中考数学一轮复习：专题3.12 三元一次方程组【八大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题3.12 三元一次方程组【八大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版），共26页。


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\l "_Tc11985" 【题型1 三元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Tc11985 \h 1
\l "_Tc4644" 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc4644 \h 3
\l "_Tc26433" 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc26433 \h 6
\l "_Tc11033" 【题型4 用整体思想解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc11033 \h 8
\l "_Tc5298" 【题型5 构造三元一次方程组求解】 PAGEREF _Tc5298 \h 11
\l "_Tc31864" 【题型6 三元一次方程组的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc31864 \h 14
\l "_Tc19368" 【题型7 三元一次方程组中的数字问题】 PAGEREF _Tc19368 \h 17
\l "_Tc11778" 【题型8 三元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc11778 \h 21
【知识点 三元一次方程组及解法】
1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．
2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．
3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．
【题型1 三元一次方程（组）的解】
【例1】（2023·陕西·七年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（ ）
A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个
【答案】C
【分析】先设x＝0，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；…当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可得到答案．
【详解】当x＝0时，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；
当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；
当x＝2时，y+z＝1997，有1998个整数解；
…
当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解；
∴非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1＝2001×20002＝2001000个
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程、三元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、三元一次方程、有理数运算的性质，从而完成求解
【变式1-1】（2023下·七年级课时练习）三元一次方程x+y+z=5的正整数解有（ ）
A．2组B．4组C．6组D．8组
【答案】C
【分析】最小的正整数是1，当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1；依此类推，然后把个数加起来即可．
【详解】解：当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1，有3组正整数解；
当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1，有2组正整数解；
当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1，有1组正整数解；
所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）．
故选：C．
【点睛】本题考查三元一次不定方程的解，解题关键是确定x、y、z的值，分类讨论
【变式1-2】（2023下·河南南阳·七年级统考期中）已知方程组3x−y=52x+y−z=04ax+5by−z=−22与方程组ax−by+z=8x+y+5z=c2x+3y=−4有相同的解，则a、b、c的值为（ ）
A．a=−2b=−3c=1B．a=−2b=3c=1C．a=2b=−3c=−1D．a=2b=3c=−1
【答案】D
【分析】将两方程组中不含a，b，c项的方程联立，求出x，y，z的值，代入两方程组中的含a，b，c项的方程中得到关于a，b，c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值．
【详解】解方程组 3x−y=52x+y−z=02x+3y=−4，
解得x=1y=−2z=0 ，
代入可得方程组4a−10b=−22a+2b=8−1=c ，
解得a=2b=3c=−1，
故选D．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的解，解三元一次方程组的方法是进行消元，化为二元一次方程组，再进行求解，三元一次方程组的解必须同时满足方程组中的三个方程．
【变式1-3】（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则a+b+c的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【分析】把x=1y=2z=3代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案
【详解】解：根据题意，
把x=1y=2z=3代入方程组，得a+2b=2①2b+3c=3②c+3a=7③，
由①+②+③，得4a+4b+4c=12，
∴a+b+c=3；
故选：A
【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算
【题型2 用消元法解三元一次方程组】
【例2】（2023下·重庆綦江·七年级校联考期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，3x+2y+z=39①2x+3y+z=34②x+2y+3z=26③，先将方程①中的未知数系数排成数列32139，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．
方程①：32139
第一步方程②：23134→693102⋯⋯→051a
第二步方程③：12326→M⋯⋯→0b839
其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：369618（2）a＝24（3）b＝4其中正确的有（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（1）（2）（3）
【答案】B
【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可.
【详解】解：3x+2y+z=39①2x+3y+z=34②x+2y+3z=26③
由②×3，得6x+9y+3z=102④，
由④−①，得3x+7y+2z=63⑤，
由⑤−①，得5y+z=24，
∴a=24，
由③×3，得3x+6y+9z=78⑥，
由⑥−①，得4y+8z=39，
∴b=4，
故选：B．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的系数表示出来．
【变式2-1】（2023下·全国·七年级专题练习）有理数x、y、z满足x−y+2z=1x+y+4z=3，则x+2y+5z的值是（ ）
A．−4B．3C．4D．值不能确定
【答案】C
【分析】把方程看着关于x、y的方程，用z表示x、y．然后代入x+2y+5z即可求值．
【详解】解：x−y+2z=1①x+y+4z=3②，
①+②得：2x+6z=4，
x=2−3z，
②−①得：2y+2z=2，
y=1−z，
把x=2−3z，y=1−z代入得：
x+2y+5z=2−3z+21−z+5z=4，
故本题选：C．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．
【变式2-2】（2023下·四川遂宁·七年级统考期末）解方程组a+b+c=63a−b+c=42a+3b−c=12．
【答案】a=2b=3c=1
【分析】运用加减消元法得到一个关于a、b的二元一次方程组，求解可得a、b，然后将a、b代入求解即可．
【详解】解：a+b+c=6①3a−b+c=4②2a+3b−c=12③
①-②得：2b-2a＝2，即b-a＝1，
①+③得：3a+4b＝18，
解b−a=13a+4b=18可得a=2b=3
把a＝2，b＝3代入方程①得：2+3+c＝6，解得：c＝1．
则方程组的解是：a=2b=3c=1．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法成为解答本题的的关键．
【变式2-3】（2023·浙江·模拟预测）实数x,y,z满足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．则x+3y2017x+2017y+2017z= ．
【答案】−14033
【分析】由②−①得：x+3y=2017，x=2017−3y，由②×3−①×4得：z=2y−6050，从而得到x+y+z=−4033，即可求解．
【详解】解：3x+7y+z=1①,4x+10y+z=2018②，
由②−①得：x+3y=2017，
∴x=2017−3y，
由②×3−①×4得：2y−z=6050，
∴z=2y−6050，
∴x+y+z=2017−3y+y+2y−6050=−4033，
∴x+3y2017x+2017y+2017z=20172017x+y+z=1x+y+z=−14033．
故答案为：−14033
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到x=2017−3y，z=2y−6050是解题的关键．
【题型3 用换元法解三元一次方程组】
【例3】（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）已知x，y，z满足x+43=y+32=z+84，且x−2y+z=12，则x= ．
【答案】14
【分析】设x+43=y+32=z+84=t，则整理得出x=3t−4，y=2t−3，z=4t−8，代入x−2y+z=12求得t，进一步代入求得x的值．
【详解】解：设x+43=y+32=z+84=t，
则x=3t−4，y=2t−3，z=4t−8，
代入x−2y+z=12得：3t−4−2×2t−3+4t−8=12
解得：t=6，
x=3t−4=14，
故答案为：14．
【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，设出参数，利用参数表示其它未知数，是解题的关键．
【变式3-1】（2023下·七年级课时练习）若x+y+z≠0且2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用已知得出2y＋z＝kx① ，2x＋y＝kz② ，2z＋x＝ky③，进而求出3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），再利用提取公因式法分解因式进而求出即可．
【详解】：解：∵2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，
∴2y+z＝kx①2x+y＝kz②2z+x＝ky③，
∴①＋②＋③得：
3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），
3（x＋y＋z）−k（x＋y＋z）＝0，
3（x＋y＋z）（3−k）＝0，
因为x＋y＋z不等于0，
所以3−k＝0，
即k＝3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三元一次方程组、比例的性质，正确将已知变形得出3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z）是解题关键．
【变式3-2】（2023下·上海杨浦·七年级校考期末）解方程组：x−43=y+14=z+25x−2y+3z=30．
【答案】x=13y=11z=13
【分析】设x−43=y+14=z+25=k，分别用k的代数式表示出x，y，z，后代入第二个方程确定求解即可．
【详解】x−43=y+14=z+25①x−2y+3z=30②，
由①设x−43=y+14=z+25=k，
∴x=3k+4，y=4k−1，z=5k−2，
代入②得：3k+4−24k−1+35k−2=30，
∴3k+4−8k+2+15k−6=30
∴10k=30，
∴k＝3，
∴x＝13，y＝11，z＝13，
∴方程组的解为x=13y=11z=13．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握设参数法求解是解题的关键．
【变式3-3】（2023下·内蒙古乌海·七年级校考期中）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组1x+1y=11y+1z=21z+1x=5，如果令1x=A，1y=B，1z=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【答案】A+B=1B+C=2C+A=5；解方程组过程见解析；12；−1；13
【分析】根据换元法可以将原方程组化为A+B=1①B+C=2②C+A=5③，①+②+③得出A+B+C=4然后分别求出A、B、C的值即可．
【详解】解：令1x=A，1y=B，1z=C，则方程组1x+1y=11y+1z=21z+1x=5可变为：A+B=1①B+C=2②C+A=5③，
①+②+③得A+B+C=4④，
④−①得：C=3，
④−②得：A=2，
④−③得：B=−1，
∴1x=21y=−11z=3，
解得：x=12y=−1z=13．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出A+B+C=4，是解题的关键．
【题型4 用整体思想解三元一次方程组】
【例4】（2023上·山东济南·七年级统考期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知3x+2y+z=4①7x+5y+3z=10②，求x+y+z的值．
解：①×2得：6x+4y+2z=8③
②−③得：x+y+z=2
∴x+y+z的值为2．
(1)已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】(1)18
(2)节省了244元
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【详解】（1）解：（1）x+2y+3z=10①5x+6y+7z=26②，
①+②得：6x+8y+10z=36，
则3x+4y+5z=18；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：40x+20y+4z=488，
∴80x+40y+8z=488×2=976，
976−732=244（元），
则比原价购买节省了244元．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
【变式4-1】（2023下·福建福州·七年级校考期末）若2x+3y+4z=10且y+2z=2，则x+y+z的值是 ．
【答案】4
【分析】已知两式相减就将系数都化为2，两边除以2即可得出结果．
【详解】解：2x+3y+4z=10①y+2z=2②
①−②得，2x+2y+2z=8
∴x+y+z=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将系数化为相同，便于整体计算．
【变式4-2】（2023下·七年级课时练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题．
已知方程组3x+7y+z=204x+10y+z=27，求x＋y＋z的值．
解：将原方程组整理，得
2x+3y+x+y+z=20①3x+3y+x+y+z=27②
②－①，得x＋3y＝7，③
把③代入①，得x＋y＋z＝6.
仿照上述解法，解决下面问题．
已知方程组6x+4y=22−x−6y+4z=−1则x＋2y－z的值为 ．
【答案】3
【分析】把2x+z看成一个整体，类比题干解法即可求出答案．
【详解】将原方程整理得2(x+2y−z)+2(2x+z)＝22①−3(x+2y−z)+(2x+z)＝−1②，
②×2得-6（x+2y-z）+2（2x+z）=-2③，
①-③得8（x+2y-z）=24，
解得x+2y-z=3．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题的关键是利用整体法解方程组，此题难度不大．
【变式4-3】（1）已知二元一次方程组3x+2y=72x+3y=3则x−y=______，x+y=______．
（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算∶x∗y=ax+b+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=16，2∗3=12，那么5∗9=______．
【答案】（1）4，2；（2）21元；（3）24
【分析】（1）让两个式子相加即可求出x+y，然后让两个式子相减即可求出x−y；
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意列出方程组求解即可；
（3）首先根据已知建立一个关于a，b，c的方程组，通过对方程变形即可得出答案．
【详解】（1）3x+2y=7①2x+3y=3②
①-②得x−y=4，
①+②得5x+5y=10，
∴x+y=2；
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，
根据题意得13x+5y+2z=31①25x+9y+3z=55②
①×2−②得：x+y+z=7，
∴3x+3y+3z=21，
答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元．
（3）∵3∗5=16，2∗3=12，x∗y=ax+b+c
∴3a+5b+c=16①2a+3b+c=12②
①-②得a+2b=4，
②×3-①×2得c−b=4，
∴c=b+4，
∴5∗9=5a+9b+c=5a+10b+4=5a+2b+4=5×4+4=24．
【点睛】本题主要考查解方程组及整体代入法，掌握解方程组的方法是关键．
【题型5 构造三元一次方程组求解】
【例5】（2023下·福建福州·七年级统考期末）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有2+3=5，在图2中，若k的值为8，则x的值为（ ）

A．115B．−1C．1D．任意实数
【答案】C
【分析】根据新定义可得m+n=8x+2x+y=m2x+y+3−2y=n，即可求解．
【详解】解：由题意得
m+n=8x+2x+y=m2x+y+3−2y=n，
整理得：m+n=8①3x+y=m②2x+3−y=n③
②+③得：5x+3=m+n，
将①代入上式得：5x+3=8，
解得：x=1，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键．
【变式5-1】（2023下·上海闵行·七年级校考期中）已知x、y、z满足x−2−z+3x−3y−82+3y+3z−4=0，求x、y、z的值
【答案】x=3y=13z=1
【分析】根据绝对值和平方的非负性，列出方程组即可解答．
【详解】解：由题意得：
x−2−z=03x−3y−8=03y+3z−4=0
解得：x=3y=13z=1
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，解三元一次方程组，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负性分别为0；以及解三元一次方程组的方法和步骤．
【变式5-2】（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级统考期中）已知y=ax2+bx+c，当x=−2时，y=9；当x=0时，y=3；当x=2时，y=5，求a、b、c的值．
【答案】a=1b=−1c=3
【分析】根据已知条件建立三元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：当x=−2时，y=9；
∴9=4a−2b+c，
当x=0时，y=3，
∴3=c，
当x=2时，y=5，
∴5=4a+2b+c，
∴ 4a−2b+c=94a+2b+c=5c=3 ，
解得： a=1b=−1c=3
【点睛】本题考查了解三元一次方程，熟练掌握三元一次方程的解法是解题的关键．
【变式5-3】（2023上·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考期中）对于三个有理数a、b、c，用avea,b,c表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中的最小的数，若ave4a+3b2,9b+4c6,6c+5a9=min4a+3b2,9b+4c6,6c+5a9，则a:b:c= ．
【答案】27:10:81
【分析】根据三个数的平均值等于三个数的最小值，说明这三个数相等，得出4a+3b2=9b+4c66c+5a9=9b+4c6，然后将b看作已知数，将a、c看作未知数，用b表示a、c，最后求出结果即可．
【详解】解：∵ave4a+3b2,9b+4c6,6c+5a9=min4a+3b2,9b+4c6,6c+5a9，
∴4a+3b2=9b+4c66c+5a9=9b+4c6，
解得：a=2710bc=8110b，
∴a:b:c=2710b:b:8110b=27:10:81．
故答案为：27:10:81．
【点睛】本题主要考查了平均数的特点，解题的关键根据三个数的平均值等于三个数的最小值得出三个数相等．
【题型6 三元一次方程组的阅读理解类问题】
【例6】（2023下·云南德宏·七年级统考期末）阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以写成矩阵a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=165x−6y=33可以写成矩阵34165−633的形式．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请求出矩阵4153−23对应的方程组的解；
(2)若矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，求a+b+c的值．
【答案】(1)x=1311y=311
(2)13
【分析】（1）由题意得：矩阵4153−23对应的方程组为4x+y=53x−2y=3，计算求解即可；
（2）由矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，可得a−2+3=7①1+b+4=5②2−1+c=8③，①+②+③得，a+b+c=13．
【详解】（1）解：由题意得：矩阵4153−23对应的方程组为4x+y=53x−2y=3，
解得，x=1311y=311，
∴矩阵4153−23对应的方程组的解为x=1311y=311；
（2）解：∵矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，
∴将x=1y=1z=1代入ax−2y+3z=7x+by+4z=52x−y+cz=8，得a−2+3=7①1+b+4=5②2−1+c=8③，
①+②+③得，a+b+c=13．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
【变式6-1】（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组4x+10y=6 ①8x+22y=10 ②时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程②变形为8x+20y+2y=10，即24x+10y+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则y=−1；把y=−1代入①得，x=4，所以方程组的解为：x=4y=−1
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解2x−3y=76x−5y=9
（2）已知x､y､z，满足3x−2z+12y=52x+z+8y=8，求z的值．
【答案】（1）x=−1y=−3；（2）z=2
【分析】（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可；
（2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可．
【详解】解：（1）2x−3y=7①6x−5y=9②，
由②得32x−3y+4y=9③，
把方程①代入③得，3×7+4y=9，
解得：y=-3，代入①得，x=-1，
所以方程组的解为：x=−1y=−3；
（2）3x−2z+12y=5①2x+z+8y=8②，
由①得3x+4y−2z=5③，
由②得2x+4y+z=8④，
③×2-④×3得z=2．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
【变式6-2】（2023下·浙江·七年级期末）对于实数x，y定义新运算x⋅y=ax+by+cxy其中a，b，c为常数，若1⋅2=3,2⋅3=4，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有x⋅d=x，则d的值是 ．
【答案】4
【分析】由新定义的运算x⋅y=ax+by+cxy，及1⋅2=3，2⋅3=4，构造方程组，不难得到参数a，b，c之间的关系．又由有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有x⋅d=x，可以得到一个关于d的方程，解方程即可求出满足条件的d的值．
【详解】解：∵x⋅y=ax+by+cxy，
由1⋅2=3，2⋅3=4，即a+2b+2c=32a+3b+6c=4，
∴b=2+2c，a=−1−6c．
又由x⋅m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，
∴ a+cd=1bd=0，
∵d为非零实数，
∴b=0=2+2c，
∴c=−1．
∴(−1−6c)+cd=1．
∴−1+6−d=1．
∴d=4．
故答案为：4．
【点睛】本题属于新定义的题目，根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算是关键，同时考查了学生合情推理的能力，属于中档题．
【变式6-3】（2023下·吉林长春·七年级长春外国语学校校考阶段练习）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：x=1y=8就是方程3x+y＝11的一组“好解”；x=1y=2z=3是方程组x−2y+z=0x+y+z=6的一组“好解”．
(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组x+y+k=15x+5y+3k=27有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．
【答案】(1)x=5y=0或x=3y=1或x=1y=2
(2)有，x=9y=0k=6或x=10y=1k=4或x=11y=2k=2或x=12y=3z=0
【分析】（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求x的值，由于y≥3时，x的值为负，不符合要求，不需要再求；
（2）通过消元的方法得出k＝6﹣2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式可得出满足条件的解．
【详解】（1）解：当y＝0时，x＝5；
当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；
当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1，
所以方程x+2y＝5的所有“好解”为x=5y=0或x=3y=1或x=1y=2；
（2）解：有．
x+y+k=15①x+5y+3k=27②，
②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，
①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，
∵x、y、k为非负整数，
∴6﹣2y≥0，解得y≤3，
∴y＝0、1、2，3，
当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0，
∴关于x，y，k的方程组x+y+k=15x+5y+3k=27的“好解”为x=9y=0k=6或x=10y=1k=4或x=11y=2k=2或x=12y=3z=0．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键．
【题型7 三元一次方程组中的数字问题】
【例7】（2023下·七年级单元测试）幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”“河图”“洛书”等．图1所示的是一个三阶幻方，在3×3的方阵图中，填写了一些数或代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等，我们称这种幻方为“数字连续型三阶幻方”．
(1)求x ，y的值；
(2)在图2中完成此方阵．
【答案】(1)x=2，y=5
(2)
【分析】（1）根据题意进行列方程即可；
（2）在（1）的基础上进行关于字母a，b，c列三个方程即可．
【详解】（1）解：4+9+x=4+3+2y−x，
即13+x=7+2y−x，
3+x=y①，
y+x+2y−x=4+9+x，
3y=13+x②，
把①代入②得3×3+x=13+x，
解得：x=2，
∴y=3+2=5
∴x=2，y=5；
（2）解：在（1）的基础上得知x=2，y=5，所以2y−x=8，
每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等且为4+9+2=15，
那么a+b+2=154+5+b=159+5+c=15，
所以a=7b=6c=1，
则
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组等知识内容，正确列方程是解题的关键．
【变式7-1】（2023·福建南平·统考二模）《孙子算经》上有一著名问题就是“物不知数问题”．原文是这么说的：“有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问物几何？”把这个问题翻译为：一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求这个数？请你写出符合条件的一个数是 ．
【答案】23
【分析】设x=3m+2=5n+3=7b+2，可得3m=5n+17b=5n+1，可知5n+1是21的倍数，可求n=4时m=7，b=3即可
【详解】解:设x=3m+2=5n+3=7b+2
3m=5n+17b=5n+1
∴m=5n+13b=5n+17
∴5n+1是21的倍数
∴n=4时m=7，b=3
这个数是x=23．
故答案为：23．
【点睛】本题考查带余除法，用字母表示数，三元一次方程组，掌握三元一次方程组，用含字母表示的代数式是解题关键．
【变式7-2】（2023上·全国·七年级校考期末）一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么原来的三位数是（ ）
A．215B．216C．217D．218
【答案】C
【分析】设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则原来的三位数表示为：100z+10y+x，新三位数表示为：100x+10y+z，故根据题意列三元一次方程组再求解即得．
【详解】解：设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，
根据题意得：x+y+z=10z−y=13(100z+10y+x)+61=100x+10y+z ，
解得：x=7y=1z=2 ，所以，原来的三位数字是217．
故选C．
【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握三位数的表示方法，根据题意列出方程组.
【变式7-3】（2023下·重庆綦江·七年级统考期末）对于一个三位数n,如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7,那么称这个数n为“幸福数”．例如：n1=935,∵9+3−5=7,∴935是“幸福数”；n2=701,∵7+0−1=6,∴701不是“幸福数”．
（1）判断845,734是否为“幸福数”？并说明理由；
（2）若将一个“幸福数”m的个位数的2倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十位数变成百位数,得到一个新的三位数t（例如：若m=654,则t=586）,若t也是一个“幸福数”,求满足条件的所有m的值．
【答案】（1）845是“幸福数”,734不是“幸福数”,见解析;（2）满足条件的所有m的值为:362,654
【分析】根据题意可知:（1）要判断一个数是否是“幸福数”,首先要看n是否满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7,即可得出答案．（2）若新的三位数t是“幸福数”,需要先设设这个“幸福数”m=abc,则t=b(2c)a（1≤a≤9,1≤b≤9, 0≤c≤4,且a,b,c为整数）,根据a,b,c的取值可得出答案．
【详解】解：（1）845是“幸福数”,734不是“幸福数”
∵8+4−5=7,
∴845是“幸福数”；
∵7+3−4=6,
∴734不是“幸福数”
∴845是“幸福数”,734不是“幸福数”．
（2）设这个“幸福数”m=abc,则t=b(2c)a（1≤a≤9,1≤b≤9, 0≤c≤4,且a,b,c为整数）
根据题意得:{a+b−c=7b+2c−a=7
解得：{a=3c2b=−c2+7
∵0≤c≤4,且c为整数,
∴{a=3b=6c=2或{a=6b=5c=4
∴满足条件的所有m的值为:362,654．
【点睛】本题主要考查了实数的加减运算,解三元一次方程组以及学生的运算能力,解题的关键是熟练掌握实数的加减运算法则,三元一次方程组的的解法．
【题型8 三元一次方程组的应用】
【例8】（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）．
(1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？
(2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润．
【答案】(1)装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆
(2)安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元
【分析】（1）设装运乙种蔬菜的汽车为x辆，则装运丙种蔬菜的汽车为(14−x)辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为a辆、b辆、c辆，可以得到出a+b+c=30 (1)2a+b+2.5c=48 (2)，即可得c=12−23a，根据a、b、c都为自然数，可得a为3的倍数，结合1≤a≤10，可得a=3或a=6或a=9，问题随之得解．
【详解】（1）解：设装运乙种蔬菜的汽车为x辆，则装运丙种蔬菜的汽车为(14−x)辆．
列方程：x+2.5(14−x)=17，
解得x=12．
即14−x=14−12=2．
答：装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆；
（2）解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为a辆、b辆、c辆，
则a+b+c=30 (1)2a+b+2.5c=48 (2)，
2−1得：a+1.5c=18，
∴2a+3c=36，
∴c=12−23a．
∵a、b、c都为自然数，
∴a为3的倍数，
又∵1≤a≤10，
∴a=3或a=6或a=9，
∴a=3b=17c=10或a=6b=16c=8或a=9b=15c=6，
当a=3b=17c=10时，利润为：3×2×500+17×1×700+10×2.5×400=24900（元），
当a=6b=16c=8时，利润为：6×2×500+16×1×700+8×2.5×400=25200（元），
当a=9b=15c=6时，利润为：9×2×500+15×1×700+6×2.5×400=25500（元），
由上可知，最大利润为25500元．
答：安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及三元一次方程组的应用，明确题意，正确列出方程，是解答本题的关键．
【变式8-1】（2023下·七年级单元测试）小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法？
【答案】小明妈妈有三种不同的购买方法
【分析】设分别购买学习用品x、y、z，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设分别购买单价为2元、4元、6元得到学习用品x件、y件、z件，
根据题意可得：2x+4y+6z=56①1.5x+3.5y+5.5z=50②
①−②×2得：x+y+z=12③，
①÷2得：x+2y+3z=28④，
④−③得：y+2z=16，
∴z=16−y2=8−y2
∵x、y、z都是正整数，
∴当y=2时，z=7，x=3；
当y=4时，z=6，x=2；
当y=6时，z=6，x=1；
∴小明妈妈有三种不同的购买方法．
答：小明妈妈有三种不同的购买方法．
【点睛】本题考查三元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确解读题意，设出未知数，根据题意正确列出方程组．
【变式8-2】（2023下·七年级课时练习）汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡时每小时行驶28千米，下坡时每小时行驶35千米，去时行驶142千米的路程用4小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米？去时上、下坡路各有多少千米？
【答案】平路有30千米，去时上坡路有42千米，下坡路有70千米
【分析】设去时上坡路有x千米，平路有y千米，下坡路有z千米，然后根据题意列出三元一次方程组求解即可．
【详解】解：设去时上坡路有x千米，平路有y千米，下坡路有z千米．
由题意得x+y+z=142x28+y30+z35=4.5z28+y30+x35=4.7，解得x=42y=30z=70．
答：平路有30千米，去时上坡路有42千米，下坡路有70千米．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键．
【变式8-3】（2023下·全国·七年级期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？
(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆
(2)共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆
(3)甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元
【分析】（1）找准等量关系：甲运物资+乙运物资=138，甲运费+乙运费=10000，列二元一次方程组求解即可．
（2）找准等量关系：甲运物资+乙运物资+丙运物资=138，甲车数量+乙车数量+丙车数量=16辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案．
（3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费．
【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆．
根据题意可得：6x+9y=138500x+600y=10000，
解得：x=8y=10．
答：需要甲车8辆，乙车10辆．
（2）设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆．
根据题意得：x+y+z=166x+9y+10z=138，
消去z可得：4x+y=22，即：y=22−4x．
由于x、y、z均是非负整数，且三种车共16辆要求同时参与所以x与y都不能大于14，得：x= 3，4，5．
解得：x=3y=10z=3，x=4y=6z=6，x=5y=2z=9．
所以共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆．
（3）三种方案的运费分别是：
①3×500+10×600+3×600=9300（元）；②4×500+6×600+6×600=9200（元）；③5×500+2×600+9×600=9100（元）．
对比可知第三种方案，甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数
2
1
2.5
每吨蔬菜可获利润（百元）
5
7
4
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
6
9
10
汽车运费（元/辆）
500
600
600