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【中考二轮】2024年中考数学 热点02+方程(组)与不等式(组)(13大题型+满分技巧+限时分层检测)-专题训练.zip
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这是一份【中考二轮】2024年中考数学 热点02+方程(组)与不等式(组)(13大题型+满分技巧+限时分层检测)-专题训练.zip,文件包含热点02方程组与不等式组原卷版docx、热点02方程组与不等式组解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共79页, 欢迎下载使用。
方程作为初中数学的核心内容,一直是中考命题的重点。主要考察对方程的概念、解法以及应用的掌握。随着课程改革的深入,中考命题也更加注重考查学生的应用能力。因此,很多方程题目以实际生活情境为背景,要求学生根据实际情况建立数学模型,然后解决。
为了应对这些趋势,学生需要熟练掌握方程的基本知识,同时提高自己的数学应用能力、逻辑推理能力和对新情境的适应能力。建议在平时的学习中,多做真题,加强实践,不断总结经验和方法,以提升自己的数学素养和应试能力。
不等式在中考中的命题趋势主要集中在基础概念、一元一次不等式、不等式组、应用题和数轴表示等方面。学生需要熟练掌握不等式的基本概念和性质,能够灵活运用一元一次不等式的解法,以及解决实际问题的能力。
考向一:实数
【题型1 一元一次方程】
1.(2023春•闵行区期末)若方程是一元一次方程,则的值是
A.B.C.1D.以上都不对
2.(2022•徐汇区校级模拟)方程的解是 .
3.(2022•徐汇区模拟)《九章算术》中记载:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?译文是:今有人合伙购物,每人出8钱会多3钱;每人出7钱又会差4钱,问人数、物价各是多少?设合伙人数为人,列出的方程为 .(无需化简)
4.(2022•松江区校级模拟)李明早上骑自行车上学,中途因道路施工推车步行了一段路,到学校共用时15分钟.如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米,推车步行的平均速度是每分钟80米,他家离学校的路程是2900米,设他推车步行的时间为分钟,那么可列出的方程是 .
【题型2 二元一次方程、解二元一次方程组】
1.(2022•杨浦区二模)下列方程中,二元一次方程的是
A.B.C.D.
2.(2021•闵行区二模)二元一次方程组的解是 .
3.(2023春•黄浦区期中)用换元法解方程组:.
【题型3 二元一次方程组的应用】
1.(2023•闵行区二模)我国古代数学名著《张邱建算经》中记载:“今有清酒一斗直粟十斗,醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛,得酒五斗,问清、醑酒各几何?”意思是:现在一斗清酒价值10斗谷子,一斗醑酒价值3斗谷子,现在拿30斗谷子,共换了5斗酒,问清酒、醑酒各几斗?如果设清酒斗,醑酒斗,那么可列方程组为 .
2.(2022•宝山区模拟)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重两,每枚白银重两,根据题意可列方程组为 .
3.(2023•静安区二模)我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”其意思就是:100个和尚分100个馒头,正好分完,其中,大和尚一人分3个,小和尚三人分1个.那么大和尚有 人.
【题型4 解一元二次方程】
1.(2022•普陀区二模)如果关于的方程没有实数根,那么实数的取值范围是 .
2.(2023秋•闵行区期末)用配方法解方程:.
3.(2023秋•虹口区校级期末)的根为 .
4.(2023秋•普陀区校级期中)已知为等腰三角形,它的两条边的长度分别是方程的两个根,那么该三角形的周长是 .
(2023秋•浦东新区期中)已知、为实数,且,则的值为 .
【题型5 根的判别式、一元二次方程的应用】
1.(2023•嘉定区二模)下列关于的方程一定有实数解的是
A.B.
C.为常数)D.为常数)
2.(2023•浦东新区二模)一元二次方程的根的情况是
A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.没有实数根
3.(2023•徐汇区二模)已知关于的方程有两个不相等的实数根,那么的取值范围是 .
4.(2023•杨浦区三模)某商店购进了一种生活用品,进价为每件8元,销售过程中发现,该商品每天的销售量(件与每件售价(元之间存在一次函数关系(其中,且为整数),部分对应值如表:
(1)求与的函数解析式;
(2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润,那么每件生活用品的售价应定为多少元?
5.(2023•浦东新区模拟)今年本市蜜桔大丰收,某水果商销售一种蜜桔,成本价为10元千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元千克,市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元千克)之间的函数关系如图所示:
(1)求与之间的函数关系式;
(2)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?(销售利润销售价成本价)
【题型6 高次方程、无理方程】
1.(2023•徐汇区二模)方程组的解是 .
2.(2023•虹口区二模)解方程组:.
3.(2023•虹口区二模)方程的解是
A.B.C.D.
4.(2023•青浦区二模)下列关于的方程一定有实数解的是
A.B.C.D.
5.(2023•上海)已知关于的方程,则 .
6.(2023•嘉定区二模)如果方程,那么 .
【题型7 解分式方程、分式方程的增根】
1.(2023•金山区二模)方程的解是 .
2.(2023•浦东新区二模)解方程:
3.(2023•上海)在分式方程中,设,可得到关于的整式方程为
A.B.C.D.
4.(2023•长宁区二模)用换元法解方程时,如果设,那么原方程可化为关于的方程是
A.B.C.D.
5.(2022秋•徐汇区期末)关于的分式方程有增根,则的值为
A.2B.C.0D.1
(2022秋•青浦区校级期末)如果方程有增根,则 .
【题型8 分式方程的应用】
1.(2023•虹口区二模)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,请人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽?若设这批椽的数量为株,则可列分式方程为 .
2.(2023•青浦区二模)某中学初三年级在“阳光体育”活动中,参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图,如图所示.已知参加乒乓球运动的人数有80人,请根据图中的信息解决下列问题.
(1)求参加篮球和足球运动的总人数;
(2)学校为本次活动购买了一些体育器材,其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一只配备的,购买篮球的费用是3000元,购买足球费用是2400元,并且篮球的单价比足球的单价便宜10元.请你帮助计算一下,参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人?
3.(2023•嘉定区二模)、两城间的铁路路程为1800千米.为了缩短从城到城的行驶时间,列车实施提速,提速后速度比提速前速度每小时增加20千米.
(1)如果列车提速前速度是每小时80千米,提速后从城到城的行驶时间减少小时,求的值;
(2)如果提速后从城到城的行驶时间减少3小时,又这条铁路规定:列车安全行驶速度不超过每小时140千米.问列车提速后速度是否符合规定?请说明理由.
考向二:不等式(组)
【题型9 不等式的性质、解一元一次不等式】
1.(2023•浦东新区校级模拟)如果,那么下列不等式一定成立的是
A.B.C.D.
2.(2023春•嘉定区期末)若,则下列不等式中一定成立的是
A.B.C.D.
3.(2023秋•浦东新区校级期末)解不等式,原不等式的解集是 .
4.(2023春•松江区期中)不等式的解集是,则的取值范围是 .
【题型10 一元一次不等式的特殊解问题】
1.(2023秋•闵行区期中)解不等式:,并求出最小整数解.
2.(2023春•长宁区期末)不等式的最小整数解是 .
3.(2023春•浦东新区期末)满足不等式的非负整数解的和是 .
【题型11 一元一次不等式的应用】
1.(2023春•闵行区期中)某校六年级三个班给某受灾地区捐款,其中(1)班捐款420元,(2)班捐款468元.如果三个班的平均捐款超过了450元,那么(3)班的捐款总数超过 元.
2.(2023•黄浦区二模)小丽与妈妈去商场购物,商场正在进行打折促销,规则如下:
优惠活动一:任选两件商品,第二件半价(两件商品价格不同时,低价商品享受折扣);
优惠活动二:所有商品打八折.
(两种优惠活动不能同享)
(1)如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子,那么她选择哪个优惠活动会更划算?请通过计算说明;
(2)如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子,当裤子价格(裤子价格低于衣服价格)低于多少元时,小丽会推荐妈妈选择优惠活动二?为什么?
(2023秋•松江区校级期中)某学校同学参加松江区“鼓乐大赛”(此次比赛要求参赛总人数不少于49人),要求除了指挥1人及旗手4人外,其他同学既能平均分成6组,又能平均分成8组,进行队形变换,这个学校至少要选拔多少人参加“鼓乐大赛”?
【题型12 解一元一次不等式组】
1.(2023•金山区二模)不等式组的解集是 .
2.(2023•普陀区二模)解不等式组:并把解集在数轴上表示出来.
(2023•奉贤区二模)解不等式组将其解集在数轴上表示出来,并写出这个不等式组的整数解.
【题型13 一元一次不等式组的应用】
1.(2023春•黄浦区期末)某汽车销售公司到某汽车制造厂选购、两种型号的轿车,用300万元可购进型轿车10辆,型轿车15辆,用300万元也可以购进型轿车8辆,型轿车18辆.
(1)求、两种型号的轿车每辆分别为多少万元?
(2)若该汽车销售公司销售1辆型轿车可获利8000元,销售1辆型轿车可获利5000元,该汽车销售公司准备用不超过400万元购进、两种型号轿车共30辆,且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元,问有几种购车方案?在这几种购车方案中,该汽车销售公司将这些轿车全部售出后,分别获利多少万元?
(2023春•浦东新区校级期中)为了加强学生的交通安全意识,某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动,星期天选派部分学生到交通路口值勤,协助交通警察维护交通秩序.若每一个路口安排4人,那么还剩下78人;若每个路口安排8人,那么最后一个路口不足8人,但不少于4人.求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?
3.(2023春•浦东新区期末)按如下程序进行运算:
规定:程序运行到“结果是否大于为一次运算,且运算进行3次才停止,则可输入的整数的个数是 个.
(建议用时:20分钟)
1.(2023•黄浦区二模)设是一个不为零的实数,下列式子中,一定成立的是
A.B.C.D.
2.(2023•松江区二模)下列方程中,有实数根的是
A.B.C.D.
3.(2020•上海)用换元法解方程时,若设,则原方程可化为关于的方程是
A.B.C.D.
4.(2022•上海)已知有两个不相等的实数根,则的取值范围是 .
5.(2023•上海)已知关于的一元二次方程没有实数根,那么的取值范围是 .
6.(2022•上海)某公司5月份的营业额为25万,7月份的营业额为36万,已知5、6月的增长率相同,则增长率为 .
7.(2021•上海)若一元二次方程无实数根,则的取值范围为 .
8.(2021•上海)不等式的解集是 .
9.(2022•上海)解方程组:的结果为 .
10.(2023春•长宁区期末)已知不等式的正整数解是1,2,3,4,那么的取值范围是 .
11.(2022•闵行区二模)明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托,折回索子来量竿,却比竿子短一托.”译文为:“有一根竿和一条绳,若用绳去量竿,则绳比竿长5尺;若将绳对折后再去量竿,则绳比竿短5尺,那么竿长 尺.(注:“托”和“尺”为古代的长度单位,1托尺)
12.(2021•浦东新区校级二模)如果关于的方程有一个根为2,那么 .
13.(2021•上海)解方程组:.
(2022•上海)解关于的不等式组:.
(2020•上海)解不等式组:
16.(2023•上海)解不等式组:.
17.(2023•漳平市一模)已知是方程的一个根,求方程的另一个根及的值.
18.(2023•乌鲁木齐一模)某商店五月份销售型电脑的总利润为4320元,销售型电脑的总利润为3060元,且销售型电脑数量是销售型电脑的2倍,已知销售一台型电脑比销售一台型电脑多获利50元.
(1)求每台型电脑和型电脑的利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出,其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍,该商店购进型、型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?最大利润是多少?
(建议用时:20分钟)
1.(2023•沂源县一模)如果恰好只有一个实数是方程的根,则的值为 .
2.(2023•南安市校级模拟)如图,是三条角平分线的交点,过作,分别交、于,两点,设,,,关于的方程
A.一定有两个相等实根
B.一定有两个不相等实根
C.有两个实根,但无法确定是否相等
D.无实根
3.(2023•开平市二模)已知关于的方程,
(1)求证:无论取何实数值,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形的一边,另两边长,恰好是这个方程的两个根,求的周长.
4.(2023•乐清市模拟)1月份,甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品,甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件.
(1)求该商品的单价;
(2)2月份,两商店以单价元件(低于1月份单价)再次购进该商品,购进总价均不变.
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小.
②已知,甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分,剩余部分与2月份购进的商品一起售卖,2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半,第二次在第一次基础上再降价2元全部售出,两个月的总利润为1050元,求甲商店1月份可能售出该商品的数量.
5.(2023•鹤峰县一模)随着新能源汽车的发展,某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车,计划购买型和型新能源公交车共10辆,若购买型公交车1辆,型公交车2辆,共需300万元;若购买型公交车2辆,型公交车1辆,共需270万元,
(1)求购买型和型公交车每辆各需多少万元?
(2)预计在该条线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次.若该公司购买型和型公交车的总费用不超过1000万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?
6.(2023•黄石港区校级模拟)如果方程有两个实数根,,那么,,请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知、是方程的二根,则
(2)已知、、满足,,求正数的最小值.
(3)结合二元一次方程组的相关知识,解决问题:已知和是关于,的方程组的两个不相等的实数解.问:是否存在实数,使得?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
7.(2023•仙桃模拟)已知关于的方程有两个实数根、.
(1)求的取值范围.
(2)若,求的值.
满分技巧
解一元一次方程的一般步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
注意:若有分母一般先去分母;若既有分母又有括号,且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母,就先去括号.
解一元一次方程易错两点:
一弄清求x时,方程两边除以的是a还是b,尤其a为分数时;二要准确判断符号,a、b同号x为正,a、b异号x为负.
由实际问题抽象出一元一次方程的方法:
审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程.
(1)“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式,在这一类问题中,表示出各部分的量和总量,然后利用它们之间的等量关系列方程.
(2)“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系,也是列方程的一种基本方法.通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示,进而列出方程.
列一元一次方程解应用题的五个步骤:(巧记:审、设、列、解、验、答)
1.审:仔细审题,确定已知量和未知量,找出它们之间的等量关系.
2.设:设未知数(x),根据实际情况,可设直接未知数(问什么设什么),也可设间接未知数.
3.列:根据等量关系列出方程.
4.解:解方程,求得未知数的值.
5.答:检验未知数的值是否正确,是否符合题意,完整地写出答句.
满分技巧
1.二元一次方程需满足三个条件:①首先是整式方程.②方程中共含有两个未知数.③所有未知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程.
满分技巧
1.由实际问题抽象出二元一次方程组的方法:
(1)由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系.
(2)一般来说,有几个未知量就必须列出几个方程,所列方程必须满足:①方程两边表示的是同类量;②同类量的单位要统一;③方程两边的数值要相符.
(3)找等量关系是列方程组的关键和难点,有如下规律和方法:
①确定应用题的类型,按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面,有“;”时一般“;”前后各一层,分别找出两个等量关系.③借助表格提供信息的,按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题,分析图形的长、宽,从中找等量关系.
2.二元一次方程组的应用解题心得:
(一)列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:
(1)审题:找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.
(2)设元:找出题中的两个关键的未知量,并用字母表示出来.
(3)列方程组:挖掘题目中的关系,找出两个等量关系,列出方程组.
(4)求解.
(5)检验作答:检验所求解是否符合实际意义,并作答.
(二)设元的方法:直接设元与间接设元.
当问题较复杂时,有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数,即为间接设元.无论怎样设元,设几个未知数,就要列几个方程.
满分技巧
1.一元二次方程的解易错点:
(1)一元二次方程的解(根)的意义:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
(2)一元二次方程一定有两个解,但不一定有两个实数解.这x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根,则下列两等式成立,并可利用这两个等式求解未知量.
ax12+bx1+c=0(a≠0),ax22+bx2+c=0(a≠0).
解一元二次方程的常用法:
方法1:直接开平方法:
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.
如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=±;
如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式,那么nx+m=±.
注意:①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.
③方法是根据平方根的意义开平方.
方法2:配方法:
(1)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.
方法3:公式法:
(1)把x=(b2﹣4ac≥0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.
(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
②求出b2﹣4ac的值(若b2﹣4ac<0,方程无实数根);
③在b2﹣4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.
注意:用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:①a≠0;②b2﹣4ac≥0.
方法4:因式分解法:
(1)因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,使方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.
方法5:换元法:
1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.
2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.
满分技巧
1.根的判别式
利用一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac)判断方程的根的情况.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<0时,方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
2.一元二次方程的应用的规律方法:
列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1.审:理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.
2.设:根据题意,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.
3.列:根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程.
4.解:准确求出方程的解.
5.验:检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.
6.答:写出答案.
每件售价(元
9
11
13
每天的销售量(件
105
95
85
满分技巧
1.高次方程
(1)高次方程的定义:整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程,称为高次方程.
(2)高次方程的解法思想:
通过适当的方法,把高次方程化为次数较低的方程求解.所以解高次方程一般要降次,即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解),这称为阿贝尔定理. 换句话说,只有三次和四次的高次方程可用根式求解.
2.无理方程
(1)定义:方程中含有根式,且开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程.
(2)有理方程和根式方程(无理方程)合称为代数方程.
(3)解无理方程关键是要去掉根号,将其转化为整式方程.
解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解,在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法. 常用的方法有:乘方法,配方法,因式分解法,设辅助元素法,利用比例性质法等. (4)注意:用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程,往往会产生增根,应注意验根.
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1.解分式方程的基本步骤与易错点:
(1)步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.
(2)解分式方程容易漏“检验”,分式方程检验方法:
①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.
②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解.
所以解分式方程时,一定要检验.
2.检验分式方程的增根的方法:
把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母,看最简公分母是否为0,如果为0,则是增根;如果不是0,则是原分式方程的根.
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1.由实际问题抽象出分式方程的解题心得:
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系.
(1)在确定相等关系时,一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法,如行程问题中的相遇问题和追击问题,最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等.
(2)列分式方程解应用题要多思、细想、深思,寻求多种解法思路.
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1.应用不等式的性质的规律方法:
在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,一定要改变不等号的方向;当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时,一定要对字母是否大于0进行分类讨论.
2.不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x>a,其验证方法可以先将a代入原不等式,则两边相等,其次在x>a的范围内取一个数代入原不等式,则原不等式成立.
3.解一元一次不等式的一般步骤:
①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
以上步骤中,只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向,其他都不会改变不等号方向.
注意:符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义,它们是不等号与等号合写形式.
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1. 解决一元一次不等式的整数解的问题的规律方法:
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式的整数解.可以借助数轴进行数形结合,得到需要的值,进而非常容易的解决问题.
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1.一元一次不等式的应用解题心得:
(1)由实际问题中的不等关系列出不等式,建立解决问题的数学模型,通过解不等式可以得到实际问题的答案.
(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此,建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.
(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:
①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.
②根据题中的不等关系列出不等式.
③解不等式,求出解集.
④写出符合题意的解.
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1.一元一次不等式组的解法:
解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
方法与步骤:①求不等式组中每个不等式的解集;②利用数轴求公共部分.
解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
2.一元一次不等式组的整数解的解题技巧:
(1)利用数轴确定不等式组的解(整数解).
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.
(2)已知解集(整数解)求字母的取值.
一般思路为:先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等,然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式,最后解代数式即可得到答案.
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1.一元一次不等式组的应用的一般步骤:
(1)分析题意,找出不等关系;
(2)设未知数,列出不等式组;
(3)解不等式组;
(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案;
(5)作答.
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