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中考数学一轮复习：专题12.4 因式分解【九大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）
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这是一份中考数学一轮复习：专题12.4 因式分解【九大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版），共32页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8970" 【题型1 利用因式分解求值】 PAGEREF _Tc8970 \h 1
\l "_Tc26060" 【题型2 因式分解在有理数简算中的应用】 PAGEREF _Tc26060 \h 4
\l "_Tc5043" 【题型3 利用因式分解确定整除问题】 PAGEREF _Tc5043 \h 7
\l "_Tc1644" 【题型4 利用添项进行因式分解】 PAGEREF _Tc1644 \h 11
\l "_Tc23588" 【题型5 利用拆项进行因式分解】 PAGEREF _Tc23588 \h 15
\l "_Tc10180" 【题型6 利用因式分解确定三角形的形状】 PAGEREF _Tc10180 \h 17
\l "_Tc6974" 【题型7 利用因式分解求最值】 PAGEREF _Tc6974 \h 19
\l "_Tc18355" 【题型8 因式分解在新定义问题中的运用】 PAGEREF _Tc18355 \h 22
\l "_Tc20443" 【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc20443 \h 26
【知识点 因式分解】
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【题型1 利用因式分解求值】
【例1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）将2xn−81因式分解后得4x2+92x+32x−3，那么n等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】先求出4x2+92x+32x−3=2x4−81，根据将2xn−81因式分解后得4x2+92x+32x−3，即可得出2xn−81=2x4−81，即可得出答案．
【详解】解：∵4x2+92x+32x−3
=4x2+94x2−9
=16x4−81，
=2x4−81
又∵将2xn−81因式分解后得4x2+92x+32x−3，
∴2xn−81=2x4−81，
∴n=4，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，多项式乘法，解题的关键是求出4x2+92x+32x−3=2x4−81．
【变式1-1】（2023春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）把多项式x3+ax分解因式得xx−12x+b，求a、b的值．
【答案】a=−14,b=12
【分析】根据整式的乘法运算将xx−12x+b化为x3+b−12x2−12bx，根据x3+ax=x3+b−12x2−12bx可知b−12=0，−12b=a，求出a、b的值即可．
【详解】解：xx−12x+b
=xx2+b−12x−12b
=x3+b−12x2−12bx，
∵x3+ax=xx−12x+b，
∴x3+ax=x3+b−12x2−12bx，
∴b−12=0，−12b=a，
∴a=−14,b=12．
【点睛】本题考查分解因式的知识及整式的乘法，正确计算出整式乘法的式子得出b−12=0，−12b=a是解答本题的关键．
【变式1-2】（2023春·八年级单元测试）已知三次四项式2x3−5x2−6x+k分解因式后有一个因式是x−3，试求k的值及另一个因式．
【答案】k=9，2x2+x−3
【分析】根据题意，当x=3时，代数式的值为0，进而求得k的值，然后因式分解即可求解．
【详解】解：依题意，三次四项式2x3−5x2−6x+k分解因式后有一个因式是x−3，
∴x=3时，原式=2×33−5×32−6×3+k=−9+k=0
∴k=9，
∵2x3−5x2−6x+9=2x2x−3+x2−6x+9
=2x2x−3+x−32
=x−32x2+x−3
∴另一个因式为2x2+x−3
【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题时要根据分组分解法、提公因式法、公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）若2x2−6y2+xy+kx+6能分解成两个一次因式的积，则整数k= .
【答案】±7
【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可．
【详解】解：设2x2−6y2+xy+kx+6能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，
∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得a=−14b=32，
或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得a=611b=−111，
②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得a=2b=−3，
或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得a=34b=−12,
③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得a=2b=−3，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得a=34b=−12，
④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得a=−14b=32，
或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得a=611b=−111，
∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，
∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，
∴整数k的值是7，-7．
故答案为：±7．
【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解．
【题型2 因式分解在有理数简算中的应用】
【例2】（2023春·八年级课时练习）利用因式分解计算：
(1)−2101+−2100；
(2)32021−32020；
(3)121×0.13+12.1×0.9−12×1.21；
(4)2022+982+202×196．
【答案】(1)−2100
(2)2×32020
(3)12.1
(4)90000
【分析】（1）提取−2100后计算即可；
（2）提取32020后计算即可；
（3）原式变形为1.21×13+1.21×9−1.21×12，然后提取1.21后计算即可；
（4）利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：−2101+−2100
=−2100×−2+1
=−2100；
（2）解：32021−32020
=32020×3−1
=2×32020；
（3）解：121×0.13+12.1×0.9−12×1.21
=1.21×13+1.21×9−1.21×12
=1.21×13+9−12
=1.21×10
=12.1；
（4）解：2022+982+202×196
=2022+982+2×202×98
=202+982
=3002
=90000．
【点睛】本题考查了利用因式分解进行简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：2020×512－2020×492的结果是 ．
【答案】404000
【分析】先提取公因式2020，再根据平方差公式分解后计算可得答案．
【详解】2020×512－2020×492
=2020×（512－492）
=2020×（51+49）×(51-49)
=2020×100×2
=404000,
故答案为：404000．
【点睛】此题考查提公因式法，平方差公式，熟练掌握计算公式及因式分解的方法是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·八年级单元测试）计算：（1）(1−122)×(1−132)×(1−142)×…×(1−192)×(1−1102)；
（2）20212−2021×4040+20202
【答案】（1）1120；（2）1
【分析】（1）先根据平方差公式分解，算出结果后计算乘法即可得到答案；
（2）利用完全平方公式分解计算．
【详解】（1）(1−122)×(1−132)×(1−142)×…×(1−192)×(1−1102)
=(1−12)×(1+12)×(1−13)×(1+13)×(1−14)×(1+14)×⋯×(1−19)×(1+19)×(1−110)×(1+110)
=12×32×23×43×34×54×⋯×89×109×910×1110
=12×1110
=1120；
（2）20212−2021×4040+20202
=20212−2×2021×2020+20202
=(2021−2020)2
=1．
【点睛】此题考查因式分解进行有理数的混合计算，正确掌握因式分解的方法：平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·八年级单元测试）利用因式分解计算：
（1）1002−992+982−972+…+42−32+22−12
（2）1+2452+154+158+1⋅…⋅532+1
（3）2n+4−22n22n+2
【答案】（1）5050；（2）564；（3）74
【分析】（1）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）原式第二项分子分母乘以52-1，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（3）原式计算后，提取公因式，约分即可得到结果．
【详解】解：（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2-1）（2+1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1
=101×50
=5050；
（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）
=1+24×52−152−1×（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）
=1+564-1
=564；
（3）2n+4−22n22n+2
=2n+1×8−2n+12n+1×4
=2n+1×72n+1×4
=74
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【题型3 利用因式分解确定整除问题】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）某兴趣小组为探究被3整除的数的规律，提出了以下问题：
（1）在312，465，522，458中不能被3整除的数是________；
（2）一个三位数abc表示百位、十位、个位上的数字分别是a、b、c（a，b，c为0－9之间的整数，且a≠0），那么abc=100a+10b+c．若a+b+c是3的倍数（设a+b+c=3t，t为正整数），那么abc能被3整除吗？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
（3）若一个能被3整除的两位正整数ab（a，b为1－9之间的整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到一个新数，新数减去原数等于54，求这个正整数ab．
【答案】（1）458；（2）能，见解析；（3）39
【分析】（1）把各个数除以3即可得出结果；
（2）由题意可列出式子abc=100a+10b+c，进行整理可得：3(t+33a+3b)从而可判断；
（3）根据题意可得：ba−ab=54，把各个数表示出来代入进行求解，可以得出结果．
【详解】解：（1）312÷3=104，能被3整除；
465÷3=155，能被3整除；
522÷3=174，能被3整除；
458÷3=，不能被3整除；
故答案为：458；
（2）此时abc能被3整除，
证明：若a+b+c是3的倍数，则令a+b+c=3t(t为正整数），
则有abc=100a+10b+c，
=(a+b+c)+(99a+9b)，
=3t+3(33a+3b)，
=3(t+33a+3b)，
故abc能被3整除；
（3）∵ ab交换后为ba，由题意得：
ba−ab=54，
有(10b+a)−(10a+b)=54，
整理得：9(b−a)=54，
得：b−a=6，
∵a，b为1−9之间的整数，
∴有{a=1b=7，{a=2b=8，{a=3b=9，
∵ ab能被3整除，
∴这个正整数是39．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，表示出相应两位数或三位数．
【变式3-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）利用因式分解说明：当n为自然数时，n+72−n−52能被24整除．
【答案】见解析
【分析】将n+7和n−5分别看做整体，用平方差公式进行因式分解，所得的结果中含有因式24，即可求证．
【详解】解：n+72−n−52
=n+7+n−5n+7−n−5
=122n+2
=24n+1，
∴n+72−n−52能被24整除．
【点睛】本题主要考查了用平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式a2−b2=a+ba−b．
【变式3-2】（2023春·湖南永州·八年级校联考期中）已知432−1可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．12，14B．13，15C．14，16D．15，17
【答案】D
【分析】把432−1因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除.
【详解】432−1 =416+1416−1
=416+148+148−1
=416+148+144+144−1
=416+148+144+142+142−1
=416+148+144+1×17×15
∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除.
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)是解答本题的关键.
【变式3-3】（2023·河北衡水·统考三模）某数学兴趣小组研究如下等式：
38×32=1216，
53×57=3021，
71×79=5609，
84×86=7224．
观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”．
(1)根据上述的运算规律，直接写出结果：58×52=___________；752=___________．
(2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b>0），
①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；
②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换为83×23）．若分别记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：m−n能被99整除．
【答案】(1)3016；5625
(2)①10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b；证明见解析；②见解析
【分析】（1）根据上述的运算规律计算，即可求解；
（2）①根据题意可得这两个两位数分别为10a+b，10a+10−b，从而得到这个运算规律为10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b，然后分别计算等式的左右两边，即可；②由①得：n=100a2+100a+10b−b2，可得新的两个两位数分别为10b+a，1010−b+a，进而得到m=10b+a1010−b+a，然后计算出m−n，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：58×52=5×6×100+8×2=3016，
752=7×8×100+5×5=5625；
故答案为：3016；5625
（2）解：①∵其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b>0），
∴另一个数的十位数字为a，个位数字为10−b，
∴这两个两位数分别为10a+b，10a+10−b，
根据题意得：这个运算规律为10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b，
证明：左边=100a2+10ab+100a+10b−10ab−b2
=100a2+100a+10b−b2
右边=100a2+100a+10b−b2，
∴左边=右边；
②由①得：n=100a2+100a+10b−b2，
∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘，
∴新的两个两位数分别为10b+a，1010−b+a，
∴m=10b+a1010−b+a
=10b+a100−10b+a
=1000b+100a−100b2−10ab+10ab+a2
=1000b−100b2+100a+a2，
∴m−n=1000b−100b2+100a+a2−100a2+100a+10b−b2
=1000b−100b2+100a+a2−100a2−100a−10b+b2
=−99a2−99b2+990b，
=−99a2+b2+10b，
∵a，b为正整数，
∴a2+b2+10b为整数，
∴m−n能被99整除．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
【题型4 利用添项进行因式分解】
【例4】（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和x22+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−2x2=x2+2x+2x2−2x+2，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．
根据以上方法，把下列各式因式分解：
(1)4x4+y4；
(2)a2−4am−n2+4mn．
【答案】(1)2x2+y2+2xy2x2+y2−2xy；
(2)a−na−4m+n．
【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上4x2y2后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解；
（2）先分组，再利用提公因式法因式分解．
【详解】（1）原式=4x4+y4+4x2y2−4x2y2
=2x2+y22−4x2y2
=2x2+y2+2xy2x2+y2−2xy；
（2）原式=a2−4am+4m2−4m2−n2+4mn
=a2−4am+4m2−4m2+n2−4mn
=a−2m2−2m−n2
=a−2m+2m−na−2m−2m+n
=a−na−4m+n.
【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键．
【变式4-1】（2023春·广东佛山·八年级专题练习）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式a2−1可以用如下方法分解因式：
①a2−1=a2−a+a−1=aa−1+a−1=a−1a+1；
又比如多项式a3−1可以这样分解：
②a3−1=a3−a2+a2−a+a−1=a2a−1+aa−1+a−1=a−1a2+a+1；
仿照以上方法，分解多项式a5−1的结果是 ．
【答案】a−1a4+a3+a2+a+1
【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可．
【详解】解：a5−1
=a5−a4+a4−a3+a3−a2+a2−a+a−1
=a4a−1+a3a−1+a2a−1+aa−1+a−1
=a−1a4+a3+a2+a+1，
故答案为：a−1a4+a3+a2+a+1
【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想．
【变式4-2】（2023春·湖南常德·八年级统考期中）阅读与思考
任务：
(1)请根据以上阅读材料补充完整对a3+b3因式分解的过程．
(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3+b3的值．
【答案】(1)a+ba2−ab+b2
(2)a3+b3=32
【分析】（1）在题干的基础上再提取公因式a+b，整理即可；
（2）由（1）可知求出a2−ab+b2的值即可求出a3+b3的值．将a2−ab+b2变形为a+b2−3ab，再代入a+b和ab的值即得出a2−ab+b2的值，由此即得出结果．
【详解】（1）a3+b3=a3+a2b−a2b+b3
=a3+a2b−a2b−b3
=a+b⋅a2−ba+b⋅a−b
=a+b⋅a2−ba−b．
=a+ba2−ab+b2；
（2）∵a2−ab+b2
=a+b2−3ab
=22−3×−4
=16
∴a3+b3=a+ba2−ab+b2=2×16=32．
【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键．
【变式4-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）阅读理解：
添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：
例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
……
＝364−12
例2：因式分解：x4+x2+1
解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝(x2+1)2﹣x2
＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)
根据材料解决下列问题：
(1)计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)；
(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：
①分解因式：x4+4；
②计算：(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4).
【答案】(1)21024−121023；(2)①(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)；②1522+1.
【分析】(1)配成平方差公式只要在前面乘以2×(1﹣12)即可，连续使用平方差公式，得出最后结果，
(2)①根据配方法在原式的基础上(+4x2﹣4x2)，转化为完全平方公式，再利用拆项法配方，最后化为两个因式的积，
②根据x4+4的分解结果，分别求出当x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所对应的x4+4个结果，从而得到一个规律，再代入求值即可.
【详解】解：(1)原式＝2×(1﹣12)×(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)
＝2×(1﹣121024)
＝21024−121023，
(2)①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2
＝(x2+2)2﹣(2x)2
＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)，
②∵ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)
∴ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)＝[(x+1)2+1]•[(x﹣1)2+1]
原式＝(02+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(522+1)= 1522+1
【点睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知识，掌握公式，通过因式分解的变形，找出存在的规律是解决问题的关键.
【题型5 利用拆项进行因式分解】
【例5】（2023春·八年级课时练习）阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：x2＋4x＋3
解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（x2＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋6
【答案】（x＋2）（x＋3）
【分析】根据题意中的分解因式的方法求解即可．
【详解】解：原式=x2＋2x＋3x＋6
=x2+2x+(3x+6)
=xx+2+3(x+2)
=(x+2)(x+3)．
【点睛】题目主要考查多项式乘法及因式分解，理解题中分解因式的方法是解题关键．
【变式5-1】（2023春·黑龙江鸡西·八年级校考期末）利用拆项法，分解因式：x2﹣6x﹣7；
【答案】(x+1)(x－7)
【详解】解：x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）(x－3－4)
=(x+1)(x－7)；
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．
【变式5-2】（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）利用拆项法，解决下列问题：
(1)分解因式：x2−6x+5；
(2)分解因式：a2+4ab−5b2．
【答案】(1)x−1x−5
(2)a+5ba−b
【分析】（1）将5拆解成9−4，再根据完全平方公式得x−32−22，然后利用平方差公式进一步分解．
（2）将−5b2拆解成4b2−9b2，再根据完全平方公式得a+2b2−9b2，然后利用平方差公式进一步分解．
【详解】（1）原式=x2−6x+9−4 =x−32−22 =x−3−2x−3+2 =x−1x−5
（2）原式=a2+4ab+4b2−9b2 =a+2b2−9b2 =a+2b+3ba+2b−3b =a+5ba−b
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值．
【变式5-3】（2023春·八年级单元测试）阅读理解题：
拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把x3−3x2+4分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成x3+1−3x2−3，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：
原式=x3+1−3x2−3=x+1x2−x+1−3x+1x−1
=x+1x2−x+1−3x+3=x+1x−22
公式：a3+b3=a+ba2−ab+b2，a3−b3=a−ba2+ab+b2
根据上述论法和解法，
（1）因式分解：x3+x2−2；
（2）因式分解：x3−7x+6；
（3）因式分解：x4+x2+1．
【答案】（1）x−1x2+2x+2；（2）x−1x+3x−2；（3）x2+x+1x2−x+1
【分析】（1）将原式拆成x3−1+x2−1，然后分别利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式x-1即可；
（2）将原式拆成x3−1−7x+7，然后前两项利用立方差公式因式分解，后两项提取公因式即可确定答案；
（3）将原式拆成x4+2x2+1−x2，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：（1）x3+x2−2=x3−1+x2−1
=x−1x2+x+1+x−1x+1
=x−1x2+2x+2
（2）x3−7x+6=x3−1−7x+7
=x3−1−7x−1
=x−1x2+x+1−7x−1
=x−1x2+x+6
=x−1x+3x−2
（3）x4+x2+1=x4+2x2+1−x2
=x2+12−x2
=x2+1+xx2+1−x
=x2+x+1x2−x+1
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读题目，从题目中得到因式分解的方法，难度不大．
【题型6 利用因式分解确定三角形的形状】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为 三角形．
【答案】等腰或直角或等腰直角．
【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式，然后分三种情况进行讨论．
【详解】∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2(a+b)(a﹣b)＝（a2+b2）(a+b)(a﹣b)，
∴当a＝b，则△ABC是等腰三角形；
当a≠b，则c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，
当a＝b，且c2＝a2+b2，则△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC为等腰三角形或直角或等腰直角三角形．
故答案为：等腰或直角或等腰直角．
【点睛】本题考查了用提公因式法与平方差公式分解因式，用提公因式法与平方差公式分解因式得到a，b，c的关系式是解题的关键，注意考虑问题要全面．
【变式6-1】（2023春·河南郑州·八年级校联考期中）若△ABC三边a、b、c满足a2−ab−ac+bc=0，则△ABC是 三角形．
【答案】等腰
【分析】等式左边因式分解后，利用两式相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可确定a，b，c的关系，即可作出判断．
【详解】∵a2−ab−ac+bc=0，
∴aa−c−ba−c=0，
∴a−ba−c=0，
∴a−b=0或a−c=0，
∴a=b或a=c，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【点睛】本题考查因式分解的方法-分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：a，b，c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3a2+b2+c2．求证：这个三角形是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】根据完全平方式将原式变形为a−b2+a−c2+b−c2=0，结合平方的非负性即可计算得到正确答案．
【详解】解：∵a+b+c2=a+b+c2
=a+b2+c2+2a+bc
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴原式可变形为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=3a2+b2+c2
a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0
a−b2+a−c2+b−c2=0
∵a−b2≥0，a−c2≥0,b−c2≥0，a−b2+a−c2+b−c2=0
∴a−b=0,a−c=0,b−c=0
∴a=b,a=c,b=c
∴a=b=c
即这个三角形是等边三角形．
【点睛】本题考查完全平方式的应用，平方非负性的应用，根据相关知识点灵活应用是解题关键．
【变式6-3】（2023春·八年级统考课时练习）已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24，则这样的三角形共有 个．
【答案】3
【分析】先将a+bc+b+ca=24 可以化为 （a+b）（c+1）=24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合，讨论是否符合题意即可得出答案．
【详解】解：∵a+bc+b+ca=24，
∴（a+b）+（bc+ca）=24，
∴c+1b+a=24，
∵等腰△ABC的三边长a、b、c均为整数，
∴a+b，c+1为大于或等于2的正整数，
那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2，
①a+b =2，c+1 =12时，c=11，a+b=2，无法得到满足等腰三角形的整数解；
②a+b =3，c+1 =8时，c=7，a+b=3，无法得到满足等腰三角形的整数解；
③a+b =4，c+1 =6时，c=5，a+b=4，无法得到满足等腰三角形的整数解；
④a+b =6，c+1 =4时，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以组成等腰三角形；
⑤a+b =8，c+1 =3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以组成等腰三角形；
⑥a+b =12，c+1 =2时，可得 a=b=6，c=1，可以组成等腰三角形．
∴一共有3个这样的三角形．
故答案是：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键．
【题型7 利用因式分解求最值】
【例7】（2023春·湖南株洲·八年级株洲二中校考期末）整数a、b、c是△ABC的三条边（a【答案】17
【分析】根据三角形的周长得到a+b=30−c，整体代入c2+18a+18b−446，得到c−92+13，利用三角形的三边关系求出10【详解】解：∵△ABC的周长为30，
∴a+b+c=30，
∴a+b=30−c，
而a+b>c，则30−c>c，
∴c<15，
∵a∴10∴c2+18a+18b−446
=c2+18a+b−446
=c2+1830−c−446
=c−92+13
∵c是整数，
∴当c=11时，c2+18a+18b−446的值最小，且为17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，正确求出自变量c的取值范围．
【变式7-1】（2023春·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题：
(1)因式分解：x2−4x+4=__________．
(2)填空：当x=__________时，代数式x2−6x+9=0；
(3)阅读如下材料，完成下列问题：
对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
x2−2x+3=x2−2x+12−12+3=x−12+2．
因为x−12≥0，所以x−12+2≥2，所以当x=1时，原式的最小值为2．
①代数式x2+10x+2的最小值是__________；
②拓展与应用：求代数式a2+b2−4a−6b+15的最小值（模仿示例详细说明）．
【答案】(1)x−22
(2)3
(3)①−23；②2
【分析】（1）利用完全平方公式分解因式即可；
（2）利用完全平方公式把原式分解因式即可得到答案；
（3）①仿照题意求解即可；
②仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：x2−4x+4=x−22，
故答案为：x−22；
（2）∵x2−6x+9=0，
∴x−32=0，
∴x=3，
故答案为：3；
（3）①x2+10x+2=x2+10x+25−23=x+52−23，
∵x+52≥0，
∴x+52−23≥−23，
∴当x=−5时，原式的最小值为−23；
故答案为：−23；
②a2+b2−4a−6b+15
=a2−4a+4+b2−6b+9+2
=a−22+b−32+2，
∵a−22≥0，b−32≥0，
∴a−22+b−32+2≥2，
∴当a=2，b=3时，原式的最小值为2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式分解因式的应用，正确理解题意是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·八年级课时练习）已知A为多项式，且A=−2x2−y2+12x+4y+1，则A有（ ）
A．最大值23B．最小值23C．最大值−23D．最小值−23
【答案】A
【分析】利用分组分解法，变为完全平方式解答即可．
【详解】A=−2x2−y2+12x+4y+1
=−2x2+12x−18−y2+4y−4+1+18+4
=−2x2−6x+9−y2−4y+4+23
=−2x−32−y−22+23
∵−2x−32≤0，−y−22≤0，
∴−2x−32−y−22+23≤23，
∴多项式的最大值是23，
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．
【变式7-3】（2023·安徽亳州·八年级专题练习）求x2−6xy+10y2−4y+10的最小值 ．
【答案】6
【分析】先对x2−6xy+10y2−4y+10进行变换，再根据平方的非负性质进行解答即可．
【详解】解：x2−6xy+10y2−4y+10
=x2−6xy+9y2+y2−4y+4+6
=(x−3y)2+(y−2)2+6，
∵(x−3y)2≥0，(y−2)2≥0，
∴(x−3y)2+(y−2)2+6≥6，即x2−6xy+10y2−4y+10的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解、完全平方公式和平方的非负性质，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
【题型8 因式分解在新定义问题中的运用】
【例8】（2023春·全国·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，a(b+c+d)=ab+ac+ad是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到ab+ac+ad=a(b+c+d)，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如(a±b)2=a2±2ab+b2、(a+b)(a−b)=a2−b2是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到a2±2ab+b2=(a±b)2、a2−b2=(a+b)(a−b)，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：x2−xy+4x−4y
=(x2−xy)+(4x−4y)（分成两组）
=x(x−y)+4(x−y)（分别提公因式）
=(x−y)(x+4)
乙：a2−b2−c2+2bc
=a2−(b2+c2−2bc)（分成两组）
=a2−(b−c)2（运用公式）
=(a+b−c)(a−b+c)
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1）m3−2m2−4m+8；
（2）x2−2xy+y2−9．
问题二：探究
对x、y定义一种新运算F，规定：F(x,y)=(mx+ny)(3x−y)（其中m，n均为非零常数）．当x2≠y2时，F(x,y)=F(y,x)对任意有理数x、y都成立，试探究m，n的数量关系．
【答案】问题一：因式分解：（1）(m−2)2(m+2)（2）(x−y−3)(x−y+3)；问题二：探究m,n的数量关系3m+n=0．
【分析】问题一：因式分解：（1）按系数成比分组m2(m−2)−4(m−2)提公因式(m−2)(m2−4)再利用平分差公式因式分解，最后整理为(m−2)2即可；
（2）按完全平方公式分组x2−2xy+y2，然后利用公式变形为(x−y)2再利用平方差公式因式分解即可；
问题二：探究∶先求F(x,y)=3mx2+(3n−m)xy−ny2，再求F(y,x)=3my2+(3n−m)xy−mx2，由F(x,y)=F(y,x)，可得3mx2+(3n−m)xy−ny2=3my2+(3n−m)xy−nx2，合并同类项(3m+n)x2=(3m+n)y2，由x2≠y2，对任意有理数x、y都成立，可得3m+n=0即可．
【详解】解：问题一：因式分解：
（1）m3−2m2−4m+8
=m2(m−2)−4(m−2)，
=(m−2)(m2−4)
=(m−2)(m−2)(m+2)，
=(m−2)2(m+2)；
（2）x2−2xy+y2−9
=(x2−2xy+y2)−9
=(x−y)2−9
=(x−y)−3(x−y)+3
=(x−y−3)(x−y+3)；
问题二：探究F(xy)=(mx+m)(3x−y)=3mx2+(3n−m)xy−ny2，
F(y,x)=(my+m)(3y−x)=3my2+(3n−m)xy−nx2，
∵F(x,y)=F(y,x)，
∴3mx2+(3n−m)xy−ny2=3my2+(3n−m)xy−nx2，
∴3ma2−3my2+mx2−my2=0，
∴(3m+n)x2=(3m+n)y2，
∵x2≠y2，对任意有理数x、y都成立，
∴3m+n=0，
∴m，n的数量关系3m+n=0．
【点睛】本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键．
【变式8-1】定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”.
（1）若a=2，b=−1，直接写出a，b的“如意数”c；
（2）如果a=m−4，b=−m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” c≤0；
（3）已知a=x2(x≠0)，且a，b的“如意数”为c=x4+4x2+2，请用含x的式子表示b.
【答案】（1）c=−1；（2）证明见解析；（3）b=x2+2.
【分析】（1）根据“如意数”的定义即可求出c；
（2）先根据“如意数”的定义列出c的代数式，然后对等式右边因式分解，结合乘方的非负性即可证明c≤0；
（3）根据“如意数”的定义构建方程，求出b即可.
【详解】解：（1）根据题意，c=2×(−1)+2+(−1)=−2+2−1=−1；
（2）根据题意，c=(m−4)⋅(−m)+(m−4)+(−m)=−m2+4m−4=−(m−2)2，
∵(m−2)2≥0，
∴−(m−2)2≤0即c≤0；
（3）∵c=ab+a+b，a=x2(x≠0)，c=x4+4x2+2，
∴x4+4x2+2=bx2+x2+b，
∴b(x2+1)=x4+3x2+2=(x2+2)(x2+1)，
∵x≠0，
∴x2+1≠0，
∴b=x2+2.
【点睛】本题考查因式分解的应用.能根据“如意数”的定义去计算（或列式）是解决此题的先决条件，能灵活运用因式分解法因式分解是解决此题的关键.尤其在（3）中能用因式分解法将x4+3x2+2化为(x2+2)(x2+1)是解决此问的关键.
【变式8-2】（2023春·河南周口·八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算：m⊗n=(m−n)2．下面四个推断正确的是（ ）
A．m⊗n=n⊗mB．(m⊗n)2=m2⊗n2
C．(m⊗n)⊗p=m⊗(n⊗p)D．m⊗(n−p)=(m⊗n)−(m⊗p)
【答案】A
【分析】各式利用题中的新定义判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
A．m⊗n=m−n2，n⊗m=n−m2，故推断正确；
B．(m⊗n)2=m−n22=m−n4，m2⊗n2=m2−n22=m+nm−n2=m+n2m−n2，故推断不正确；
C．(m⊗n)⊗p=m−n2⊗p=m−n2−p2，m⊗(n⊗p)=m⊗n−p2=m−n−p22，故推断不正确；
D．m⊗(n−p)=m−n−p2=m−n+p2，(m⊗n)−(m⊗p)=m−n2−m−p2=m−n+m−pm−n−m−p=2m−n−pp−n，故推断不正确．
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k=5，理由见解答过程；（4）见解析
【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”；
（2）利用53=22+72即可判断；
（3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可；
（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断．
【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，
故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，
故答案为：2或5或8（写一个即可）；
（2）53=22+72，故53是“完美数”，
故答案为：是；
（3）k=5（答案不唯一），
理由：∵M=x2+4x+k
∴M=x2+4x+4+k-4
M=（x+2）2+k-4
则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5．
（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，
则有mn=（a2+b2）（c2+d2）
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd
=（ac+bd）2+（ad-bc）2
故mn是一个“完美数”．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】
【例9】（2023春·八年级统考期末）（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成x+mx+n．
例如：（1）x2+4x+3=x+1x+3；（2）x2−4x−12=x−6x+2．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1)x2−6x+8；
(2)x2−2x−15；
(3)x−4x+7+18．
【答案】(1)x−2x−4
(2)x+3x−5
(3)x−2x+5
【分析】根据x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)进行解答即可．
【详解】（1）解：x2−6x+8=x−2x−4；
（2）解：x2−2x−15=x+3x−5；
（3）解：x−4x+7+18=x2+3x−10=x−2x+5．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底．
【变式9-1】（2023春·湖南湘潭·八年级统考期末）材料1：由多项式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab，将该式子从右到左使用，即可对形如x2+a+bx+ab的多项式进行因式分解：x2+a+bx+ab=x+ax+b．多项式x2+a+bx+ab的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解：x+y2+2x+y+1，将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12，再将“A”还原得：原式=x+y+12．
上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)根据材料1将x2+8x+7因式分解；
(2)根据材料2将x−y2−12x−y+36因式分解；
(3)结合材料1和材料2，将m2−4mm2−4m+2−8因式分解．
【答案】(1)x+7x+1
(2)(x−y−6)2
(3)(m−2)2m2−4m−2
【分析】（1）利用公式x2+a+bx+ab=x+ax+b，直接进行因式分解即可；
（2）令x−y=A，原式可化为A2−12A+36，再分解因式即可；
（3）把m2−4m看作是整体，再分解因式即可．
【详解】（1）解：x2+8x+7=x+7x+1；
（2）令x−y=A，
则(x−y)2−12x−y+36=A2−12A+36=(A−6)2=(x−y−6)2
（3）m2−4mm2−4m+2−8
=(m2−4m)2+2m2−4m−8
=m2−4m+4m2−4m−2
=(m−2)2m2−4m−2．
【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，理解题意，熟练的利用整体进行因式分解是解本题的关键．
【变式9-2】（2023春·全国·八年级期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+ca≠0的多项式变形为ax+m2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+ca≠0的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：
x2+4x−5=x2+2⋅x⋅42+422−422−5=x+22−9=x+2+3x+2−3=x+5x−1
即：x2+4x−5=x+5x−1．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)把下列多项式因式分解：
①x2+2x−8；
②x2−3x−18；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【答案】(1)①x−2x+4；②x+3x−6
(2)12
【分析】（1）结合材料进行因式分解即可；
（2）把a2+b2+c2+50=6a+8b+10c凑成完全平方式即可求解．
【详解】（1）解：①x2+2x−8=x2+2x+1−1−8
=(x+1)2−9
=(x+1−3)(x+1+3)
=(x−2)(x+4)；
②x2−3x−18=x2−2⋅x⋅32+322−322−18
=x−322−814
=x−32+92x−32−92
=(x+3)(x−6)．
（2）解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴a2+b2+c2+50−6a−8b−10c=0，
∴a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25−9−16−25+50=0，
∴(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，
∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，
∴a=3，b=4，c=5
∴△ABC的周长=3+4+5=12．
【点睛】本题考查了因式分解，灵活运用所学知识是解题关键．
【变式9-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）[阅读材料]分解因式：x2+x−2．
解：把x=1代入x2+x−2，发现此多项式的值为0，由此确定x2+x−2中有因式x−1，可设x2+x−2=x−1x+m（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)请完成下列因式分解：
x2+x−2=__________；2x2−5x−7=__________．
(2)请你用“试根法”分解因式：x3+3x2−4；
(3)①若多项式x2+mx−n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是x−2，求代数式9m3n的值；
②若多项式x4+mx3+nx−16含有因式x−2和x+1，求mn的值．
【答案】(1)x−1x+2，x+12x−7
(2)x−1x+22
(3)①181；②100
【分析】（1）将x2+x−2=x−1x+m展开得到x2+x−2=x2+mx−x−m=x2+m−1x−m，对应相等即可得到m的值，从而得到答案，同理即可求出因式分解2x2−5x−7的答案；
（2）当x=1时，x3+3x2−4=0，设x3+3x2−4=x−1x2+ax+b，展开等式右边的括号之后，对应相等，即可得到a、b的值，从而得到答案；
（3）①根据题意得，x=2时，x2+mx−n=0，把x=2代入可得2m−n=−4，由9m3n=32m−n，进行计算即可得到答案；②根据题意得，x=2和x=−1时x4+mx3+nx−16=0，把x=2和x=−1代入得关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：把x=1代入x2+x−2，发现此多项式的值为0，由此确定x2+x−2中有因式x−1，可设x2+x−2=x−1x+m（m为常数），
则x2+x−2=x2+mx−x−m=x2+m−1x−m，
∴m=2，
∴x2+x−2=x−1x+2，
把x=−1代入2x2−5x−7，发现此多项式的值为0，由此确定2x2−5x−7中有因式x+1，
可设2x2−5x−7=x+12x+n（n为常数），
则2x2−5x−7=2x2+nx+2x+n=2x2+n+2x+n，
∴n=−7，
∴2x2−5x−7=x+12x−7，
故答案为：x−1x+2，x+12x−7；
（2）解：当x=1时，x3+3x2−4=0，
设x3+3x2−4=x−1x2+ax+b，
则x3+3x2−4=x3+ax2+bx−x2−ax−b，
∴ x3+3x2−4=x3+a−1x2+b−ax−b，
∴−b=−4b−a=0a−1=3，
∴a=4b=4，
∴ x3+3x2−4=x−1x2+4x+4=x−1x+22；
（3）解：①根据题意得，x=2时，x2+mx−n=0，
把x=2代入x2+mx−n，得22+2m−n=0，
∴2m−n=−4，
∴9m3n=32m−n=3−4=181；
②根据题意得，x=2和x=−1时x4+mx3+nx−16=0，
把x=2和x=−1代入得，
16+8m+2n−16=01−m−n−16=0，
整理得：8m+2n=0m+n=−15，
解得：m=5n=−20，
∴mn=−100．
【点睛】本题考查了因式分解，解二元一次方程组，解本题的关键是理解试根法进行因式分解．
在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”．
例如：a4+4=a4+4+4a2−4a2=a4+4a2+4−4a2=a2+22−2a2=a2+2a+2a2−2a+2．
参照上述方法，我们可以对a3+b3因式分解，下面是因式分解的部分解答过程．
a3+b3=a3+a2b−a2b+b3=a3+a2b−a2b−b3=a+b⋅a2−a+b⋅ba−b=⋅⋅⋅
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8970" 【题型1 利用因式分解求值】 PAGEREF _Tc8970 \h 1
\l "_Tc26060" 【题型2 因式分解在有理数简算中的应用】 PAGEREF _Tc26060 \h 4
\l "_Tc5043" 【题型3 利用因式分解确定整除问题】 PAGEREF _Tc5043 \h 7
\l "_Tc1644" 【题型4 利用添项进行因式分解】 PAGEREF _Tc1644 \h 11
\l "_Tc23588" 【题型5 利用拆项进行因式分解】 PAGEREF _Tc23588 \h 15
\l "_Tc10180" 【题型6 利用因式分解确定三角形的形状】 PAGEREF _Tc10180 \h 17
\l "_Tc6974" 【题型7 利用因式分解求最值】 PAGEREF _Tc6974 \h 19
\l "_Tc18355" 【题型8 因式分解在新定义问题中的运用】 PAGEREF _Tc18355 \h 22
\l "_Tc20443" 【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc20443 \h 26
【知识点 因式分解】
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【题型1 利用因式分解求值】
【例1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）将2xn−81因式分解后得4x2+92x+32x−3，那么n等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】先求出4x2+92x+32x−3=2x4−81，根据将2xn−81因式分解后得4x2+92x+32x−3，即可得出2xn−81=2x4−81，即可得出答案．
【详解】解：∵4x2+92x+32x−3
=4x2+94x2−9
=16x4−81，
=2x4−81
又∵将2xn−81因式分解后得4x2+92x+32x−3，
∴2xn−81=2x4−81，
∴n=4，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，多项式乘法，解题的关键是求出4x2+92x+32x−3=2x4−81．
【变式1-1】（2023春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）把多项式x3+ax分解因式得xx−12x+b，求a、b的值．
【答案】a=−14,b=12
【分析】根据整式的乘法运算将xx−12x+b化为x3+b−12x2−12bx，根据x3+ax=x3+b−12x2−12bx可知b−12=0，−12b=a，求出a、b的值即可．
【详解】解：xx−12x+b
=xx2+b−12x−12b
=x3+b−12x2−12bx，
∵x3+ax=xx−12x+b，
∴x3+ax=x3+b−12x2−12bx，
∴b−12=0，−12b=a，
∴a=−14,b=12．
【点睛】本题考查分解因式的知识及整式的乘法，正确计算出整式乘法的式子得出b−12=0，−12b=a是解答本题的关键．
【变式1-2】（2023春·八年级单元测试）已知三次四项式2x3−5x2−6x+k分解因式后有一个因式是x−3，试求k的值及另一个因式．
【答案】k=9，2x2+x−3
【分析】根据题意，当x=3时，代数式的值为0，进而求得k的值，然后因式分解即可求解．
【详解】解：依题意，三次四项式2x3−5x2−6x+k分解因式后有一个因式是x−3，
∴x=3时，原式=2×33−5×32−6×3+k=−9+k=0
∴k=9，
∵2x3−5x2−6x+9=2x2x−3+x2−6x+9
=2x2x−3+x−32
=x−32x2+x−3
∴另一个因式为2x2+x−3
【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题时要根据分组分解法、提公因式法、公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）若2x2−6y2+xy+kx+6能分解成两个一次因式的积，则整数k= .
【答案】±7
【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可．
【详解】解：设2x2−6y2+xy+kx+6能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，
∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得a=−14b=32，
或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得a=611b=−111，
②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得a=2b=−3，
或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得a=34b=−12,
③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得a=2b=−3，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得a=34b=−12，
④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得a=−14b=32，
或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得a=611b=−111，
∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，
∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，
∴整数k的值是7，-7．
故答案为：±7．
【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解．
【题型2 因式分解在有理数简算中的应用】
【例2】（2023春·八年级课时练习）利用因式分解计算：
(1)−2101+−2100；
(2)32021−32020；
(3)121×0.13+12.1×0.9−12×1.21；
(4)2022+982+202×196．
【答案】(1)−2100
(2)2×32020
(3)12.1
(4)90000
【分析】（1）提取−2100后计算即可；
（2）提取32020后计算即可；
（3）原式变形为1.21×13+1.21×9−1.21×12，然后提取1.21后计算即可；
（4）利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：−2101+−2100
=−2100×−2+1
=−2100；
（2）解：32021−32020
=32020×3−1
=2×32020；
（3）解：121×0.13+12.1×0.9−12×1.21
=1.21×13+1.21×9−1.21×12
=1.21×13+9−12
=1.21×10
=12.1；
（4）解：2022+982+202×196
=2022+982+2×202×98
=202+982
=3002
=90000．
【点睛】本题考查了利用因式分解进行简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：2020×512－2020×492的结果是 ．
【答案】404000
【分析】先提取公因式2020，再根据平方差公式分解后计算可得答案．
【详解】2020×512－2020×492
=2020×（512－492）
=2020×（51+49）×(51-49)
=2020×100×2
=404000,
故答案为：404000．
【点睛】此题考查提公因式法，平方差公式，熟练掌握计算公式及因式分解的方法是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·八年级单元测试）计算：（1）(1−122)×(1−132)×(1−142)×…×(1−192)×(1−1102)；
（2）20212−2021×4040+20202
【答案】（1）1120；（2）1
【分析】（1）先根据平方差公式分解，算出结果后计算乘法即可得到答案；
（2）利用完全平方公式分解计算．
【详解】（1）(1−122)×(1−132)×(1−142)×…×(1−192)×(1−1102)
=(1−12)×(1+12)×(1−13)×(1+13)×(1−14)×(1+14)×⋯×(1−19)×(1+19)×(1−110)×(1+110)
=12×32×23×43×34×54×⋯×89×109×910×1110
=12×1110
=1120；
（2）20212−2021×4040+20202
=20212−2×2021×2020+20202
=(2021−2020)2
=1．
【点睛】此题考查因式分解进行有理数的混合计算，正确掌握因式分解的方法：平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·八年级单元测试）利用因式分解计算：
（1）1002−992+982−972+…+42−32+22−12
（2）1+2452+154+158+1⋅…⋅532+1
（3）2n+4−22n22n+2
【答案】（1）5050；（2）564；（3）74
【分析】（1）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）原式第二项分子分母乘以52-1，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（3）原式计算后，提取公因式，约分即可得到结果．
【详解】解：（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2-1）（2+1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1
=101×50
=5050；
（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）
=1+24×52−152−1×（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）
=1+564-1
=564；
（3）2n+4−22n22n+2
=2n+1×8−2n+12n+1×4
=2n+1×72n+1×4
=74
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【题型3 利用因式分解确定整除问题】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）某兴趣小组为探究被3整除的数的规律，提出了以下问题：
（1）在312，465，522，458中不能被3整除的数是________；
（2）一个三位数abc表示百位、十位、个位上的数字分别是a、b、c（a，b，c为0－9之间的整数，且a≠0），那么abc=100a+10b+c．若a+b+c是3的倍数（设a+b+c=3t，t为正整数），那么abc能被3整除吗？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
（3）若一个能被3整除的两位正整数ab（a，b为1－9之间的整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到一个新数，新数减去原数等于54，求这个正整数ab．
【答案】（1）458；（2）能，见解析；（3）39
【分析】（1）把各个数除以3即可得出结果；
（2）由题意可列出式子abc=100a+10b+c，进行整理可得：3(t+33a+3b)从而可判断；
（3）根据题意可得：ba−ab=54，把各个数表示出来代入进行求解，可以得出结果．
【详解】解：（1）312÷3=104，能被3整除；
465÷3=155，能被3整除；
522÷3=174，能被3整除；
458÷3=，不能被3整除；
故答案为：458；
（2）此时abc能被3整除，
证明：若a+b+c是3的倍数，则令a+b+c=3t(t为正整数），
则有abc=100a+10b+c，
=(a+b+c)+(99a+9b)，
=3t+3(33a+3b)，
=3(t+33a+3b)，
故abc能被3整除；
（3）∵ ab交换后为ba，由题意得：
ba−ab=54，
有(10b+a)−(10a+b)=54，
整理得：9(b−a)=54，
得：b−a=6，
∵a，b为1−9之间的整数，
∴有{a=1b=7，{a=2b=8，{a=3b=9，
∵ ab能被3整除，
∴这个正整数是39．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，表示出相应两位数或三位数．
【变式3-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）利用因式分解说明：当n为自然数时，n+72−n−52能被24整除．
【答案】见解析
【分析】将n+7和n−5分别看做整体，用平方差公式进行因式分解，所得的结果中含有因式24，即可求证．
【详解】解：n+72−n−52
=n+7+n−5n+7−n−5
=122n+2
=24n+1，
∴n+72−n−52能被24整除．
【点睛】本题主要考查了用平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式a2−b2=a+ba−b．
【变式3-2】（2023春·湖南永州·八年级校联考期中）已知432−1可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．12，14B．13，15C．14，16D．15，17
【答案】D
【分析】把432−1因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除.
【详解】432−1 =416+1416−1
=416+148+148−1
=416+148+144+144−1
=416+148+144+142+142−1
=416+148+144+1×17×15
∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除.
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)是解答本题的关键.
【变式3-3】（2023·河北衡水·统考三模）某数学兴趣小组研究如下等式：
38×32=1216，
53×57=3021，
71×79=5609，
84×86=7224．
观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”．
(1)根据上述的运算规律，直接写出结果：58×52=___________；752=___________．
(2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b>0），
①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；
②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换为83×23）．若分别记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：m−n能被99整除．
【答案】(1)3016；5625
(2)①10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b；证明见解析；②见解析
【分析】（1）根据上述的运算规律计算，即可求解；
（2）①根据题意可得这两个两位数分别为10a+b，10a+10−b，从而得到这个运算规律为10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b，然后分别计算等式的左右两边，即可；②由①得：n=100a2+100a+10b−b2，可得新的两个两位数分别为10b+a，1010−b+a，进而得到m=10b+a1010−b+a，然后计算出m−n，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：58×52=5×6×100+8×2=3016，
752=7×8×100+5×5=5625；
故答案为：3016；5625
（2）解：①∵其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b>0），
∴另一个数的十位数字为a，个位数字为10−b，
∴这两个两位数分别为10a+b，10a+10−b，
根据题意得：这个运算规律为10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b，
证明：左边=100a2+10ab+100a+10b−10ab−b2
=100a2+100a+10b−b2
右边=100a2+100a+10b−b2，
∴左边=右边；
②由①得：n=100a2+100a+10b−b2，
∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘，
∴新的两个两位数分别为10b+a，1010−b+a，
∴m=10b+a1010−b+a
=10b+a100−10b+a
=1000b+100a−100b2−10ab+10ab+a2
=1000b−100b2+100a+a2，
∴m−n=1000b−100b2+100a+a2−100a2+100a+10b−b2
=1000b−100b2+100a+a2−100a2−100a−10b+b2
=−99a2−99b2+990b，
=−99a2+b2+10b，
∵a，b为正整数，
∴a2+b2+10b为整数，
∴m−n能被99整除．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
【题型4 利用添项进行因式分解】
【例4】（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和x22+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−2x2=x2+2x+2x2−2x+2，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．
根据以上方法，把下列各式因式分解：
(1)4x4+y4；
(2)a2−4am−n2+4mn．
【答案】(1)2x2+y2+2xy2x2+y2−2xy；
(2)a−na−4m+n．
【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上4x2y2后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解；
（2）先分组，再利用提公因式法因式分解．
【详解】（1）原式=4x4+y4+4x2y2−4x2y2
=2x2+y22−4x2y2
=2x2+y2+2xy2x2+y2−2xy；
（2）原式=a2−4am+4m2−4m2−n2+4mn
=a2−4am+4m2−4m2+n2−4mn
=a−2m2−2m−n2
=a−2m+2m−na−2m−2m+n
=a−na−4m+n.
【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键．
【变式4-1】（2023春·广东佛山·八年级专题练习）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式a2−1可以用如下方法分解因式：
①a2−1=a2−a+a−1=aa−1+a−1=a−1a+1；
又比如多项式a3−1可以这样分解：
②a3−1=a3−a2+a2−a+a−1=a2a−1+aa−1+a−1=a−1a2+a+1；
仿照以上方法，分解多项式a5−1的结果是 ．
【答案】a−1a4+a3+a2+a+1
【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可．
【详解】解：a5−1
=a5−a4+a4−a3+a3−a2+a2−a+a−1
=a4a−1+a3a−1+a2a−1+aa−1+a−1
=a−1a4+a3+a2+a+1，
故答案为：a−1a4+a3+a2+a+1
【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想．
【变式4-2】（2023春·湖南常德·八年级统考期中）阅读与思考
任务：
(1)请根据以上阅读材料补充完整对a3+b3因式分解的过程．
(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3+b3的值．
【答案】(1)a+ba2−ab+b2
(2)a3+b3=32
【分析】（1）在题干的基础上再提取公因式a+b，整理即可；
（2）由（1）可知求出a2−ab+b2的值即可求出a3+b3的值．将a2−ab+b2变形为a+b2−3ab，再代入a+b和ab的值即得出a2−ab+b2的值，由此即得出结果．
【详解】（1）a3+b3=a3+a2b−a2b+b3
=a3+a2b−a2b−b3
=a+b⋅a2−ba+b⋅a−b
=a+b⋅a2−ba−b．
=a+ba2−ab+b2；
（2）∵a2−ab+b2
=a+b2−3ab
=22−3×−4
=16
∴a3+b3=a+ba2−ab+b2=2×16=32．
【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键．
【变式4-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）阅读理解：
添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：
例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
……
＝364−12
例2：因式分解：x4+x2+1
解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝(x2+1)2﹣x2
＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)
根据材料解决下列问题：
(1)计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)；
(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：
①分解因式：x4+4；
②计算：(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4).
【答案】(1)21024−121023；(2)①(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)；②1522+1.
【分析】(1)配成平方差公式只要在前面乘以2×(1﹣12)即可，连续使用平方差公式，得出最后结果，
(2)①根据配方法在原式的基础上(+4x2﹣4x2)，转化为完全平方公式，再利用拆项法配方，最后化为两个因式的积，
②根据x4+4的分解结果，分别求出当x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所对应的x4+4个结果，从而得到一个规律，再代入求值即可.
【详解】解：(1)原式＝2×(1﹣12)×(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)
＝2×(1﹣121024)
＝21024−121023，
(2)①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2
＝(x2+2)2﹣(2x)2
＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)，
②∵ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)
∴ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)＝[(x+1)2+1]•[(x﹣1)2+1]
原式＝(02+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(522+1)= 1522+1
【点睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知识，掌握公式，通过因式分解的变形，找出存在的规律是解决问题的关键.
【题型5 利用拆项进行因式分解】
【例5】（2023春·八年级课时练习）阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：x2＋4x＋3
解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（x2＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋6
【答案】（x＋2）（x＋3）
【分析】根据题意中的分解因式的方法求解即可．
【详解】解：原式=x2＋2x＋3x＋6
=x2+2x+(3x+6)
=xx+2+3(x+2)
=(x+2)(x+3)．
【点睛】题目主要考查多项式乘法及因式分解，理解题中分解因式的方法是解题关键．
【变式5-1】（2023春·黑龙江鸡西·八年级校考期末）利用拆项法，分解因式：x2﹣6x﹣7；
【答案】(x+1)(x－7)
【详解】解：x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）(x－3－4)
=(x+1)(x－7)；
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．
【变式5-2】（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）利用拆项法，解决下列问题：
(1)分解因式：x2−6x+5；
(2)分解因式：a2+4ab−5b2．
【答案】(1)x−1x−5
(2)a+5ba−b
【分析】（1）将5拆解成9−4，再根据完全平方公式得x−32−22，然后利用平方差公式进一步分解．
（2）将−5b2拆解成4b2−9b2，再根据完全平方公式得a+2b2−9b2，然后利用平方差公式进一步分解．
【详解】（1）原式=x2−6x+9−4 =x−32−22 =x−3−2x−3+2 =x−1x−5
（2）原式=a2+4ab+4b2−9b2 =a+2b2−9b2 =a+2b+3ba+2b−3b =a+5ba−b
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值．
【变式5-3】（2023春·八年级单元测试）阅读理解题：
拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把x3−3x2+4分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成x3+1−3x2−3，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：
原式=x3+1−3x2−3=x+1x2−x+1−3x+1x−1
=x+1x2−x+1−3x+3=x+1x−22
公式：a3+b3=a+ba2−ab+b2，a3−b3=a−ba2+ab+b2
根据上述论法和解法，
（1）因式分解：x3+x2−2；
（2）因式分解：x3−7x+6；
（3）因式分解：x4+x2+1．
【答案】（1）x−1x2+2x+2；（2）x−1x+3x−2；（3）x2+x+1x2−x+1
【分析】（1）将原式拆成x3−1+x2−1，然后分别利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式x-1即可；
（2）将原式拆成x3−1−7x+7，然后前两项利用立方差公式因式分解，后两项提取公因式即可确定答案；
（3）将原式拆成x4+2x2+1−x2，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：（1）x3+x2−2=x3−1+x2−1
=x−1x2+x+1+x−1x+1
=x−1x2+2x+2
（2）x3−7x+6=x3−1−7x+7
=x3−1−7x−1
=x−1x2+x+1−7x−1
=x−1x2+x+6
=x−1x+3x−2
（3）x4+x2+1=x4+2x2+1−x2
=x2+12−x2
=x2+1+xx2+1−x
=x2+x+1x2−x+1
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读题目，从题目中得到因式分解的方法，难度不大．
【题型6 利用因式分解确定三角形的形状】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为 三角形．
【答案】等腰或直角或等腰直角．
【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式，然后分三种情况进行讨论．
【详解】∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2(a+b)(a﹣b)＝（a2+b2）(a+b)(a﹣b)，
∴当a＝b，则△ABC是等腰三角形；
当a≠b，则c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，
当a＝b，且c2＝a2+b2，则△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC为等腰三角形或直角或等腰直角三角形．
故答案为：等腰或直角或等腰直角．
【点睛】本题考查了用提公因式法与平方差公式分解因式，用提公因式法与平方差公式分解因式得到a，b，c的关系式是解题的关键，注意考虑问题要全面．
【变式6-1】（2023春·河南郑州·八年级校联考期中）若△ABC三边a、b、c满足a2−ab−ac+bc=0，则△ABC是 三角形．
【答案】等腰
【分析】等式左边因式分解后，利用两式相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可确定a，b，c的关系，即可作出判断．
【详解】∵a2−ab−ac+bc=0，
∴aa−c−ba−c=0，
∴a−ba−c=0，
∴a−b=0或a−c=0，
∴a=b或a=c，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【点睛】本题考查因式分解的方法-分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：a，b，c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3a2+b2+c2．求证：这个三角形是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】根据完全平方式将原式变形为a−b2+a−c2+b−c2=0，结合平方的非负性即可计算得到正确答案．
【详解】解：∵a+b+c2=a+b+c2
=a+b2+c2+2a+bc
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴原式可变形为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=3a2+b2+c2
a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0
a−b2+a−c2+b−c2=0
∵a−b2≥0，a−c2≥0,b−c2≥0，a−b2+a−c2+b−c2=0
∴a−b=0,a−c=0,b−c=0
∴a=b,a=c,b=c
∴a=b=c
即这个三角形是等边三角形．
【点睛】本题考查完全平方式的应用，平方非负性的应用，根据相关知识点灵活应用是解题关键．
【变式6-3】（2023春·八年级统考课时练习）已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24，则这样的三角形共有 个．
【答案】3
【分析】先将a+bc+b+ca=24 可以化为 （a+b）（c+1）=24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合，讨论是否符合题意即可得出答案．
【详解】解：∵a+bc+b+ca=24，
∴（a+b）+（bc+ca）=24，
∴c+1b+a=24，
∵等腰△ABC的三边长a、b、c均为整数，
∴a+b，c+1为大于或等于2的正整数，
那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2，
①a+b =2，c+1 =12时，c=11，a+b=2，无法得到满足等腰三角形的整数解；
②a+b =3，c+1 =8时，c=7，a+b=3，无法得到满足等腰三角形的整数解；
③a+b =4，c+1 =6时，c=5，a+b=4，无法得到满足等腰三角形的整数解；
④a+b =6，c+1 =4时，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以组成等腰三角形；
⑤a+b =8，c+1 =3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以组成等腰三角形；
⑥a+b =12，c+1 =2时，可得 a=b=6，c=1，可以组成等腰三角形．
∴一共有3个这样的三角形．
故答案是：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键．
【题型7 利用因式分解求最值】
【例7】（2023春·湖南株洲·八年级株洲二中校考期末）整数a、b、c是△ABC的三条边（a
【分析】根据三角形的周长得到a+b=30−c，整体代入c2+18a+18b−446，得到c−92+13，利用三角形的三边关系求出10
∴a+b+c=30，
∴a+b=30−c，
而a+b>c，则30−c>c，
∴c<15，
∵a
=c2+18a+b−446
=c2+1830−c−446
=c−92+13
∵c是整数，
∴当c=11时，c2+18a+18b−446的值最小，且为17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，正确求出自变量c的取值范围．
【变式7-1】（2023春·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题：
(1)因式分解：x2−4x+4=__________．
(2)填空：当x=__________时，代数式x2−6x+9=0；
(3)阅读如下材料，完成下列问题：
对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
x2−2x+3=x2−2x+12−12+3=x−12+2．
因为x−12≥0，所以x−12+2≥2，所以当x=1时，原式的最小值为2．
①代数式x2+10x+2的最小值是__________；
②拓展与应用：求代数式a2+b2−4a−6b+15的最小值（模仿示例详细说明）．
【答案】(1)x−22
(2)3
(3)①−23；②2
【分析】（1）利用完全平方公式分解因式即可；
（2）利用完全平方公式把原式分解因式即可得到答案；
（3）①仿照题意求解即可；
②仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：x2−4x+4=x−22，
故答案为：x−22；
（2）∵x2−6x+9=0，
∴x−32=0，
∴x=3，
故答案为：3；
（3）①x2+10x+2=x2+10x+25−23=x+52−23，
∵x+52≥0，
∴x+52−23≥−23，
∴当x=−5时，原式的最小值为−23；
故答案为：−23；
②a2+b2−4a−6b+15
=a2−4a+4+b2−6b+9+2
=a−22+b−32+2，
∵a−22≥0，b−32≥0，
∴a−22+b−32+2≥2，
∴当a=2，b=3时，原式的最小值为2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式分解因式的应用，正确理解题意是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·八年级课时练习）已知A为多项式，且A=−2x2−y2+12x+4y+1，则A有（ ）
A．最大值23B．最小值23C．最大值−23D．最小值−23
【答案】A
【分析】利用分组分解法，变为完全平方式解答即可．
【详解】A=−2x2−y2+12x+4y+1
=−2x2+12x−18−y2+4y−4+1+18+4
=−2x2−6x+9−y2−4y+4+23
=−2x−32−y−22+23
∵−2x−32≤0，−y−22≤0，
∴−2x−32−y−22+23≤23，
∴多项式的最大值是23，
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．
【变式7-3】（2023·安徽亳州·八年级专题练习）求x2−6xy+10y2−4y+10的最小值 ．
【答案】6
【分析】先对x2−6xy+10y2−4y+10进行变换，再根据平方的非负性质进行解答即可．
【详解】解：x2−6xy+10y2−4y+10
=x2−6xy+9y2+y2−4y+4+6
=(x−3y)2+(y−2)2+6，
∵(x−3y)2≥0，(y−2)2≥0，
∴(x−3y)2+(y−2)2+6≥6，即x2−6xy+10y2−4y+10的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解、完全平方公式和平方的非负性质，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
【题型8 因式分解在新定义问题中的运用】
【例8】（2023春·全国·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，a(b+c+d)=ab+ac+ad是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到ab+ac+ad=a(b+c+d)，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如(a±b)2=a2±2ab+b2、(a+b)(a−b)=a2−b2是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到a2±2ab+b2=(a±b)2、a2−b2=(a+b)(a−b)，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：x2−xy+4x−4y
=(x2−xy)+(4x−4y)（分成两组）
=x(x−y)+4(x−y)（分别提公因式）
=(x−y)(x+4)
乙：a2−b2−c2+2bc
=a2−(b2+c2−2bc)（分成两组）
=a2−(b−c)2（运用公式）
=(a+b−c)(a−b+c)
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1）m3−2m2−4m+8；
（2）x2−2xy+y2−9．
问题二：探究
对x、y定义一种新运算F，规定：F(x,y)=(mx+ny)(3x−y)（其中m，n均为非零常数）．当x2≠y2时，F(x,y)=F(y,x)对任意有理数x、y都成立，试探究m，n的数量关系．
【答案】问题一：因式分解：（1）(m−2)2(m+2)（2）(x−y−3)(x−y+3)；问题二：探究m,n的数量关系3m+n=0．
【分析】问题一：因式分解：（1）按系数成比分组m2(m−2)−4(m−2)提公因式(m−2)(m2−4)再利用平分差公式因式分解，最后整理为(m−2)2即可；
（2）按完全平方公式分组x2−2xy+y2，然后利用公式变形为(x−y)2再利用平方差公式因式分解即可；
问题二：探究∶先求F(x,y)=3mx2+(3n−m)xy−ny2，再求F(y,x)=3my2+(3n−m)xy−mx2，由F(x,y)=F(y,x)，可得3mx2+(3n−m)xy−ny2=3my2+(3n−m)xy−nx2，合并同类项(3m+n)x2=(3m+n)y2，由x2≠y2，对任意有理数x、y都成立，可得3m+n=0即可．
【详解】解：问题一：因式分解：
（1）m3−2m2−4m+8
=m2(m−2)−4(m−2)，
=(m−2)(m2−4)
=(m−2)(m−2)(m+2)，
=(m−2)2(m+2)；
（2）x2−2xy+y2−9
=(x2−2xy+y2)−9
=(x−y)2−9
=(x−y)−3(x−y)+3
=(x−y−3)(x−y+3)；
问题二：探究F(xy)=(mx+m)(3x−y)=3mx2+(3n−m)xy−ny2，
F(y,x)=(my+m)(3y−x)=3my2+(3n−m)xy−nx2，
∵F(x,y)=F(y,x)，
∴3mx2+(3n−m)xy−ny2=3my2+(3n−m)xy−nx2，
∴3ma2−3my2+mx2−my2=0，
∴(3m+n)x2=(3m+n)y2，
∵x2≠y2，对任意有理数x、y都成立，
∴3m+n=0，
∴m，n的数量关系3m+n=0．
【点睛】本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键．
【变式8-1】定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”.
（1）若a=2，b=−1，直接写出a，b的“如意数”c；
（2）如果a=m−4，b=−m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” c≤0；
（3）已知a=x2(x≠0)，且a，b的“如意数”为c=x4+4x2+2，请用含x的式子表示b.
【答案】（1）c=−1；（2）证明见解析；（3）b=x2+2.
【分析】（1）根据“如意数”的定义即可求出c；
（2）先根据“如意数”的定义列出c的代数式，然后对等式右边因式分解，结合乘方的非负性即可证明c≤0；
（3）根据“如意数”的定义构建方程，求出b即可.
【详解】解：（1）根据题意，c=2×(−1)+2+(−1)=−2+2−1=−1；
（2）根据题意，c=(m−4)⋅(−m)+(m−4)+(−m)=−m2+4m−4=−(m−2)2，
∵(m−2)2≥0，
∴−(m−2)2≤0即c≤0；
（3）∵c=ab+a+b，a=x2(x≠0)，c=x4+4x2+2，
∴x4+4x2+2=bx2+x2+b，
∴b(x2+1)=x4+3x2+2=(x2+2)(x2+1)，
∵x≠0，
∴x2+1≠0，
∴b=x2+2.
【点睛】本题考查因式分解的应用.能根据“如意数”的定义去计算（或列式）是解决此题的先决条件，能灵活运用因式分解法因式分解是解决此题的关键.尤其在（3）中能用因式分解法将x4+3x2+2化为(x2+2)(x2+1)是解决此问的关键.
【变式8-2】（2023春·河南周口·八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算：m⊗n=(m−n)2．下面四个推断正确的是（ ）
A．m⊗n=n⊗mB．(m⊗n)2=m2⊗n2
C．(m⊗n)⊗p=m⊗(n⊗p)D．m⊗(n−p)=(m⊗n)−(m⊗p)
【答案】A
【分析】各式利用题中的新定义判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
A．m⊗n=m−n2，n⊗m=n−m2，故推断正确；
B．(m⊗n)2=m−n22=m−n4，m2⊗n2=m2−n22=m+nm−n2=m+n2m−n2，故推断不正确；
C．(m⊗n)⊗p=m−n2⊗p=m−n2−p2，m⊗(n⊗p)=m⊗n−p2=m−n−p22，故推断不正确；
D．m⊗(n−p)=m−n−p2=m−n+p2，(m⊗n)−(m⊗p)=m−n2−m−p2=m−n+m−pm−n−m−p=2m−n−pp−n，故推断不正确．
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k=5，理由见解答过程；（4）见解析
【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”；
（2）利用53=22+72即可判断；
（3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可；
（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断．
【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，
故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，
故答案为：2或5或8（写一个即可）；
（2）53=22+72，故53是“完美数”，
故答案为：是；
（3）k=5（答案不唯一），
理由：∵M=x2+4x+k
∴M=x2+4x+4+k-4
M=（x+2）2+k-4
则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5．
（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，
则有mn=（a2+b2）（c2+d2）
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd
=（ac+bd）2+（ad-bc）2
故mn是一个“完美数”．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】
【例9】（2023春·八年级统考期末）（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成x+mx+n．
例如：（1）x2+4x+3=x+1x+3；（2）x2−4x−12=x−6x+2．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1)x2−6x+8；
(2)x2−2x−15；
(3)x−4x+7+18．
【答案】(1)x−2x−4
(2)x+3x−5
(3)x−2x+5
【分析】根据x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)进行解答即可．
【详解】（1）解：x2−6x+8=x−2x−4；
（2）解：x2−2x−15=x+3x−5；
（3）解：x−4x+7+18=x2+3x−10=x−2x+5．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底．
【变式9-1】（2023春·湖南湘潭·八年级统考期末）材料1：由多项式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab，将该式子从右到左使用，即可对形如x2+a+bx+ab的多项式进行因式分解：x2+a+bx+ab=x+ax+b．多项式x2+a+bx+ab的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解：x+y2+2x+y+1，将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12，再将“A”还原得：原式=x+y+12．
上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)根据材料1将x2+8x+7因式分解；
(2)根据材料2将x−y2−12x−y+36因式分解；
(3)结合材料1和材料2，将m2−4mm2−4m+2−8因式分解．
【答案】(1)x+7x+1
(2)(x−y−6)2
(3)(m−2)2m2−4m−2
【分析】（1）利用公式x2+a+bx+ab=x+ax+b，直接进行因式分解即可；
（2）令x−y=A，原式可化为A2−12A+36，再分解因式即可；
（3）把m2−4m看作是整体，再分解因式即可．
【详解】（1）解：x2+8x+7=x+7x+1；
（2）令x−y=A，
则(x−y)2−12x−y+36=A2−12A+36=(A−6)2=(x−y−6)2
（3）m2−4mm2−4m+2−8
=(m2−4m)2+2m2−4m−8
=m2−4m+4m2−4m−2
=(m−2)2m2−4m−2．
【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，理解题意，熟练的利用整体进行因式分解是解本题的关键．
【变式9-2】（2023春·全国·八年级期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+ca≠0的多项式变形为ax+m2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+ca≠0的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：
x2+4x−5=x2+2⋅x⋅42+422−422−5=x+22−9=x+2+3x+2−3=x+5x−1
即：x2+4x−5=x+5x−1．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)把下列多项式因式分解：
①x2+2x−8；
②x2−3x−18；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【答案】(1)①x−2x+4；②x+3x−6
(2)12
【分析】（1）结合材料进行因式分解即可；
（2）把a2+b2+c2+50=6a+8b+10c凑成完全平方式即可求解．
【详解】（1）解：①x2+2x−8=x2+2x+1−1−8
=(x+1)2−9
=(x+1−3)(x+1+3)
=(x−2)(x+4)；
②x2−3x−18=x2−2⋅x⋅32+322−322−18
=x−322−814
=x−32+92x−32−92
=(x+3)(x−6)．
（2）解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴a2+b2+c2+50−6a−8b−10c=0，
∴a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25−9−16−25+50=0，
∴(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，
∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，
∴a=3，b=4，c=5
∴△ABC的周长=3+4+5=12．
【点睛】本题考查了因式分解，灵活运用所学知识是解题关键．
【变式9-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）[阅读材料]分解因式：x2+x−2．
解：把x=1代入x2+x−2，发现此多项式的值为0，由此确定x2+x−2中有因式x−1，可设x2+x−2=x−1x+m（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)请完成下列因式分解：
x2+x−2=__________；2x2−5x−7=__________．
(2)请你用“试根法”分解因式：x3+3x2−4；
(3)①若多项式x2+mx−n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是x−2，求代数式9m3n的值；
②若多项式x4+mx3+nx−16含有因式x−2和x+1，求mn的值．
【答案】(1)x−1x+2，x+12x−7
(2)x−1x+22
(3)①181；②100
【分析】（1）将x2+x−2=x−1x+m展开得到x2+x−2=x2+mx−x−m=x2+m−1x−m，对应相等即可得到m的值，从而得到答案，同理即可求出因式分解2x2−5x−7的答案；
（2）当x=1时，x3+3x2−4=0，设x3+3x2−4=x−1x2+ax+b，展开等式右边的括号之后，对应相等，即可得到a、b的值，从而得到答案；
（3）①根据题意得，x=2时，x2+mx−n=0，把x=2代入可得2m−n=−4，由9m3n=32m−n，进行计算即可得到答案；②根据题意得，x=2和x=−1时x4+mx3+nx−16=0，把x=2和x=−1代入得关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：把x=1代入x2+x−2，发现此多项式的值为0，由此确定x2+x−2中有因式x−1，可设x2+x−2=x−1x+m（m为常数），
则x2+x−2=x2+mx−x−m=x2+m−1x−m，
∴m=2，
∴x2+x−2=x−1x+2，
把x=−1代入2x2−5x−7，发现此多项式的值为0，由此确定2x2−5x−7中有因式x+1，
可设2x2−5x−7=x+12x+n（n为常数），
则2x2−5x−7=2x2+nx+2x+n=2x2+n+2x+n，
∴n=−7，
∴2x2−5x−7=x+12x−7，
故答案为：x−1x+2，x+12x−7；
（2）解：当x=1时，x3+3x2−4=0，
设x3+3x2−4=x−1x2+ax+b，
则x3+3x2−4=x3+ax2+bx−x2−ax−b，
∴ x3+3x2−4=x3+a−1x2+b−ax−b，
∴−b=−4b−a=0a−1=3，
∴a=4b=4，
∴ x3+3x2−4=x−1x2+4x+4=x−1x+22；
（3）解：①根据题意得，x=2时，x2+mx−n=0，
把x=2代入x2+mx−n，得22+2m−n=0，
∴2m−n=−4，
∴9m3n=32m−n=3−4=181；
②根据题意得，x=2和x=−1时x4+mx3+nx−16=0，
把x=2和x=−1代入得，
16+8m+2n−16=01−m−n−16=0，
整理得：8m+2n=0m+n=−15，
解得：m=5n=−20，
∴mn=−100．
【点睛】本题考查了因式分解，解二元一次方程组，解本题的关键是理解试根法进行因式分解．
在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”．
例如：a4+4=a4+4+4a2−4a2=a4+4a2+4−4a2=a2+22−2a2=a2+2a+2a2−2a+2．
参照上述方法，我们可以对a3+b3因式分解，下面是因式分解的部分解答过程．
a3+b3=a3+a2b−a2b+b3=a3+a2b−a2b−b3=a+b⋅a2−a+b⋅ba−b=⋅⋅⋅
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