最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题09 函数零点问题的综合应用

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题09函数零点问题的综合应用
【方法技巧与总结】
1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
【题型归纳目录】
题型一：零点问题之一个零点
题型二：零点问题之二个零点
题型三：零点问题之三个零点
题型四：零点问题之max，min问题
题型五：零点问题之同构法
题型六：零点问题之零点差问题
题型七：零点问题之三角函数
题型八：零点问题之取点技巧
【典例例题】
题型一：零点问题之一个零点
例1．已知，函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围．
例2．已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；
（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
例3．已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
题型二：零点问题之二个零点
例4．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
例5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
例6．已知函数为自然对数的底数，且．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
题型三：零点问题之三个零点
例7．已知函数，．
（1）求的极值；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围．
例8．已知函数，．
（1）求函数的单调区间和极值
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围．
例9．已知函数．（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
题型四：零点问题之max，min问题
例10．已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线．
（2）设在，单调递增，求的取值范围．
（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
例11．已知函数，．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
例12．已知函数，，其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）用，表示，中较大者，记函数，，．若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．
题型五：零点问题之同构法
例13．已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围
例14．已知．（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．
（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．
例15．已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．
题型六：零点问题之零点差问题
例16．已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
例17．已知函数．
（1）如，求的单调区间；
（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．
例18．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．
题型七：零点问题之三角函数
例19．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
例20．已知函数，证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
例21．已知函数．求证：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）在上有且仅有2个零点．
例22．已知函数
（1）证明：，
（2）判断的零点个数，并给出证明过程．
题型八：零点问题之取点技巧
例23．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末（理））已知函数
（1）当，求函数的单调区间；
（2）若有且只有一个零点，求实数的取值范围.
例24．（2022·天津·耀华中学高三月考）已知函数（是自然对数的底数，且）.（1）求的单调区间；
（2）若是函数在上的唯一的极值点，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
例25．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数．
（1）试讨论函数的零点个数；
（2）若当时，关于x的方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设，若有两个零点，求的取值范围.
【过关测试】
1．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
(2)求证：函数在区间上只有两个零点．
2．（2022·湖南·模拟预测）已知函数，（e是自然对数的底数，．
(1)求函数的最小值；
(2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)＝2lnx－x，g(x)＝（a≤1）．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论h(x)的零点个数．
4．（2022·广东·惠来县第一中学高二阶段练习）设
(1)当b=1时，求的单调区间；
(2)当在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围.
5．（2022·河北邯郸·二模）已知函数，．
(1)若，分析f（x）的单调性；
(2)若f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．
6．（2022·江苏·模拟预测）已知函数（其中a，b为实数）的图象在点处的切线方程为．
(1)求实数a，b的值；
(2)证明：方程有且只有一个实根．
7．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）已知函数．
(1)设函数，若在区间上是增函数，求的取值范围；(2)当时，证明函数在区间上无零点．
8．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在区间上的零点个数.
9．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）函数.
(1)求函数在的值域；
(2)记分别是的导函数，记表示实数的最大值，记函数，讨论函数的零点个数.
10．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（理））已知，
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)已知，判断函数的零点个数．
注：