中考数学一轮复习:专题3.4 整式中的八大规律探究题(华东师大版)(解析版)
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\l "_Tc16735" 【题型1 单项式的系数与次数的变化规律】 PAGEREF _Tc16735 \h 1
\l "_Tc18228" 【题型2 多项式的项及次数的变化规律】 PAGEREF _Tc18228 \h 3
\l "_Tc20392" 【题型3 图表的规律】 PAGEREF _Tc20392 \h 5
\l "_Tc29154" 【题型4 图形的规律】 PAGEREF _Tc29154 \h 8
\l "_Tc31780" 【题型5 算式的规律】 PAGEREF _Tc31780 \h 11
\l "_Tc24445" 【题型6 程序运算】 PAGEREF _Tc24445 \h 14
\l "_Tc28743" 【题型7 定义新运算】 PAGEREF _Tc28743 \h 17
\l "_Tc2522" 【题型8 动点规律探究】 PAGEREF _Tc2522 \h 20
【题型1 单项式的系数与次数的变化规律】
【例1】(2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学统考阶段练习)按一定规律排列的单项式:a2,−2a3,4a4,−8a5,16a6,…,第n个单项式是( )
A.(−1)n+1n2an+1B.(−1)n2nan
C.(−1)n+12n−1an+1D.(−1)n+12nan+1
【答案】C
【分析】分别分析a的系数与次数的变化规律,写出第n个单项式的表达式.
【详解】解:a2=(−1)1+121−1a1+1,
−2a3=(−1)2+122−1a2+1,
4a4=(−1)3+123−1a3+1,
−8a5=(−1)4+124−1a4+1,……,
∴第n个单项式是(−1)n+12n−1an+1.
故选:C.
【点睛】本题考查了单项式的找规律问题,分别找出符号、系数、次数的变化规律,从而得出单项式的变化规律.
【变式1-1】(2023春·山东滨州·七年级统考期中)观察下列单项式:xy2,−2x2y3,3x3y4,−4x4y5,…,按此规律,第2021个单项式是 .
【答案】2021x2021y2022
【分析】根据已知单项式得出第n个单项式为(−1)n+1•nxnyn+1,据此可得.
【详解】解:由已知单项式知第n个单项式为(−1)n+1•nxnyn+1,
∴第2021个单项式是2021x2021y2022,
故答案为:2021x2021y2022.
【点睛】本题主要考查数字的变化规律,解题的关键是将单项式划分为符号、系数的绝对值、字母的指数,并找到各部分与序数的关系.
【变式1-2】(2023春·七年级课时练习)观察下列三行数:
①2,−4,8,−16,32,−64,…;
②3,−3,9,−15,33,−63,…;
③−1,2,−4,8,−16,32,…;
取每一行的第n个数,依次记为x,y,z,当n=2时,x=−4,y=−3,z=2.
当n=7时,请直接写出x,y,z的值,并求这三个数中最大数与最小数的差.
【答案】x=128,y=129,z=−64,193
【分析】根据已知发现:第①行的数,从第二个数开始,后面一个数是前面一个数乘−2得到的,第②行的数第①行对应的数加1;第③行的数为第①行对应的数的一半的相反数,依此分别求出x、y、z的值,进而求解即可.
【详解】通过观察发现:
①2,−4,8,−16,32,−64,⋯,规律为−−2n,
②3,−3,9,−15,33,−63,⋯,规律为−−2n+1,
③−1,2,−4,8,−16,32,⋯,规律为12−2n,
当n=7时,x=−−27=128,
y=−−27+1=129,
z=12−27=−64,
这三个数中最大的数与最小的数的差为129−−64=193.
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类,观察数列,发现第②行、第③行的数与第①行数的关系以及第①行数的排列规律是解题的关键.
【变式1-3】(2023春·七年级课时练习)观察下列单项式:−x,3x2,−5x3,7x4,⋅⋅⋅,−37x19,39x20,⋅⋅⋅.解决下列问题:
(1)这组单项式的系数依次为多少?系数的绝对值的规律是什么?
(2)这组单项式的次数的规律是什么?
(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第n个单项式是什么吗?
(4)请你根据猜想,写出第2022个、第2023个单项式.
【答案】(1)−1,3,−5,7,⋯,−37,39,⋯,系数的绝对值的规律是2n−1
(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数
(3)(−1)n2n−1xn
(4)第2022个单项式是4043x2022,第2023个单项式是−4045x2023
【分析】(1)根据单项式系数的含义进行求解,再观察其绝对值的规律即可;
(2)观察次的变化,从而可求解;
(3)结合(1)(2)进行分析即可;
(4)根据(3)进行求解即可.
【详解】(1)解:这组单项式的系数依次是−1,3,−5,7,⋯,−37,39,⋯,
系数的绝对值为1,3,5,7,⋯,37,39,⋯,是从1开始的奇数,
∴系数的绝对值的规律是2n−1.
(2)解:这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数.
(3)解:由(1)问得:符合规律是(−1)n,
∵这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数,
∴第n个单项式是(−1)n2n−1xn.
(4)解:第2022个单项式是4043x2022,第2023个单项式是−4045x2023.
【点睛】本题主要考查找规律,能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键.
【题型2 多项式的项及次数的变化规律】
【例2】(2023春·河北廊坊·七年级统考期末)有一组按规律排列的多项式:a−b,a2+b3,a3−b5,a4+b7,…,则第2023个多项式是( )
A.a2023+b4047B.a2023−b4047C.a2023+b4045D.a2023−b4045
【答案】D
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成,分别找出两个单项式的规律,也就知道了多项式的规律.
【详解】解:多项式的第一项依次是a,a2,a3,a4,…,an,
第二项依次是−b,b3,−b5,b7,…,(−1)nb2n−1,
得到第n个式子是:an+−1nb2n−1.
当n=2023时,多项式为a2023−b4045
故选:D.
【点睛】此题主要考查了多项式,本题属于找规律的题目,把多项式分成几个单项式的和,分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键.
【变式2-1】(2023春·北京延庆·七年级统考期末)观察一组按规律排列的代数式: a+2b,a2−2b3,a3+2b5,a4−2b7,⋅⋅⋅,第n个式子是 .(n为正整数)
【答案】an+(−1)n+12b2n−1
【分析】根据已知的式子可以看出:每个式子的第一项中a的次数是式子的序号;第二项中b的次数是序号的2倍减1,而第二项的符号是第奇数项时是正号,第偶数项时是负号.
【详解】解:∵当n为奇数时,−1n+1=1;
当n为偶数时,−1n+1=−1,
∵每个式子的第一项中a的次数是式子的序号;第二项中b的次数是序号的2倍减1,
∴第n个式子是an+(−1)n+12b2n−1.
故答案为:an+(−1)n+12b2n−1.
【点睛】本题考查了多项式规律,认真观察式子的规律是解题的关键.
【变式2-2】(2023春·全国·七年级专题练习)有一组多项式:a−b2,a3+b4,a5−b6,a7+b8,...,请观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第n个多项式为 .
【答案】a2n−1+−1nb2n
【分析】观察已知多项式,得出一般性规律,确定出第n个多项式即可.
【详解】解:根据题意,
∵a−b2,a3+b4,a5−b6,a7+b8,...,
∴第n个多项式为:a2n−1+−1nb2n;
故答案为:a2n−1+−1nb2n.
【点睛】此题考查了多项式,找出正确的规律是解本题的关键.
【变式2-3】(2023春·七年级课时练习)已知多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10.
(1)根据这个多项式的排列规律,你能确定这个多项式是几次几项式吗⋅
(2)最后一项的系数m的值为多少⋅
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么⋅
【答案】(1)十次十一项式;
(2)21;
(3)13a4b6、−15a3b7;
【分析】(1)该多项式按照a的降幂排列,每一项的次数是10,奇数项的符号是正号,偶数项的符号是负号即可解答;
(2)观察已知多项式每一项的系数即可得到最后一项的系数m的值;
(3)结合(1)即可得到多项式的第七项和第八项.
【详解】(1)解:∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10是按照a的降幂排列,
∴该多项式有11项,并且每一项的次数是10,
∴该多项式是十次十一项式;
(2)解:∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10有11项,
∴每一项的系数是1、−3、5、……,且偶数项为负数,奇数项为正数,
∴第n项的系数为−1n+12n−1,
∴第11项的系数为21,
∴m=21,
∴最后一项的系数m的值为21.
(3)解:∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10第n项的系数为−1n+12n−1,
∴第七项的系数是−1n+12n−1=13,第八项的系数是−1n+12n−1=−15,
∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10按照a的降幂排列,且每一项的次数是10,
∴第七项是13a4b6, 第八项−15a3b7,
【点睛】本题考查了规律型:数字的变化列,多项式的的有关概念,理解多项式的项,项数,次数是解题的关键.
【题型3 图表的规律】
【例3】(2023春·广东佛山·七年级统考期末)在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中.则当a=90时,b的值为( )
A.2022B.2023C.2024D.2025
【答案】C
【分析】观察表格,可知a对应的数的规律是a=2(n+2),n表示第几项,b对应的数的规律是b=(n+2)2−1,由此即可求解.
【详解】解:根据题意可知,a对应的数的规律是a=2(n+2),n表示第几项,
当a=90时,90=2(n+2),
∴n=43,即第43个数,
b对应的数的规律是b=(n+2)2−1,
∴b=(n+2)2−1=(43+2)2−1=2025−1=2024,
故选:C.
【点睛】本题主要考查数字规律,观察数与数的关系,找出数字间的规律是解题的关键.
【变式3-1】(2023春·广东揭阳·七年级统考期末)下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的:
根据此规律确定a的值为( )
A.10B.9C.8D.7
【答案】B
【分析】首先根据图示,可得第n个表格的左上角的数等于n,然后根据4−1=3,6−2=4,8−3=5,10−4=6,…,可得从第一个表格开始,右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…,n+2,据此求出a的值是多少.
【详解】解:观察表格可得第n个表格的左上角的数等于n,
∵4−1=3,6−2=4,8−3=5,10−4=6,
∴可得从第一个表格开始,右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…,n+2,
∴20−a=a+2,
∴a=9,
故选B.
【点睛】此题主要考查了数字的变化规律,注意观察总结出规律,并能正确的应用规律.
【变式3-2】(2023春·广西南宁·七年级统考期中)下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的
根据此规律确定x的值为( )
A.252B.209C.170D.135
【答案】B
【分析】先根据这四个数的变化规律得出这四个数,再根据规律计算即可.
【详解】根据题意可知右上角的数是左下角的数的2倍,左上角的数比左下角的数少1,且右下角的数是左下角和右上角两个数的乘积再加上左上角的数,
所以b=10,a=9,
则x=20b+a=20×10+9=209.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律,得出变化规律是解题的关键.
【变式3-3】(2023春·吉林长春·七年级统考期末)如图,在表一中,将第1行第3列的数记为[1,3],则[1,3]=3,将第3行第2列的数记为[3,2],则[3,2]=6;按照要求回答下列各题:
(1)在表一中,[3,5]= ,[8,10]= ;
(2)在表一中,第3行第n+1列的数可以记为[3,n+1]= ;
(3)如图,表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分,求3a+b﹣2c的值.
【答案】(1)15,80;(2)3n+3;(3)28.
【分析】(1)根据表格一可知,第一列相差1,第二列相差2,第n列相差n;第一行相差1,第二行相差2,第n行相差n;据此即可求解;
(2)类比(1)的规律得出结论;
(3)根据第n列相差n;第n行相差n;据此即可求解.
【详解】解:(1)[3,5]表示第3行第5列,则结果为:3+3+3+3+3=15;
[8,10]表示第8行第10列,则结果为:10×8=80,
故答案为:15,80;
(2)类比(1)可得:[3,n+1]表示第3行第n+1列的数为:3+(n+1-1)×3=3n+3;
(3)解:表二截取的是其中的一列:上下两个数字的差相等,所以a=15+3=18;
表三截取的是两行两列的相邻的四个数字:右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1,所以b=24+25-20+1=30;
表四:3×6=18,4×8=32,可以判断出c在第四列、第七行,即c=4×7=28;
∴3a+b﹣2c=3×18+30-2×28=28.
故答案为:28.
【点睛】本题考查了数字的变化规律,找出各个数字之间的关系:第n列相差n;第n行相差n是解题的关键.
【题型4 图形的规律】
【例4】(2023春·云南临沧·七年级统考期末)如图,用字母“C”、“H”按一定规律拼成图案,其中第1个图案中有4个H,第2个图案中有6个H,第3个图案中有8个H,……,按此规律排列下去,第2023个图案中字母H的个数为( )
A.4044B.4046C.6069D.4048
【答案】D
【分析】根据题目中的图案,可以写出前几个图案中“H”的个数,从而可以发现“H”个数的变化规律,进而得到第n个图案中“H”的个数,从而可求解.
【详解】解:由图可知,
第1个图案中“H”的个数为:2×2=4(个),
第2个图案中“H”的个数为:2×3=6(个),
第3个图案中“H”的个数为:2×4=8(个),
…,
则第n个图案中“H”的个数为:2(n+1),
∴第2023个图案中字母H的个数为:2×2024=4048.
故选:D.
【点睛】本题考查图形的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现题目中“H”个数的变化规律,利用数形结合的思想解答.
【变式4-1】(2023春·四川成都·七年级统考期末)用棋子摆成如图所示的“小房子”,则图⑤需要 枚棋子,图n需要 枚棋子(用含n的代数式表示).
【答案】 29 (6n−1)
【分析】根据已知图形找出规律求解即可.
【详解】解:∵第①个图形中棋子的数量为:5=2×6−7,
第②个图形中棋子的数量为:11=3×6−7,
第③个图形中棋子的数量为:17=4×6−7,
第④个图形中棋子的数量为:23=5×6−7,
∴第⑤个图形中棋子的数量为:6×6−7=29,
第n个图形中棋子的数量为:6(n+1)−7=6n−1.
故答案为:29;(6n−1).
【点睛】本题考查了图形的变化规律,通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.
【变式4-2】(2023春·山东临沂·七年级校考期末)第一个图案需要6根小棒,第二个图案需要11根小棒,第3个图案需要16根小棒…,则第10个图案需要 根小棒.
【答案】51
【分析】根据所给的图形不难得出第n个图形小棒的根数为:6+5n−1=5n+1,从而可求解.
【详解】解:∵第1个图案中有6根小棒,
第2个图案中有11=6+5根小棒,
第3个图案中有16=6+5+5根小棒,
……
∴第n个图案中小棒的根数为:6+5n−1=5n+1,
∴第10个图案中小棒的根数为:5×10+1=51,
故答案为:51.
【点睛】此题考查图形的变化规律,找出图形之间的联系,得出数字的运算规律:第n个图案中有5n+1根小棒是解决问题的关键.
【变式4-3】(2023春·甘肃兰州·七年级校考期末)下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的,按照此规律排列下去,第40个图形有小钢珠 颗.
【答案】820
【分析】根据图形变化规律可知,第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n1+n个小球,据此规律计算即可.
【详解】解:第1个图中有1个小球,
第2个图中有3个小球,3=1+2,
第3个图中有6个小球,6=1+2+3,
第4个图中有10个小球,10=1+2+3+4,
……
照此规律,第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n1+n个小球,
当n=40时,
小球个数为12×40×1+40=820
故答案为:820.
【点睛】本题主要考查图形的变化规律,根据图形变化规律得出第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n1+n个小球是解题的关键.
【题型5 算式的规律】
【例5】(2023春·广东广州·七年级统考期末)观察以下等式:
第1个等式:2×1+12=2×2+12−2×22
第2个等式:2×2+12=3×4+12−3×42
第3个等式:2×3+12=4×6+12−4×62
第4个等式:2×4+12=5×8+12−5×82
……
按照以上规律,第5个等式是: ,第n个等式(用含n的式子表示)是: .
【答案】 2×5+12=6×10+12−6×102, 2×n+12=n+1×2n+12−n+1×2n2
【分析】根据前四个等式,抽象概括出相同位置上的数字规律,即可得出结论.
【详解】解:第1个等式:2×1+12=1+1×2×1+12−1+1×2×12=2×2+12−2×22;
第2个等式:2×2+12=2+1×2×2+12−2+1×2×22=3×4+12−3×42;
第3个等式:2×3+12=3+1×2×3+12−3+1×2×32=4×6+12−4×62;
第4个等式:2×4+12=4+1×2×4+12−4+1×2×42=5×8+12−5×82;
……
∴第5个等式:2×5+12=5+1×2×5+12−5+1×2×52=6×10+12−6×102,
∴第n个等式(用含n的式子表示)是:2×n+12=n+1×2n+12−n+1×2n2;
故答案为:2×5+12=6×10+12−6×102,2×n+12=n+1×2n+12−n+1×2n2.
【点睛】本题考查数字规律探究.根据已知的等式,抽象概括出相应的数字规律,是解题的关键.
【变式5-1】(2023春·四川成都·七年级统考期末)观察按一定规律排列的一组数:2,12,27,…,其中第n个数记为an,第n+1个数记为an+1,第n+2个数记为an+2,且满足1an+1an+2=2an+1,则a4= ,a2023= .
【答案】 15/0.2 26067
【分析】由题意推导可得an=23(n−1)+1,即可求解.
【详解】解:由题意可得:a1=2=21,a2=12=24,a3=27,
∵1a2+1a4=2a3,
∴2+1a4=7,
∴a4=15=210,
∵1a3+1a5=2a4,
∴a5=213,
同理可求a6=18=216,
⋯
∴an=23(n−1)+1,
∴a2023=232023−1+1=26067,
故答案为:15;26067.
【点睛】本题考查了数字的规律探索,找出数字的变化规律是解题的关键.
【变式5-2】(2023春·江西景德镇·七年级统考期末)仔细观察下列规律:22−2=22−1=2:23−22=222−1=22;24−23=232−1=23;…
(1)28−27=___________.
(2)2n−1−2n=___________;
(3)小明做完上述两题后,发现了一个运算规律:
24+23+22+2=25−24+24−23+23−22+22−2
=25−24+24−23+23−22+22−2=25−2
请你参考小明发现的规律计算:2100+299+298+⋅⋅⋅+23+22+2.
【答案】(1)27
(2)−2n−1
(3)2101−2
【分析】(1)根据所给式子对照可得答案;
(2)根据所列出的式子的变化规律,类推出第n个式子的情况,从而得出结果
(3)利用(2)中所得规律变形,再消项计算.
【详解】(1)解:根据题意可得:28−27=2×27−27=27×2−1=27;
(2)由题中规律可得:2n−2n−1=2n−1,
∴2n−1−2n=−2n−1;
(3)2100+299+298+⋅⋅⋅+23+22+2
=2101−2100+2100−299+⋅⋅⋅+24−23+23−22+22−2
=2101−2100+2100−299+⋅⋅⋅+24−23+23−22+22−2
=2101−2
【点睛】本题考查数字规律,找出式子的变化规律是关键,注意与所在的个数之间的关系,并用所在的个数表示其变化规律即可,并类推应用.
【变式5-3】(2023春·浙江宁波·七年级校联考期末)请仔细观察下列各等式的规律:
第1个等式:11×3=12×1−13;
第2个等式:13×5=12×13−15;
第3个等式:15×7=12×15−17;
…
(1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律;
(2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加,值为多少?
【答案】(1)12n−1×2n+1=12×12n−1−12n+1;
(2)20234047
【分析】(1)写出第4个等式:17×9=12×17−19,第5个等式:19×11=12×19−111,进而可得出答案;
(2)先写出第2023个等式为:14045×4047=12×14045−14047,第1个等式至第2023个等式的左边部分相加为:11×3+13×5+15×+14045×4047变形即可求出答案.
【详解】(1)解:根据题意可得:第4个等式:17×9=12×17−19,
第5个等式:19×11=12×19−111,
…….
第n个等式:12n−1×2n+1=12×12n−1−12n+1;
(2)解:第2023个等式为:14045×4047=12×14045−14047,
第1个等式至第2023个等式的左边部分相加为:11×3+13×5+15×+14045×4047
=12×1−13+13−15+15−−14047
=12×1−13+13−15+15−−14047
=12×1−14047
=12×40464047
=20234047.
【点睛】本题考查找规律,并通过规律解决问题,正确理解找出规律是解题的关键.
【题型6 程序运算】
【例6】(2023春·山西吕梁·七年级统考期末)如图所示,是一个运算程序示意图. 若第一次输入 k 的值为 25,则第 2023 次输出的结果是 .
【答案】5
【分析】依次求出每次输出的结果,根据结果得出规律,即可得出答案.
【详解】解:当k=25时,15×25=5,
当k=5时,15×5=1,
当k=1时,k+4=5,
当k=5时,15×5=1,
当k=1时,k+4=5,
当k=5时,15×5=1,
…
∴规律为从第一次开始输出结果是5和1的循环,
∴2023÷2=,
即第2023次输出的结果是5.
故答案为:5.
【点睛】本题考查了求代数式的值,能根据求出的结果得出规律是解此题的关键.
【变式6-1】(2023春·河南郑州·七年级统考期末)对于不同的起始数字,反复运用任何一个固定的运算程序,由此产生的结果总是会停留在某个或某几个数字上,称之为“数字黑洞”.小明写下了一列数1234567890,按照“偶-奇-总”的程序不断排出新数:这十个数中,偶数有5个,奇数有5个,总数有10个,得到新数为5510;再把5510,按照“偶-奇-总”排列,…… 继续下去,你将得到一个“数字黑洞”是 .
【答案】123
【分析】根据题中材料,按照要求操作即可得到答案.
【详解】解:对于5510,按照“偶-奇-总”排列,偶数有1个,奇数有3个,总数有4个,得到新数为134;
对于134,按照“偶-奇-总”排列,偶数有1个,奇数有2个,总数有3个,得到新数为123;
对于123,按照“偶-奇-总”排列,偶数有1个,奇数有2个,总数有3个,得到新数为123;
⋯
以此类推,得到的“数字黑洞”是123,
故答案为:123.
【点睛】本题考查数字规律,读懂题意,按照要求操作是解决问题的关键.
【变式6-2】(2023春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末)按如图所示的程序计算,若开始输入的x的值为30,第一次得到的结果为15,第二次得到的结果为24,……,请你探索第2023次得到的结果为 .
【答案】6
【分析】分别计算出前六次的输出结果可以得到从第三次输出结果开始,每三次输出结果为一个循环,由此进行求解即可.
【详解】解:由题意得,第一次得到的结果为15,
第二次得到的结果为24,
第三次得到的结果为12,
第四次得到的结果为6,
第五次得到的结果为3,
第六次得到的结果为12,
…
∴可知从第三次输出结果开始,每三次输出结果为一个循环,
∵2023−2÷3=673…2,
∴第2023次的输出结果和第四次的输出结果相同,为6,
故答案为:6.
【点睛】本题主要考查了与程序流程图相关的规律问题,正确理解题意找到规律是解题的关键.
【变式6-3】(2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末)小磊想编一个循环“插数”程序,对有序的数列:-2,0进行有规律的“插数”:对任意两个相邻的数,都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间,产生一个个新数列.如:第1次“插数”产生的一个新数列是-2,2,0;第2次“插数”产生的一个新数列是-2,4,2,-2,0;第3次“插数”产生的一个新数列是-2,6,4,-2,2,-4,-2,2,0;……,第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是 .
【答案】4036
【分析】根据第1次“插数”产生的一个新数列是-2,2,0,增加了新数2;第2次“插数”产生的一个新数列是-2,4,2,-2,0,增加了新数4,2,-2,其和为4;第3次“插数”产生的一个新数列是-2,6,4,-2,2,-4,-2,2,0,增加了新数6,4,-2,2,-4,-2,2,其和为6;……
由此可得第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2;由此即可解答.
【详解】第1次“插数”产生的一个新数列是-2,2,0,增加了新数2;
第2次“插数”产生的一个新数列是-2,4,2,-2,0,增加了新数4,2,-2,其和为4;
第3次“插数”产生的一个新数列是-2,6,4,-2,2,-4,-2,2,0,增加了新数6,4,-2,2,-4,-2,2,其和为6;
……
由此可得,第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为:-2+0+2n=2n-2;
∴第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是:2n-2=2×2019-2=4036.
故答案为4036.
【点睛】本题是数字规律探究题,根据题意得到第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2是解决问题的关键.
【题型7 定义新运算】
【例7】(2023春·吉林长春·七年级统考期末)定义一种新运算:“⊗”观察下列各式:
2⊗3=2×3+3=9 3⊗−1=3×3−1=8 4⊗4=4×3+4=16
5⊗−3=5×3−3=12,则a⊗b= (用含a、b的代数式表示)
【答案】3a+b
【分析】根据所给算式总结规律解答即可.
【详解】解:∵2⊗3=2×3+3=9,
3⊗−1=3×3−1=8,
4⊗4=4×3+4=16,
5⊗−3=5×3−3=12,
∴a⊗b=3a+b,
故答案为:3a+b.
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类,通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.
【变式7-1】(2023春·陕西安康·七年级统考期末)定义:若a是不为1的有理数,则11−a称为a的差倒数.如2的差倒数为11−2=−1.现有若干个数,第一个数记为a1,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,依此类推,若a1=−13,则a2023= .
【答案】−13
【分析】根据规定进行计算,得出:a1,a2,a3,a4发现3个一循环,按照这个规律计算即可.
【详解】∵a1=−13,
∴a2=11−a1=11−−13=34,
a3=11−a2=11−34=4,
a4=11−a3=11−4=−13
由此可以看出−13,34,4,三个数不断循环出现.
因为2023÷3=674⋯1,,
所以a2023=a1=−13.
故答案为:−13.
【点睛】此题考查规律型:数字的变化类,关键是发现循环的规律,然后利用规律进行计算分析判断.
【变式7-2】(2023春·重庆·七年级统考期末)定义一种对正整数n的“F”运算:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为n2k(其中k是使n2k为奇数的正整数),并且运算可以重复进行.例如,取n=26,则:
若n=23,则第2022次“F”运算的结果是( )
A.74B.37C.92D.23
【答案】D
【分析】根据题意和题目中的新定义,可以计算出前几次的运算结果,然后观察结果,即可发现结果的变化规律,从而可以计算出n=23,第2022次“F”运算的结果.
【详解】解:由题意可得,
当n=23时,第一次的运算结果为3×23+5=74,
第二次的运算结果为:74÷2=37,
第三次的运算结果为:3×37+5=116,
第四次的运算结果为:116÷22=29,
第五次的运算结果为:3×29+5=92,
第六次的运算结果为:92÷22=23,
第七次的运算结果为:3×23+5=74,
…,
由上可得,每六次为一个循环,
∵2022÷6=337,
∴n=23,则第2022次“F”运算的结果是23,
故选:D.
【点睛】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现运算结果的变化特点.
【变式7-3】(2023春·湖南岳阳·七年级统考期末)定义:若两个有理数的和等于这两个有理数的积,则称这两个数是一对“友好数”.如:有理数54与5,因为54+5=54×5,所以54与5是一对“友好数”.
(1)有理数a和b是一对“友好数”,当a=4时,则b= ;
(2)对于有理数x(x≠0且x≠1),设x的“友好数”为x1;x1的倒数为x2;x2的“友好数”为x3;x3的倒数为x4;……依次按如上的操作,得到一组数,x1,x2,x3,x4,⋯,xn.当x=32时,x2023的值为 ;
【答案】 43 3
【分析】(1)根据定义得a+b=ab,代入数据求出数值即可;根据题意依次写出x的数值,找到规律,根据规律即可求得数值.
【详解】(1)解:∵有理数a和b是一对“友好数”
∴ a+b=ab
将a=4代入得:b=43
(2)当x=32时,
得:x1=3,x2=13,x3=−12,x4=−2,x5=23,x6=32,x7=3,...
发现6个数为一周期,
∵ 2023÷6=337⋅⋅⋅⋅⋅⋅1
∴ x2023=x1=3
故答案为:43;3
【点睛】本题考查了新定义,找规律的题型,观察定义、归纳概括出规律是解题关键.
【题型8 动点规律探究】
【例8】(2023春·重庆·七年级统考期末)如图所示,动点P从第一个数0的位置出发,每次跳动一个单位长度,第一次跳动一个单位长度到达数1的位置,第二次跳动一个单位长度到达数2的位置,第三次跳动一个单位长度到达数3的位置,第四次跳动一个单位长度到达数4的位置,…,依此规律跳动下去,点P从0跳动6次到达P1的位置,点P从0跳动21次到达P2的位置,…,点P1、P2、P3…Pn在一条直线上,则点P从0跳动次可到达P14的位置.( )
A.887B.903C.909D.1024
【答案】B
【分析】找到规律:跳动次数为从1开始连续正整数的和,且最后一个加数为n×3,进而得到答案即可.
【详解】由题意知,跳动1+2+3=6个单位长度到P1,
从P1到P2再跳动4+5+6=15个单位长度,
归纳可得:从上一个点跳到下一个点跳动的单位长度是三个连续的正整数的和,∵14×3=42,
∴点P从0跳到P14跳动了:1+2+3+4+…+42=903,
故选:B.
【点睛】本题考查图形中的规律探究.根据图形,抽象概括出相应的数字规律,是解题的关键.
【变式8-1】(2023春·浙江台州·七年级统考期末)点O在直线AB上,点A1,A2,A3,……在射线OA上,点B1,B2,B3,……在射线OB上,图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度.一个动点M从O点出发,以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动,即从OA1B1B2A2……按此规律,则动点M到达A10点处所需时间为( )秒.
A.B.
C.D.
【答案】A
【详解】试题分析:动点M从O点出发到A4点,在直线AB上运动了4个单位长度,在以O为圆心的半圆运动了(π•1+π•2)单位长度,
∴动点M到达A10点处运动的单位长度=10+(π•1+π•2+…+π•10)=10+55π.
∴动点M到达A10点处运动所需时间=(10+55π)÷1=(10+55π)秒.
故选A
考点:1.规律探索,2.圆的周长
【变式8-2】(2023春·全国·七年级期末)如图,数轴上的O点为原点,A点表示的数为﹣2,动点P从O点出发,按以下规律跳动:第1次从O点跳动到OA的中点A1处,第2次从A1点跳动到A1A的中点A2处,第3次从A2点跳动到A2A的中点A3处,…,第n次从An﹣1点跳动到An﹣1A的中点An处,按照这样的规律继续跳动到点A4,A5,A6,…,An(n≥3,n是整数)处,那么An点所表示的数为 .
【答案】−2+12n−1
【分析】根据题意找出规律:AA1=1,A1A2=12,A2A3=14,,An−1An=12n−1,再求出AnO即可.
【详解】解:∵A点表示的数为−2,
∴AO=2,
∵OA的中点是A1,
∴AA1=12AO=1,
同理可得A1A2=12,A2A3=14,,An−1An=12n−1,
∴AnO=2−12n−1,
∵An点在负半轴,
∴An点所表示的数为:−2+12n−1;
故答案为:−2+12n−1.
【点睛】本题主要考查数字的变化规律,解题的关键是会总结归纳出数字的变化规律.
【变式8-3】(2023春·广东梅州·七年级统考期末)如图,甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A,C同时沿正方形的边开始移动,甲按顺时针方向环行,乙按逆时针方向环行,若乙的速度是甲的3倍,那么它们第一次相遇在AD边上,请问它们第2022次相遇在哪条边上?( )
A.ADB.ABC.BCD.CD
【答案】D
【分析】设出正方形的边长,甲的速度是乙的速度的3倍,求得每一次相遇的地点,找出规律即可解答.
【详解】解:设正方形的边长为a,因为乙的速度是甲的速度的3倍,时间相同,甲乙所行的路程比为1∶3,把正方形的每一条边平均分成2份,由题意知:
①第一次相遇甲乙行的路程和为2a,乙行的路程为2a×31+3=3a2,甲行的路程为2a×11+3=a2,在AD边的中点相遇;
②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为4a,乙行的路程为4a×31+3=3a,甲行的路程为4a×11+3=a,在CD边的中点相遇;
③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为4a,乙行的路程为4a×31+3=3a,甲行的路程为4a×11+3=a,在BC边的中点相遇;
④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为4a,乙行的路程为4a×31+3=3a,甲行的路程为4a×11+3=a,在AB边的中点相遇;
⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为4a,乙行的路程为4a×31+3=3a,甲行的路程为4a×11+3=a,在AD边的中点相遇;
四次一个循环,因为2022÷4=505⋯2,所以它们第2022次相遇在边CD上,
故选:D.
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用,行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用,难度较大,注意先通过计算发现规律然后再解决问题.a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
1
4
2
6
3
8
4
10
……
a
20
……
2
9
3
20
4
35
5
54
b
x
第1个
第2个
第3个
第4个
……
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