思想02 运用数形结合的思想方法解题（4大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc159313831" PAGEREF _Tc159313831 \h 1
\l "_Tc159313832" PAGEREF _Tc159313832 \h 2
\l "_Tc159313833" PAGEREF _Tc159313833 \h 2
\l "_Tc159313834" PAGEREF _Tc159313834 \h 3
\l "_Tc159313835" 考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点 PAGEREF _Tc159313835 \h 3
\l "_Tc159313836" 考点二：解不等式、求参数范围、最值问题 PAGEREF _Tc159313836 \h 4
\l "_Tc159313837" 考点三：解决以几何图形为背景的代数问题 PAGEREF _Tc159313837 \h 5
\l "_Tc159313838" 考点四：解决数学文化、情境问题 PAGEREF _Tc159313838 \h 5
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．
1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．
2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
【例1】（2024·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·湖南永州·统考二模）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象是中心对称图形
B．在区间上单调递增
C．若方程有三个解，，则
D．若方程有四个解，则
【变式1-3】（2024·四川攀枝花·统考二模）若关于x的方程存在三个不等的实数根．则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点二：解不等式、求参数范围、最值问题
【例2】（多选题）（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数，使得
B．
C．
D．为定值
【变式2-1】（2024·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·河南新乡·高三阶段练习）已知函数，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2024·江苏苏州·高二星海实验中学校考期末）已知任意实数，关于的不等式恒成立，则实数的最大整数值为（ ）
A．B．C．D．
考点三：解决以几何图形为背景的代数问题
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点，点在上，，且的面积为1，则的准线方程为 ．
【变式3-1】（2024·湖南永州·统考一模）在平行六面体中，为的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则 （用表示）．
【变式3-2】（2024·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为 ．
【变式3-3】（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是 ．
【变式3-4】（2024·浙江绍兴·高三统考期末）在正方体中，分别是棱的中点，过、、的平面把正方体截成两部分体积分别为，则 .
考点四：解决数学文化、情境问题
【例4】（2024·全国·高三专题练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论：
①正方体在每个顶点的曲率均为；
②任意四棱锥的总曲率均为；
③若某类多面体的顶点数，棱数，面数满足，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确的结论是 （填写序号）.
【变式4-1】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【变式4-2】（2024·河北邢台·高三统考期末）保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里．府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道．府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为，当其中参数时，该函数就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数．若设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-4】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献．设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【变式4-5】（2024·辽宁大连·高三统考期末）在财务审计中，我们可以用“本•福特定律”来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件不是等可能的.具体来说，随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字，则.则根据本•福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为（ ）（保留至整数，参考数据：）.
A．4B．6C．7D．8