穿越该路口的骑行者中随机抽查了200人,得到如图所示的列联表:
(1)是否有97.5%的把握认为自觉戴头盔行为与性别有关?
(2)通过一定的宣传和相关处罚措施出台后,交警在一段时间内通过对某路口不戴头盔的骑行者统计,得到上面的散点图和如下数据:
观察散点图,发现两个变量不具有线性相关关系,现考虑用函数y=a+对两个变量的关系进行拟合,通过分析得y与有一定的线性相关关系,并得到以下参考数据:
请选择合适的参考数据,求出y关于x的回归直线方程.
参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.
对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线方程为u+,其中.
22.(12分)国际上常用身体质量指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康,其计算公式是BMI=.中国成人的BMI数值标准为:BMI≤18.4为偏瘦;18.5≤BMI≤23.9为正常;24≤BMI≤27.9为偏胖;BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体质量指数,研究人员从公司员工体检数据中,抽取了8名员工(编号1~8)的身高x(单位:cm)和体重y(单位:kg)数据,并计算得到他们的BMI值(精确到0.1)如表:
(1)现从这8名员工中选取3人进行复检,记抽取到BMI值为“正常”的员工的人数为X.求X的分布列及数学期望.
(2)某调查机构分析发现公司员工的身高x(单位:cm)和体重y(单位:kg)之间有较强的线性相关关系,在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析,并计算得出该组数据的回归直线方程为=0.5x+,且根据回归直线方程预估一名身高为180 cm的员工体重为71 kg.
①求的值及表格中8名员工体重的平均值;
②在数据处理时,调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误,应为63 kg,身高数据无误,请你根据调查员乙更正的数据重新计算回归直线方程,并据此预估一名身高为180 cm的员工的体重.
参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线方程x+
参考数据:=170,xiyi=89 920
参考答案
单元质检卷九 统计与统计
案例及计数原理
1.D =1,且()在回归直线方程=-2x+4上,=-2+4=-2×1+4=2,则yi=7=7×2=14.
2.C 的展开式的通项为Tk+1=(-2)k=(-2)k,
令=2,可得k=1,则x2的系数为(-2)1=(-2)×5=-10.
3.C 从其他5个字母中任取4个,然后与“ea”进行全排列,共有=600(种)不同的排列,故选B.
4.D 结合题中散点图,由图像的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+blnx.
5.C 甲场馆安排1名有种方法,乙场馆安排2名有种方法,丙场馆安排3名有种方法,所以共有=60(种)方法,故选C.
6.A 因为χ2=9.09>6.635,所以推断在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“选择物理与性别有关”.
7.B 令x=0,得a0=1;令x=1,得(1+m)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=243.所以1+m=3,即m=2.令x=-1,得(1-2)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,故选B.
8.B 分两步:第1步,取出两个阳律和两个阴律,有=225(种);
第2步,两个阳律相邻,两个阴律不相邻,有=4(种).根据分步乘法计数原理可得,共有225×4=900(种).
9.AB 由表中数据,计算得(1+2+3+4+5)=3,所以=45×3+5=140,
于是得37+104+a+196+216=140×5,解得a=147,故A正确;
由回归直线方程中的x的系数为正可知,y与x正相关,且其相关系数r>0,故B正确,C错误;
8月份时,x=7,=32(万部),故D错误.
10.AC 由题意2,化简得(n-14)(n-23)=0,因为n<15,所以n=14,故A正确;展开式通项为Tk+1=(0≤k≤14,k∈N),显然其中无常数项,故B错误;当k=0,6,12时,=7,6,5为整数,因此展开式中有3项为有理项,故C正确;展开式有15项,二项式系数最大的项为第8项,故D错误.
11.BCD 对于A,先将A,B排列,再看成一个元素,和剩余的3人,一共4个元素进行全排列,由分步乘法计数原理可知共有=48(种)排法,故A不正确;对于B,先将A,B之外的3人全排列,产生4个空,再将A,B两元素插空,所以共有=72(种)排法,故B正确;对于C,5人全排列,而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的,所以A在B的左边的排法有=60(种),故C正确;对于D,对A分两种情况,一是A站在最右边,则剩下的4人全排列有种,另一个是A不在最左边也不在最右边,则A从中间的3个位置中任选1个,然后B从除最右边的3个位置中任选1个,最后剩下3人全排列即可,由分类加法计数原理可知共有=78(种)排法,故D正确.
12.ABD 因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,所以T3=(2x)2(-1)8=180x2,所以a2=180,故A正确;因为(2x+1)10=|a0|+|a1|x+|a2|x2+…+|a10|x10,令x=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=310,故B正确;令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,所以a1+a2+…+a10=0,故C错误;令x=,得a0++…+=0,所以+…+=-1,故D正确.
13.7 =7,∴n(n-1)=7×(n-4)(n-5),n≥6,n∈N*.
化为(3n-10)(n-7)=0,解得n=7.
14.5% 因为P(χ2≥3.841)=0.05,所以认为选修文科与性别有关犯错误的概率为5%.
15.80 122 由题意可知a4表示x4的系数,即a4=24=80;当x=1时,a0+a1+a2+a3+a4+a5=35,①
当x=-1时,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,②
①-②得2(a1+a3+a5)=35+1.所以a1+a3+a5=122.
16.114 分四类情况:
第1类,安排甲去一所学校共有种方法,安排乙到第二所学校共有种方法,余下三人去第三所学校共有1种方法,共有1=6(种)方法;
第2类,安排甲去一所学校共有种方法,安排乙到第二所学校共有种方法,余下的三人中两人一起去第三所学校有种方法,另一个人去前两所学校中任意一所共有种方法,共有=36(种)方法;
第3类,安排甲去一所学校共有种方法,安排乙到第二所学校共有种方法,余下的三人中一人去第三所学校有种方法,另外两人一起去前两所学校中任意一所共有种方法,共有=36(种)方法;
第4类,安排甲去一所学校共有种方法,安排乙到第二所学校共有种方法,余下的三人中一人去第三所学校有种方法,另外两人分别去前两所学校中任意一所共有种方法,共有=36(种)方法.综上共有6+36+36+36=114(种)方法.
17.解 若选填条件①,即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64,则=2n=64,即n=6.若选填条件②,即展开式中前三项的二项式系数之和为22,则=22,即n=6.
(1)当n=6时,展开式共7项,二项式系数最大的项为T4=(3x)3=540x3.
(2)在(1+3x)n(1-x)5=中,含x2的项的系数为32+3(-1)=55.
18.解(1)由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,共可以组成=120(个)五位数.
(2)∵由1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数为奇数,∴第五个数字必须从1,3,5中选出,共有种结果,
其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列,共有种结果,
根据分步乘法计数原理得到共有=72(个)奇数.
(3)根据题意,用1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,有=120(种)情况,即一共有120个五位数,
再考虑大于43125的数,分为以下四类讨论:
第1类,5在首位,将其他4个数字全排列即可,有=24(个);
第2类,4在首位,5在千位,将其他3个数字全排列即可,有=6(个);
第3类,4在首位,3在千位,5在百位,将其他2个数字全排列即可,有=2(个);
第4类,43215,43251,43152,共3个.
故不大于43125的五位数有120-(24+6+2+3)=85(个),
即43125是第85个数.
18.解 (1)由频率分布直方图可得,10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1,解得a=0.035,故通过电子阅读的居民的平均年龄为20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5.
(2)由题意200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1,可得纸质阅读的人数为200=50,其中中老年有30人,则纸质阅读的青少年有20人.电子阅读的总人数为150,其中青少年人数为150×(0.1+0.15+0.35)=90,则中老年有60人.得2×2列联表,
经计算χ2=6.061>5.024,所以有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关.
20.解(1)由已知得样本平均数yi=60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000.
(2)样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数
r=0.94.
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.
理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
21.解(1)由列联表计算χ2==4.6875.
又因为1-97.5%=2.5%,而且查表可得,P(χ2<5.024)=0.025,由于4.6875<5.024,
所以没有97.5%的把握认为骑行者自觉带头盔行为与性别有关.
(2)由w=,则y=a+可转化为y=a+bw,由=51,
得=100,
则=51-100×0.41=10.故y关于x的回归直线方程为=10+100w=10+
22.解 (1)8名员工BMI数值为“正常”的员工有5人,则X的可能取值为0,1,2,3,则
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=
故X的分布列为
则E(X)=1+2+3
(2)①调查员甲由回归直线方程=0.5x+预估一名身高为180 cm的员工的体重为71 kg,由此计算=71-180×0.5=-19,故=0.5=0.5×170-19=66.
②由①知更正前的数据=170,=66.由=0.5=得
-8=2×(xiyi-8)=2×(89 920-8×170×66)=320,
更正后的数据'==170,'==67,xi'yi'=xiyi+x8×8=xiyi+182×8,8'=8'=8+1)=8+8×170,
所以=0.5+=0.8.故'='-'=67-0.8×170=-69.更正后该组数据的回归直线方程为=0.8x-69.当x=180时,=0.8×180-69=75,所以重新预估一名身高为180 cm的员工的体重约75 kg.性别
选择物理
不选择物理
总计
男
35
20
55
女
15
30
45
总计
50
50
100
α=P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
月份
2020年
2月
2020年
3月
2020年
4月
2020年
5月
2020年
6月
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y/千部
37
104
a
196
216
性别
理科
文科
男
13
10
女
7
20
阅读方式
电子阅读
纸质阅读
合计
青少年
中老年
合计
α=P(χ2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
性别
戴头盔
不戴头盔
合计
男
30
90
120
女
10
70
80
合计
40
160
200
天数
1
2
3
4
5
6
人数
110
60
44
34
30
28
xiyi
wiyi
yi
3.5
0.41
12.25
0.168 1
91
1.492
816
173.8
306
α=P(χ2≥k)
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
164
176
165
163
170
172
168
182
体重/kg
60
72
77
54
68
●
72
55
BMI(近似值)
22.3
23.2
28.3
20.3
23.5
23.7
25.5
16.6
阅读方式
电子阅读
纸质阅读
合计
青少年
90
20
110
中老年
60
30
90
合计
150
50
200
X
0
1
2
3
P