高考数学导数冲满分-专题12 导数中隐零点的应用

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利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法用显性的代数表达的(f′(x)＝0是超越形式)，称之为“隐零点”．对于隐零点问题，常常涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧．
用隐零点处理问题时，先证明函数f(x)在某区上单调，然后用零点存在性定理说明只有一个零点．此时设出零点x0，则f′(x)＝0的根为x0，即有f′(x0)＝0．注意确定x0的合适范围，如果含参x0的范围往往和参数a的范围有关．这时就可以把超越式用代数式表示，同时根据x0的范围可进行适当的放缩．从而问题得以解决．基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算．用隐零点可解决导数压轴题中的不等式证明、恒成立能成立等问题．
隐零点问题求解三步曲
(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
注意：
确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到等等．至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围．进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键．最后值得说明的是，隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗渡陈仓的策略，也是数学中“设而不求”思想的体现．
考点一 不等式证明中的“隐零点”
【例题选讲】
[例1] (2015全国Ⅱ)设函数f(x)＝e2x－alnx．
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数；
(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋alneq \f(2,a)．
[例2] (2013全国Ⅱ)设函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)若x＝0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，求证：f(x)＞0．
[例3] 已知函数f(x)＝xex－a(x＋lnx)．
(1)讨论f(x)极值点的个数；
(2)若x0是f(x)的一个极小值点，且f(x0)>0，证明：f(x0)>2(x0－xeq \\al(3,0))．
[例4] 已知函数f(x)＝aex＋sinx＋x，x∈[0，π]．
(1)证明：当a＝－1时，函数f(x)有唯一的极大值点；
(2)当－22．
4．已知函数f(x)＝eq \f(a,x)＋bxlnx，其中a，b∈R．
(1)若函数f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝x＋e，求a，b的值；
(2)当b>1时，f(x)≥1对任意x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))恒成立，证明：a>eq \f(\r(e)＋1,2e)．
5．已知函数f(x)＝ex＋a－lnx(其中e＝2.718 28…，是自然对数的底数)．
(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)求证：当a>1－eq \f(1,e)时，f(x)>e＋1．
考点二 不等式恒成立与存在性中的“隐零点”
【例题选讲】
[例1] 已知函数f(x)＝ax＋xlnx(a∈R)．
(1)若函数f(x)在区间[e，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；
(2)当a＝1且k∈Z时，不等式k(x－1)0．
(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；
(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．
【对点训练】
1．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝xlnx．
(1)求曲线y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))))处的切线方程；
(2)若当x>1时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋x>keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))恒成立，求正整数k的最大值．
2．(2012全国Ⅱ)设函数f(x)＝ex－ax－2．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
3．已知函数f(x)＝(x－a)ex(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝2时，设函数g(x)＝f(x)＋lnx－x－b，b∈Z，若g(x)≤0对任意的x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))恒成立，求b的最小值．
4．已知函数f(x)＝x－lnx－eq \f(ex,x)．
(1)求f(x)的最大值；
(2)若f(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))ex－bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．
5．设函数f(x)＝ex＋ax，a∈R．
(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)均有2f(x)＋3≥x2＋a2，求a的取值范围．