中考数学一轮复习专题7.11 平行线的证明章末十一大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题7.11 平行线的证明章末十一大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版），共101页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18399" 【题型1 平行线在三角板中的运用】 PAGEREF _Tc18399 \h 1
\l "_Tc12629" 【题型2 平行线在折叠中的运用】 PAGEREF _Tc12629 \h 15
\l "_Tc2244" 【题型3 旋转使平行】 PAGEREF _Tc2244 \h 21
\l "_Tc3826" 【题型4 利用平行线求角度之间的关系】 PAGEREF _Tc3826 \h 25
\l "_Tc16164" 【题型5 利用平行线解决角度定值问题】 PAGEREF _Tc16164 \h 36
\l "_Tc28110" 【题型6 平行线的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc28110 \h 45
\l "_Tc19908" 【题型7 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Tc19908 \h 55
\l "_Tc11510" 【题型8 平行线与动点的综合应用】 PAGEREF _Tc11510 \h 59
\l "_Tc2386" 【题型9 与角平分线有关的三角形角的计算问题】 PAGEREF _Tc2386 \h 69
\l "_Tc24788" 【题型10 与平行线有关的三角形角的计算问题】 PAGEREF _Tc24788 \h 78
\l "_Tc17728" 【题型11 与折叠有关的三角形角的计算问题】 PAGEREF _Tc17728 \h 91
【题型1 平行线在三角板中的运用】
【例1】（2023下·浙江温州·八年级校考期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．

(1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，直接写出此时t的值；
(2)当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系．
(3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边与ED平行时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)3
(2)∠ECB−∠DCA=15°
(3)15或24或33
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACE=12∠DCE=15°，然后求出t的值即可；
（2）根据旋转得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°−5t，∠ECB=45°−5t，即可得出∠ECB−∠DCA=15°；
（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可．
【详解】（1）解：如图2，∵∠EDC=90°，∠DEC=60°，

∴∠DCE=30°，
∵AC平分∠DCE，
∴∠ACE=12∠DCE=15°，
∴t=155=3，
答：此时t的值是3；
（2）解：当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3；

由旋转得：∠ACE=5t，
∴∠DCA=30°−5t，∠ECB=45°−5t，
∴∠ECB−∠DCA=45°−5t−30°−5t=15°；
（3）解：分三种情况：
①当AB∥DE时，如图4，

此时BC与CD重合，
t=30+45÷5=15；
②当AC∥DE时，如图5，

∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠D=90°，
∴∠ACE=90°+30°=120°，
t=120÷5=24；
③当BC∥DE时，如图6，

∵BC∥DE
∴∠BCD=∠CDE=90°
∴∠ACD=90°+30°+45°=165°
∴t=165÷5=33
综上，t的值是15或24或33．
故答案为：15或24或33．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，角平分线的计算，平行线的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
【变式1-1】（2023下·河南安阳·八年级统考期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．
(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；
(2)类比探究，若按住三角板ABC不动，顺时针绕直角顶点C转动三角形DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；
(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．
【答案】(1)∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°
(2)当∠ACD=60°或120°时，CE//AB
(3)∠ACD=45°，AC⊥DE或AC//DE
【分析】（1）由三角板的特点可知∠ACB=∠DCE=90°，即可求出∠BCD=∠ACE．再根据∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE−∠ACE，即可求出∠BCE+∠ACD=180°；
（2）分类讨论结合平行线的性质即可求解；
（3）由（1）∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD=45°，再分类讨论结合平行线的判定和性质即可得出DE与AC的位置关系．
【详解】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠ACD=∠DCE−∠ACD，即∠BCD=∠ACE．
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE−∠ACE，
∴∠BCE+∠ACD=∠ACB+∠DCE=90°+90°=180°．
故答案为：∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°；
（2）分类讨论：①如图1所示，
∵CE//AB，
∴∠ACE=∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠DCE−∠ACE=90°−30°=60°；
②如图2所示，
∵CE//AB，
∴∠BCE=∠B=60°，
∴∠ACD=360°−∠ACB−∠DCE−∠BCE=360°−90°−90°−60°=120°．
综上可知当∠ACD=60°或120°时，CE//AB；
（3）根据（1）可知∠BCE+∠ACD=180°，
∴3∠ACD+∠ACD=180°，
∴∠ACD=45°．
分类讨论：①如图3所示，

∵∠ACD=45°，
∴∠BCD=45°=∠CDE，
∴BC//DE．
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴AC⊥DE；
②如图4所示，
∵∠ACD=45°，
∴∠ACD=45°=∠CDE，
∴AC//DE．
【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
【变式1-2】（2023上·湖南长沙·八年级校考期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）①如图1，∠DPC＝ 度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．
（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①∠CPD∠BPN为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证明．
【答案】（1）①90；②t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：∠DPC=180°−∠CPA−∠DPB,从而可得答案；②当BD//PC时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当PA//BD时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC//DP时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC//BD时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC//BP时的旋转时间与PA//BD相同；
（2）分两种情况讨论：当PD在MN上方时，当PD在MN下方时，①分别用含t的代数式表示∠CPD,∠BPN，从而可得∠CPD∠BPN的值；②分别用含t的代数式表示∠CPD,∠BPN，得到∠BPN+∠CPD是一个含t的代数式，从而可得答案．
【详解】解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD∥PC时，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC∥BD时，
∵PC//BD,∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，
∵∠DPB＝∠ACP＝30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，
∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
如图1﹣6，当AC//DP时，

∵AC//DP，
∴∠DPA=∠PAC=90°，
∠DPN+∠DPA=180°−30°+90°=240°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为240°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为24秒，
如图1﹣7，当AC∥BD时，
∵AC∥BD，
∴∠DBP＝∠BAC＝90°，
∴点A在MN上，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
当AC//BP时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：9s，27s．
综上所述：当t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当PD在MN上方时，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，
∴∠BPN=2∠CPD=180°−2t,
∴∠CPD∠BPN=12.
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当PD在MN下方时，如图，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝2t−30°, ∠APN＝3t．
∴∠CPD＝360°−∠CPA−∠APN−∠DPB−∠BPN
=360°−60°−3t−30°−(180°−2t)
=90°−t
∴∠BPN=2∠CPD=180°−2t,
∴∠CPD∠BPN=12.
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
【点睛】本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
【变式1-3】（2023上·福建泉州·八年级统考期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线AC的反向延长线上时，即停止旋转．
(1)如图2，当边AC落在∠DAE内，
①∠CAD与∠BAE之间存在怎样的数量关系？试说明理由；
②过点A作射线AF，AG，若∠CAF=13∠CAD，∠BAG=14∠EAG，求∠FAG的度数；
(2)设△ADE的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与△ABC的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值．
【答案】(1)①∠BAE−∠CAD=45°（或∠BAE=∠CAD+45°），理由见解析；②105°
(2)5或15或35或45或50
【分析】（1）①由角的和差关系可得∠BAE+∠CAE=90°，∠CAD+∠CAE=45°，再把两式相减即可得到结论；②先求解∠FAE=45°−∠DAF=45°−43∠CAD，-∠EAG=∠BAE+∠BAG=43∠BAE，结合∠FAG=∠FAE+∠EAG，=45°−43∠CAD+43∠BAE =45°+43(∠BAE−∠CAD)，从而可得答案；
（2）分5种情况讨论：如图，当AD∥BC时，如图，当DE∥AB时，如图，当DE∥BC时，如图，当DE∥AC时，如图，当AE∥BC时，再结合平行线的性质可得答案．
【详解】（1）解：①∠BAE−∠CAD=45°（或∠BAE=∠CAD+45°）；
理由如下：∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAD+∠CAE=45°，
两式相减得：∠BAE−∠CAD=45°，
② ∵∠CAF=13∠CAD，
∴∠FAE=45°−∠DAF=45°−43∠CAD，
∵∠BAG=14∠EAG，
∴∠BAG=13∠BAE，
∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=43∠BAE，
∴∠FAG=∠FAE+∠EAG，
=45°−43∠CAD+43∠BAE
=45°+43(∠BAE−∠CAD)
=45°+43×45°=105° ；
（2）如图，当AD∥BC时，
∴∠DAC=∠ACB=30°，∠EAC=45°−30°=15°，
∴t=153=5；
如图，当DE∥AB时，
∴∠BAC+∠ADE=180°，则∠ADE=90°，
此时∠CAE=∠DAE=45°，
∴t=453=15；
如图，当DE∥BC时，
∴∠BMA=∠D=90°，∠AMC=180°−90°=90°，
∴∠MAC=90°−30°=60°，
∴∠EAC=45°+60°=105°，
∴t=1053=35；
如图，当DE∥AC时，
∴∠ADE=∠BAC=90°，即A，B，D共线，
∴∠CAE=90°+45°=135°，
∴t=1353=45；
如图，当AE∥BC时，
∴∠EAB=∠B=60°，
∴∠EAC=60°+90°=150°，
∴t=1503=50．
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角的倍分关系，角的旋转定义的理解，平行线的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【题型2 平行线在折叠中的运用】
【例2】（2023下·浙江温州·八年级校联考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，①当PK在AD上方时，延长MN、KH相交于点Q，根据MN∥PK，推出EN∥KQ，得到∠AEN=∠AHQ，求出∠AEN的度数，再根据∠KHD=∠AHQ即可求解；②当PK在BC下方时，延长MN、HK相交于点O，根据MN∥PK，推出EN∥HO，得到∠AEN=∠AHO，再根据∠AHO+∠KHD=180°即可求解．
【详解】解：①当PK在AD上方时，延长MN、KH相交于点Q，如图所示
∵MN∥PK
∴∠K=∠Q
∵∠K=90°
∴∠Q=90°
∵∠MNE=90°
∴∠MNE=∠Q
∴EN∥KQ
∴∠AEN=∠AHQ
∵∠EFC=37°，AD∥BC
∴∠AEF=∠EFC=37°
∵翻折
∴∠AEF=∠NEF=37°
∴∠AEN=74°
∴∠AHQ=74°
∵∠KHD=∠AHQ
∴∠KHD=74°
②当PK在BC下方时，延长MN、HK相交于点O，如图所示
∵MN∥PK
∴∠O=∠OKP=90°
∵∠MNE=90°
∴∠MNE=∠O
∴EN∥HO
∴∠AEN=∠AHO
∵∠EFC=37°，AD∥BC
∴∠AEF=∠EFC=37°
∵翻折
∴∠AEF=∠NEF=37°
∴∠AEN=74°
∴∠AHO=74°
∵∠AHO+∠KHD=180°
∴∠KHD=106°
故选D．
【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．
【变式2-1】（2023下·福建宁德·八年级统考期末）如图，将一条长方形彩带ABCD进行两次折叠，先沿折痕MN向上折叠，再沿折痕AM向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角∠2=26°，则第一次折叠时∠1应等于 °．

【答案】77
【分析】如图所示，根据平行的性质可以得出答案．
【详解】解：如图：

∵折叠，
∴∠1=∠5，
∴∠3+2∠5=∠3+2∠1=180°，
∴∠1=12180°−∠3，
∵彩带两边平行，
∴∠3=∠4=∠6，
∵折叠，彩带两边平行，
∴∠2=∠PEF=∠PMF=∠6，
∴∠3=∠2=26°，
∴∠1=12180°−∠3=12180°−26°=77°．
故答案为：77．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【变式2-2】（2023下·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM>DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1=∠2，则∠CPM的度数为（ ）

A．74°B．72°C．70°D．68°
【答案】B
【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，据此可得∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，再根据HP∥GM得∠HPM+∠GMP=180°，根据CP∥BM得∠CPM=∠AMP=2∠1，据此可求出∠1=36°，进而可求出∠CPM的度数．
【详解】解：由翻折的性质得：∠AMN=∠NMP，∠CPM=∠HPM，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB∥CD，
∴∠AMN=∠1，
∴∠NMP=∠1，
又∵∠1=∠2，
∴∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，
∴∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，
∵HP∥GM，
∴∠HPM+∠GMP=180°，
即：∠HPM+3∠1=180°，
∵CP∥BM，
∴∠CPM=∠AMP=2∠1，
∴∠HPM=∠CPM=2∠1，
∴2∠1+3∠1=180°，
∴∠1=36°，
∴∠CPM=2∠1=72°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换和性质，平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系．
【变式2-3】（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知四边形纸片ABCD的边AB∥CD，E是边CD上任意一点，△BCE沿BE折叠，点C落在点F的位置．

(1)观察发现：如图①所示：∠C=60°，∠FED=45°，则∠ABF=______．
(2)拓展探究：如图②，点F落在四边形ABCD的内部，探究∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，并证明；
(3)迁移应用：如图③，点F落在边CD的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．
【答案】(1)15°
(2)∠FED+∠ABF=∠C，证明见解析
(3)不成立，数量关系应为：∠ABF−∠FED=∠C，证明见解析
【分析】（1）根据已知条件，结合平行线的性质，算出∠ABC，再结合折叠、四边形内角和，算出∠FBC，最后根据∠ABF=∠ABC−∠FBC计算即可；
（2）过点F作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，由平行线的性质可得∠FED=∠EFN，根据平行公理的推论可得MN∥AB，继而得到∠NFB=∠ABF，再结合折叠的性质可得数量关系；
（3）过点F作GH∥CD，由平行线的性质可得∠FED=∠HFE，根据平行公理的推论可得GH∥AB，继而得到得∠ABF=∠HFB，再结合折叠的性质可得数量关系．
【详解】（1）解：∵AB∥CD，△BCE沿BE折叠，点C落在点F的位置，∠C=60°，∠FED=45°，
∴∠ABC=180°−∠C=120°，（两直线平行，同旁内角互补）
∠FEC=180°−∠FED=135°，
∠F=∠C=60°，
∴∠FBC=360°−∠F−∠C−∠FEC=360°−60°−60°−135°=105°，（四边形内角和为360°）
∴∠ABF=∠ABC−∠FBC=120°−105°=15°，
故答案为：15°
（2）解：如下图，过点F作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N

则∠FED=∠EFN，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB，
∴∠NFB=∠ABF，
∴∠FED+∠ABF=∠EFN+∠NFB=∠EFB，
由折叠的性质得，∠EFB=∠C
∴∠FED+∠ABF=∠C
（3）解：如下图，过点F作GH∥CD，则∠FED=∠HFE，

∵AB∥CD，
∴GH∥AB，
∴∠ABF=∠HFB=∠HFE+∠BFE=∠FED+∠BFE，
由折叠的性质得，∠BFE=∠C
∴∠ABF=∠FED+∠C，即∠ABF−∠FED=∠C
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．
【题型3 旋转使平行】
【例3】（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ，，．小明将ADE从图中位置开始，绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边与边平行．
【答案】或
【分析】分两种情况：①DE在AB上方；②DE在AB下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案．
【详解】①当DE在AB上方，
∵，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAE=∠E=45°，
∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，
∴旋转时间为：（秒）；
②当DE在AB下方，
∵，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAE+∠E=180°，
∴∠BAE=180°-∠E=135°，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=105°，
∴旋转角度为：360°-∠CAE=255°，
∴旋转时间为：（秒），
综上所述：在旋转过程中，第或秒时，边与边平行，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是对DE的位置进行讨论，画出相应图形解答．
【变式3-1】（2023下·河北唐山·八年级统考期末）如图，分别将木条a，b与固定的木条c钉在一起，，，顺时针转动木条a，下列选项能使木条a与b平行的是（ ）

A．旋转30°B．旋转50°C．旋转80°D．旋转130°
【答案】A
【分析】根据平行线的 判定定理即可求解．
【详解】解：在图中标注出，如图所示：

若，则
故应将木条a顺时针转动30°
故选：A
【点睛】本题考查平行线的判定定理．根据题意选择合适的判定定理是解题的关键．
【变式3-2】（2023下·安徽六安·八年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．

【答案】或
【分析】分和两种情况求解．
【详解】当时，
∵，
∴，
∵，
；
当时，
∵，
；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板中的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式3-3】（2023下·河北唐山·八年级统考期中）如图（1），在三角形ABC中，，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2），使，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【详解】解：如图（2），
当时，
∵，
∴．
∴．
如图（2），
当时，
∵，
∴
∴．
综上可得，当或时，．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．
【题型4 利用平行线求角度之间的关系】
【例4】（2023下·广东广州·八年级统考期末）点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．
（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED；
（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明∠B，∠D，∠BED之间的等量关系；
（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同时点F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，设∠BMD=m，利用（1)中的结论求∠BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）mn−12n
【分析】（1）如图1中，过点E作ET∥AB．利用平行线的性质解决问题．
（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．
（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．
【详解】解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．
（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．
如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥AB．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．
（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，
∵AB∥CD，
∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，
∴m=2x+2y，
∴x+y=12m，
∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，
∴∠BFD=n−1nx+n−1ny=n−1nx+y=n−1n×12m=mn−12n．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
【变式4-1】（2023下·广东广州·八年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝AB在C，D，E处弯折得到如下图①的形状，其中AC∥DE，CD∥BE．
第二步：将DE绕点D旋转一定角度，再将BE绕点E旋转一定角度并在BE上某点F处弯折，得到如下图②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成∠G，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：
(1)如图①，若∠C=2∠D，求∠E；
(2)如图②，若AC∥BF，请判断∠C，∠D，∠E，∠F之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，设∠D=x，∠F=y，求∠G．（用含x，y的式子表示）
【答案】(1)∠E=60°
(2)∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，理由见解析
(3)∠G=23x+13y
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠C+∠D=180°，根据解题得出∠D=60°，进而根据CD∥BE，即可求解；
（2）过点D,E分别作AC的平行线DN,EM，根据平行线的性质得出∠MED=∠NDE设∠MED=∠NDE=α，进而根据平行线的性质得出∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，即可得出结论；
（3）根据（2）的结论可得∠ACD+x=∠DEF+y，∠G+∠ACG=∠F+∠GEF，根据已知∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，可得∠G+23∠ACD=23∠DEF+y，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵AC∥DE，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠C=2∠D，
∴3∠D=180
解得：∠D=60°，
∵CD∥BE．
∴∠E=∠D=60°；
（2）解：如图所示，
过点D,E分别作AC的平行线DN,EM，
∴EM∥DN，
∴∠MED=∠NDE，
设∠MED=∠NDE=α，
又∵AC∥BF，
∴AC∥DN，ME∥BF，
∴∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，
∴∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，；
（3）∵∠D=x，∠F=y，∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，
即∠ACD+x=∠DEF+y，
∴∠DEF−∠ACD=x−y，
由（2）可得∠G+∠ACG=∠F+∠GEF，
∵∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，
∴∠G+23∠ACD=23∠DEF+∠F，
即∠G+23∠ACD=23∠DEF+y，
∴∠G=y+23∠DEF−∠ACD=y+23x−y=23x+13y，
∴∠G=23x+13y．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
【变式4-2】（2023下·安徽·八年级统考期末）如图，直线m∥n，Rt△ABC中∠ACB=90°，Rt△ABC的边AC、AB与直线m相交于D、E两点，边BC、AB与直线n交于F、G两点．
(1)将Rt△ABC如图1位置摆放，如果∠ADE=46°，则∠CFG=______；
(2)将Rt△ABC如图2位置摆放，H为AC上一点，∠HFG+∠CFG=180°，请写出∠HFG与∠ADE之间的数量关系，并说明理由；
(3)将Rt△ABC如图3位置摆放，若∠EDC=140°，延长AC交直线n于点K，点P是射线EG上一动点，探究∠PDK，∠DPK与∠PKG的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．
【答案】(1)∠CFG=136°
(2)∠HFG+∠ADE=90°，理由见解析
(3)∠PDK+∠DPK−∠PKG=140°或∠PDK+∠DPK+∠PKG=140°
【分析】（1）过点C作CH∥m，由m∥n知，CH∥m∥n，则可得∠ACH=∠ADE=46°，∠HCB+∠CFG=180°，再由∠ACB=90°，求得∠HCB，进而求得∠CFG的度数；
（2）过点C作CQ∥m，则CQ∥m∥n，则∠ADE=∠ACQ，∠CFG+∠QCF=180°，结合已知即可求得∠HFG与∠ADE之间的数量关系；
（3）分点P在线段EG上或EG的延长线上两种情况考虑即可求得．
【详解】（1）解：过点C作CH∥m，如图，
∵m∥n，
∴CH∥m∥n，
∴∠ACH=∠ADE=46°，∠HCB+∠CFG=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠HCB=90°−46°=44°，
∴∠CFG=180°−∠HCB=136°；

故答案为：136°；
（2）解：∠HFG+∠ADE=90°，理由如下：
过点C作CQ∥m，则CQ∥m∥n，

∴∠ADE=∠ACQ，∠CFG+∠QCF=180°，
∵ ∠HFG+∠CFG=180°，
∴∠QCF=∠HFG，
∵∠ACQ+∠QCF=90°，
∴∠HFG+∠ADE=90°，
（3）解：过点P作PM∥m，则PM∥m∥n；
①点P在线段EG上时，如图，

∴∠DPM=∠EDP=∠EDC−∠PDK=140°−∠PDK，∠MPK=∠PKG，
∴∠DPK=∠DPM+∠MPK=140°−∠PDK+∠PKG，
∴∠PDK+∠DPK−∠PKG=140°；
②点P在线段EG的延长线上时，如图，

∵PM∥m∥n，
∴∠KPM=∠PKG，∠PDE=∠DPM，
∵∠PDE=∠EDC−∠PDK=140°−∠PDK，∠DPM=∠DPK+∠KPM=∠DPK+∠PKG，
∴∠DPK+∠PKG=140°−∠PDK，
即∠PDK+∠DPK+∠PKG=140°，
综上：∠PDK+∠DPK−∠PKG=140°或∠PDK+∠DPK+∠PKG=140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角的和差关系，构造平行线是本题的关键，注意分类讨论．
【变式4-3】（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）【问题情境】如图1，AB∥CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点F在直线AB上．直接写出∠E,∠EFH,∠EGD之间的数量关系为 ．

【实践运用】如图2，AB∥CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点F在直线AB上．FT平分∠EFH，GM平分∠EGC，若∠E=40°，求∠FMG的度数．

【拓广探索】如图3，AB∥CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点P为平面内不在直线AB，CD，EG上的一点，若∠BHP=x，∠DGP=y，则∠HPG= （直接写出答案，用x，y表示）．

【答案】【问题情境】∠EGD=∠FEH+∠EFH；【实践运用】∠FMG的度数为70°；【拓广探索】∠HPG的大小为x−y或y−x或x+y或360°−x−y．
【分析】问题情境：如图，作EQ∥AB，而AB∥CD，则EQ∥AB∥CD，再利用平行线的性质可得结论；
实践运用：设∠EFT=x，FT平分∠EFH，可得∠EFT=∠TFH=∠AFM=x，由（1）得：∠EGD=∠EFH+∠E=2x+40°，可得∠MGC=12∠HCG=70°−x．过点M作MK∥AB，则MK∥AB∥CD，可得∠FMK=∠AFM=x．∠KMG=∠MGC=70°−x，再利用角的和差关系可得答案；
拓广探索：对P点的位置有六种可能，再分情况画出图形，利用数形结合的方法解题即可．
【问题情境】如图，作EQ∥AB，而AB∥CD，
∴EQ∥AB∥CD，

∴∠EGD=∠QEG=∠EHB,∠QEF=∠EFB，
∵∠FEH=∠QEG−∠QEF，
∴∠FEH=∠EHB−∠EFH，
∴∠EGD=∠FEH+∠EFH．
【实践运用】设∠EFT=x，FT平分∠EFH，
∴∠EFT=∠TFH=∠AFM=x，

由（1）得：∠EGD=∠EFH+∠E=2x+40°，
∴∠HCG=140°−2x．
∵GM平分∠EGC．
∴∠MGC=12∠HCG=70°−x．
过点M作MK∥AB，则MK∥AB∥CD，
∴∠FMK=∠AFM=x．
∵MK∥CD，
∴∠KMG=∠MGC=70°−x，
∴∠FMG=∠KMG+∠FMK=70°−x+x=70°．
【拓广探索】对P点的位置有六种可能，
①如图所示，作PQ∥AB，而AB∥CD,

∴PQ∥AB∥CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，
∴∠HPG=∠QPG−∠HPQ=y−x，
②如图所示，作PQ∥AB，而AB∥CD,

∴PQ∥AB∥CD，
∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，
∴∠HPG=∠QPG+∠HPQ=y+x，
③如图所示，作PQ∥AB，而AB∥CD,

∴PQ∥AB∥CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，
∴∠HPG=∠HPQ−∠QPG=x−y，
④如图所示，作PQ∥AB，而AB∥CD,记PG,AB的交点为N，

∴PQ∥AB∥CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠QPG=180°−∠DGP=180°−y，∠QPH=180°−∠PHB=180°−x，
∴∠HPG=∠GPQ−∠QPH=180°−y−180°+x=x−y，
⑤如图所示，作PQ∥AB，而AB∥CD,

∴PQ∥AB∥CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠QPG=180°−∠DGP=180°−y，∠QPH=180°−∠PHB=180°−x，
∴∠HPG=∠GPQ+∠QPH=180°−y+180°−x=360°−x−y，
⑥如图所示，作PQ∥AB，而AB∥CD,

∴PQ∥AB∥CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠QPG=180°−∠DGP=180°−y，∠QPH=180°−∠PHB=180°−x，
∴∠HPG=∠QPH−∠GPQ=180°−x−180°+y=y−x，
综上：∠HPG的大小为x−y或y−x或x+y或360°−x−y．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的性质，掌握“利用平行线的性质探究角与角之间的数量关系”是解本题的关键．
【题型5 利用平行线解决角度定值问题】
【例5】（2023下·河南商丘·八年级统考期末）已知 AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD，AB分别交于E，F．

(1)如图（1），P在AB、CD之间，若∠EFB=50°，∠EDP=35°，求∠MPD的度数；
(2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，则∠Q∠DPB是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
(3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，∠Q∠DPB的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)15°
(2)是定值，∠Q∠DPB=12
(3)是，12
【分析】（1）过点P作PG∥AB，利用平行线的性质进行角得相关计算可求∠MPD的度数；
（2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题；
（3）过点P作PG∥AB，过点Q作QH∥AB，由平行线性质得∠DPG=∠CDP，∠BPG=∠ABP，从而得∠DPB=∠BPG−∠DPG=∠ABP−∠CDP，同理可得∠Q=∠CDQ+∠ABQ，再由角平分线的定义即可求解．
【详解】（1）解：（1）如图，当点P在线段AB，CD之间时，过点P作PG∥AB．

∵AB∥CD，PG∥AB，
∴PG∥CD．
∵∠EFB=50°，∠EDP=35°
∴∠EPG=∠EFB=50°，
∠DPG=∠EDP=35°．
∴∠MPD=∠EPG−∠DPG=50°−35°=15°．
（2）解：∠Q∠DPB是定值，
如图，

由（1）知AB∥PG∥CD，
∴∠DPG=∠CDP，∠BPG=∠ABP，
∴∠DPB=∠DPG+∠BPG=∠CDP+∠ABP，
同理可得∠Q=∠CDQ+∠ABQ，
又∵DQ、BQ分别平分∠CDP，∠ABP，
∴∠CDQ=12∠CDP，∠ABQ=12∠ABP，
∴∠Q=∠CDQ+∠ABQ=12∠CDP+∠ABP=12∠DPB，
∴∠Q∠DPB=12．
（3）解：如图，过点P作PG∥AB，过点Q作QH∥AB，

∵AB∥CD，
∴PG∥CD QH∥CD ，
∴∠DPG=∠CDP，∠BPG=∠ABP，
∴∠DPB=∠BPG−∠DPG=∠ABP−∠CDP，
同理可得∠BQD=∠ABQ−∠CDQ，
又∵DQ、BQ分别平分∠CDP与∠ABP，
∴∠CDQ=12∠CDP，∠ABQ=12∠ABP，
∴∠BQD=∠ABQ−∠CDQ=12∠ABP−∠CDP=12∠DPB，
∴∠BQD∠DPB=12．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式5-1】（2023下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．

(1)求证：AE⊥ED；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)∠F为定值，∠F=135°，理由见解析
【分析】（1）过点E作EG∥BM，根据两直线平行内错角相等，得出∠AED=∠1+∠2，即可求解．
（2）根据两直线平行同旁内角互补，得出∠BAD+∠CDA=180°，再将各个角代入计算，得出∠1+∠2+∠1+∠5=180°，∠5=∠2，即可求解；
（3）过点F作FH∥BM，∠AFH=α，∠DFH=β，根据平行线性质得出∠α+∠β=∠6+∠7，由于∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，所以∠α+∠β= 12(180°−∠1)+12(180°−∠2)，即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，

过点E作EG∥BM，则∠1=∠3，
∵ BM∥CN，
∴ EG∥CN，
∴∠4=∠2，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥ED．
（2）证明：∵ AE平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠1，
∵BM∥CN，
∴∠BAD+∠CDA=180°，
∴2∠1+∠CDA，
=2∠1+∠2+∠5=180°，
=∠1+∠2+∠1+∠5=180°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠5=∠2，
∴DE平分∠ADC．
（3）∠F为定值．
证明：如图2，过点F作FH∥BM，设∠AFH=α，∠DFH=β，

∵ BM∥CN，
∴ FH∥CN，
∴∠α+∠β=∠6+∠7，
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠α+∠β= 12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)
=180°−45°=135°，
∴∠F=∠α+∠β=135°，
∴∠F为定值，∠F=135°，
故答案为：∠F=135°．
【点睛】本题主要考查垂线、角平分线的性质，解题的关键是掌握垂垂线的概念和角平分线的性质及角的和差计算等知识点．
【变式5-2】（2023下·河北保定·八年级统考期末）如图1，已知∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE和FH上，在∠EFH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD．
(1)如图1，若FAB=150°，求∠HCD的度数；
(2)小颖发现，在∠EFH内部，无论FAB如何变化，∠FAB−∠HCD的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的∠EFH=90°改为∠EFH=120°，其他条件不变，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系；
②如图4，已知∠EFG+∠FGC=α，点A，C分别在射线FE，GH上，在∠EFG与∠FGH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系．
【答案】(1)60°
(2)90°
(3)①∠FAB−∠HCD=60°，②∠FAB−∠HCD=360°−α
【分析】（1）过点F作FM∥AB，可以求出∠1=30°，结合AB∥CD，可以得到AB∥CD，即可求出∠HCD的度数；
（2）过点F作FN∥AB，结合已知AB∥CD可以得出FN∥CD，进而得到∠HCD=∠2，即可求出，∠FAB−∠HCD的值；
（3）①根据题意画出对应的图形，结合平行线的性质和判定即可得到∠FAB与∠HCD之间的数量关系；
②根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线，结合平行线的性质与判定即可正确解答．
【详解】（1）过点F作FM∥AB
∴∠FAB+∠1=180°
∵∠FAB=150°
∴∠1=30°
∵AB∥CD
∴MN∥CD
∴∠HCD=∠2
∵∠1+∠2=90°
∴∠HCD=∠2=90°−∠1=60°
（2）过点F作FN∥AB
∴∠FAB+∠1=180°
∴∠1=180°−∠FAB
∵AB∥CD
∴FN∥CD
∴∠HCD=∠2
∵∠1+∠2=90°
∴180°−∠FAB+∠HCD=90°
∴∠FAB−∠HCD=90°
（3）①∠FAB−∠HCD=60°
②∠FAB−∠HCD=360°−α
【点睛】本题主要考查的是平行线模型，根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式5-3】（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）如图1，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在l2上，线段AD交线段BC于点E，且∠BED=60°．
(1)求证：∠ABE+∠EDC=60°；
(2)如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，标记∠BFE为∠1，∠BGD为∠2．
①若∠1−∠2=16°，求∠ADC的度数；
②当k=________时，k∠1+∠2为定值，此时定值为________．
【答案】(1)证明见解析
(2)①36°；②2；140°
【分析】（1）利用平行线的性质解答即可；
（2）①设∠FBE=a，∠GDC=b，则∠ABF=2a，∠EDG=2b，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解；
②利用①中的方法，设∠FBE=a，∠GDC=b，则∠ABF=2a，∠EDG=2b，通过计算k∠1+∠2，令计算结果中的a的系数为0即可求得结论．
【详解】（1）证明：如图，作EF∥l2，
∴∠FED=∠EDC，
∵l1∥l2，
∴EF∥l1，
∴∠ABE=∠BEF，
∵∠BED=60°，
∴∠ABE+∠EDC=∠BEF+∠FED=∠BED=60°
（2）设∠FBE=a，∠GDC=b，
∵∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，
∴∠ABF=2a，∠EDG=2b，
∵l1∥l2，
∴∠BAD=∠ADC=3b，∠ABC=∠BCD=3a，
由（1）可得：
∠1=2a+3b，∠2=3a+b，∠BED=3a+3b=60°，
∴a+b=20°，
∴∠1=60°−a，∠2=20°+2a，
①∵∠1−∠2=16°，
∴60°−a−20°+2a=16°，
∴a=8°，b=12°，
∴∠ADC=3b=36°；
②k=2，定值为140°，理由如下：
k∠1+∠2
=k60°−a+20°+2a
=60°k−ka+20°+2a
=2−ka+60°k+20°
当k=2时，k∠1+∠2=140°，
∴当k=2时，k∠1+∠2为定值，此时定值为140°．
故答案为：2；140°．
【点睛】本题考查平行线的性质．利用方程或方程组的思想解答是解题的关键．
【题型6 平行线的阅读理解类问题】
【例6】（2023下·江苏泰州·八年级泰州市海军中学校考阶段练习）【注重阅读理解】阅读以下材料：
已知点B，D分别在AK和CF上，且CF∥AK．
(1)如图1，若∠CDE=22°，∠DEB=75°，则∠ABE的度数为______；
(2)如图2，BG平分∠ABE，GB延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
(3)保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)53°
(2)100°
(3)不变；40°
【分析】（1）过点E作ES∥CF，根据CF∥AK，则ES∥CF∥AK，运用平行线的性质计算即可．
（2） 延长DE，交AB于点M，则∠DEB=∠EMB+∠EBM，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质计算即可．
（3） 过点E作EQ∥DN，则EQ∥DN∥BP，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．
【详解】（1）解：如图1，过点E作ES∥CF，
∵ CF∥AK，
∴ ES∥CF∥AK，
∴∠CDE=∠DES，∠SEB=∠ABE，
∴∠CDE+∠ABE =∠DES+∠SEB=∠DEB，
∵∠CDE=22°，∠DEB=75°，
∴∠ABE =∠DEB−∠CDE=75°−22°=53°．
故答案为：53°．
（2）解：如图2，延长DE，交AB于点M，
则∠DEB=∠EMB+∠EBM，
∵ CF∥AK，BG平分∠ABE，
∴∠EMB=180°−∠MDF，∠EBM=2∠ABG=2∠HBN，∠MDH=∠HDF=∠HNK= 12 ∠MDF，
∵∠HBN+∠DHB=∠HNK，
∴∠DEB=(180°−∠MDF) +2∠HBN=180°−∠MDF+ 2×12∠MDF−∠DHB，
∴∠DEB=180°−∠MDF+∠MDF−2∠DHB=180°−2∠DHB，
∵ ∠DEB −∠DHB=60°，
∴∠DEB=180°−2(∠DEB−60°)，
∴3∠DEB=300°，
解得∠DEB=100°．
（3）解：过点E作EQ∥DN，则EQ∥DN∥BP，
根据（1）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，
∵ BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠DEB=2∠NDE+180°−2∠EBM，
∵∠DEB=100°，
∴∠EBM−∠NDE=40°，
∵ EQ∥DN，
∴∠DEQ=∠NDE，
∴∠EBM =40°+∠DEQ，
∵ EQ∥DN,DN∥BP，
∴ EQ∥BP，
∴∠EBM+∠PBM +∠BEQ =180°，
∴40°+∠DEQ+∠PBM +∠BEQ =180°，
∴40°+∠DEB+∠PBM =180°，
∴∠PBM =180°−100°−40°=40°，
∴∠PBM 的度数不变，值为40°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式6-1】（2023下·湖北孝感·八年级统考期末）[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．

[阅读理解]：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，所以∠B=_________，∠C=__________，
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
所以∠B+∠BAC+∠C=180°．
[解题反思]：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C “凑”在一起，得到角的关系，使问题得到解决．
[方法运用]：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
[深化拓展]：
（3）已知AB∥CD，点C在D的右侧，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，若∠ABC=60°，则∠BED=__________°；
②如图4，点B在点A的右侧，若∠ABC=n°，则∠BED=________°．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）∠EAB，∠DAC；（2）360°；（3）①65°，②215°−n°2
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论；（2）过点C作CF∥AB，根据平行线性质得出∠D=∠FCD和∠B=∠BCF，然后根据已知得出结果；（3）①过点E作EF∥AB，根据两直线平行内错角相等即可求出∠BED的度数；②过点E作EH∥AB，根据两直线平行同旁内角互补可求出∠BEH=180°−n°2，再根据两直线平行内错角相等可求出∠HED=35°，两角相加即可得出答案．
【详解】解：（1）如图1过点A作ED∥BC，

∴ ∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，
∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°，
故答案为：∠EAB，∠DAC；
（2）如图2，过点C作CF∥AB，

∵AB∥ED，
∴CF∥ED，
∴∠D=∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°；
（3）①如图，过点E作EF∥AB

∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE=12∠ABC=30°，∠CDE=12∠ADC=35°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°；
②过点E作EH∥AB，

∴∠ABE+∠BEH=180°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=n°2
∴∠BEH=180°−n°2，
∵AB∥CD
∴HE∥CD
∴∠HED=∠EDC
∵DE平分∠ADC
∴∠HED=∠EDC=12∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEH+∠HED=180°−n°2+35°=215°−n°2；
故答案为：①65°；②215°−n°2．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解答本题的关键．
【变式6-2】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．

解：过点A作ED∥BC，所以∠B= ，∠C= ，
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
所以∠B+∠BAC+∠C=180°．

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图1，已知AB∥CD，求∠B+∠BPD+∠D的度数；
(3)深化拓展：已知直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接PA、PD．
①如图2，已知∠A=50°，∠D=140°，请直接写出∠APD的度数；
②如图3，请判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)∠EAB；∠DAC
(2)∠B+∠BPD+∠D=360°
(3)①90°；②∠PAB+∠CDP−∠APD=180°，理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论；
（2）过点P作PF∥AB，根据两直线平行同旁内角互补得出∠D+∠FPD=180°，∠B+∠FPB=180°，即可得到最后结论；
（3）①∠APD的度数为90°，过点P作PG∥AB，根据平行线性质求得∠APG=50°，∠GPD=40°，即可求得∠APD的度数；②∠PAB+∠CDP−∠APD=180°，过点P作PF∥AB，根据平行线性质得到∠CDP=∠DPF，∠PAB+∠APE=180°，即可退出最后结论．
【详解】（1）解：过点A作ED∥BC，
∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
所以∠B+∠BAC+∠C=180°；

（2）解：如图，过点P作PF∥AB，

∵AB∥CD，
∴PF∥CD，
∴∠D+∠FPD=180°，
∵PF∥AB，
∴∠B+∠FPB=180°，
∴∠B+∠FPB+∠FPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°；
（3）解：①∠APD的度数为90°；

理由：过点P作PG∥AB，
∴∠A=∠APG=50°，
∵AB∥CD，
∴GP∥CD，
∴∠GPD+∠D=180°，
∵∠D=140°，
∴∠GPD=180°−140°=40°，
∴∠APD=∠APG+∠GPD=50°+40°=90°；
②∠PAB+∠CDP−∠APD=180°，

理由：过点P作PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴PF∥CD，
∴∠CDP=∠DPF，
∵PF∥AB，
∴∠PAB+∠APE=180°，
∵∠APF=∠DPF−∠APD，
∴∠PAB+∠DPF−∠APD=180°，
∴∠PAB+∠CDP−∠APD=180°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理．
【变式6-3】（2023下·河南商丘·八年级永城市实验中学校考期末）阅读材料：如图1，若AB//CD，则∠B+∠D=∠BED．
理由：如图，过点E作EF//AB，
则∠B=∠BEF．
因为AB//CD，
所以EF//CD，
所以∠D=∠DEF，
所以∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．
交流：（1）若将点E移至图2所示的位置，AB//CD，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请说明理由．
探究：（2）在图3中，AB//CD，∠E+∠G、∠B+∠F+∠D又有何关系？
应用：（3）在图4中，若AB//CD，又得到什么结论？请直接写出该结论．
【答案】（1）∠B+∠D+∠E=360°；（2）∠E+∠G=∠B+∠D+∠F；（3）∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn+∠D= ∠E1+∠E2+…+∠En．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可知∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°，再由角之间的关系即可得出结论；
（2）过点F作FM∥AB，用（1）的结论可知∠E=∠B+∠EFM，∠G=∠GFM+∠D，再由角之间的关系即可得出结论；
（3）已知AB∥CD，连接AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．
【详解】（1）过点E作EF∥AB，如图2所示．
∵AB∥EF，
∴∠B+∠BEF=180°，
∵EF∥AB∥CD，
∴∠D+∠DEF=180°，
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=180°+180°，
∵∠E=∠BEF+∠DEF，
∴∠B+∠D+∠E=360°．
（2）过点F作FM∥AB，如图3所示．
∵AB∥FM，结合（1）结论，
∴∠E=∠B+∠EFM，
∵FM∥AB∥CD，结合（1）结论，
∴∠G=∠GFM+∠D，
又∵∠F=∠EFM+∠GFM，
∴∠E+∠G=∠B+∠D+∠F．
（3）如图：
根据（1）和（2）中的结论，我们得到两条平行线之间，内折的所有角的度数之和等于外折的所有角的度数之和，即：
∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn+∠D= ∠E1+∠E2+…+∠En．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质得出相等或互补的量．本题属于一般题，难度不大，在计算该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角，再根据角与角之间的关系即可得出结论．
【题型7 平行线的性质在生活中的应用】
【例7】（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角∠DOE=52°，顶角平分线OP始终与OC垂直．

(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角∠θ的度数；
(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15°到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角∠OQM的度数．
【答案】(1)64°
(2)49°
【分析】（1）利用角平分线定义可得∠DOP=12∠DOE=26°，由垂直定义可得∠COP=90°，得出∠COD=∠COP+∠DOP=116°，再运用平行线性质即可得出答案；
（2）过点C作CG∥MN，过点O作OF∥CG，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图2，∵∠DOE=52°，OP平分∠DOE，
∴∠DOP=12∠DOE=26°，
∵OP⊥OC，
∴∠COP=90°，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=90°+26°=116°，
∵OD∥BC，
∴∠C=180°−∠COD=180°−116°=64°，
∵OC∥BF，
∴∠COF=∠C=64°，
即∠θ=64°；
（2）如图3，过点C作CG∥MN，过点O作OF∥CG，

则∠COF=∠OCG=15°，
∵∠COD=116°，
∴∠FOQ=∠COD+∠COF=116°+15°=131°，
∵CG∥MN，OF∥CG，
∴OF∥MN，
∴∠OQM+∠FOQ=180°，
∴∠OQM=180°−∠FOQ=180°−131°=49°．
【点睛】本题考查了平行线性质等，适当添加辅助线，构造平行关系是解题关键．
【变式7-1】（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且∠1=122°，则∠2= ．

【答案】58°
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3=180°，又∠1=122°，
∴∠3=180°−∠1=58°，
∵水中的两条折射光线是平行的，
∴∠2=∠3=58°，
故答案为：58°．

【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
【变式7-2】（2023下·八年级单元测试）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，在B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，使所修路段CE//AB，求∠ECB的度数.
【答案】90°
【分析】先根据平行线的性质求出∠2的度数，再由平角的定义求出∠CBA的度数，根据CE∥AB即可得出结论．
【详解】∠ECB=90°．
理由：∵∠1=67°，
∴∠2=67°．
∵∠3=23°，
∴∠CBA=180°-67°-23°=90°．
∵CE∥AB，
∴∠ECB=∠CBA=90°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
【变式7-3】（2023下·广东广州·八年级统考期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC，经灯碗反射以后平行射出，其中∠ABO=38°，∠DCO=78°，则∠BOC的度数是 °
【答案】116
【分析】过O点作OE∥AB，则OE∥CD，利用平行线的性质，得内错角相等，从而求解．
【详解】解：过O点作OE∥AB，则OE∥CD，
∴∠EOB=∠ABO，∠EOC=∠DCO，
∵∠ABO=38°，∠DCO=78°，
∴∠EOB=38°，∠EOC=78°，
即∠BOC=∠BOE+∠EOC=38°+78°=116°．
故答案为：116．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【题型8 平行线与动点的综合应用】
【例8】（2023下·北京通州·八年级统考期末）已知：直线，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设．
(1)当，时，如图1位置所示，求的度数（用含有的式子表示），并写出解答过程；
(2)当时，过点G作EG的垂线．
①请在图2中补全图形；
②直接写出直线与直线CD所夹锐角的度数______（用含有的式子表示）．
【答案】(1)，解答过程见解析
(2)①补全图形见解析；②或或或
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEG+∠EGC=180°，则∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，然后把∠AEF，∠GEF，∠EGF代入计算即可求解；
（2）①分点E在G的左侧，F不在AB、CD之间；点E在G的左侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F不在AB、CD之间四种情形画图即可；
②根据①中四种情形分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴∠AEG+∠EGC=180°，
即∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，
又，，，
∴
（2）解：①当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，
；
②当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，
，
∵，
∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EGC=180°，
∵，∠FEG=45°，
∴∠EGC=，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，
∵，
∴∠AEG=∠EGD，
∵，∠FEG=45°，
∴，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，
，
∵，
∴∠AEG=∠EGD，
∵，∠FEG=45°，
∴，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，
∵，∠FEG=45°，
∴，
∵，
∴∠AEG=∠EGD=，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，以及能够进行正确分类讨论是解题的关键．
【变式8-1】（2023下·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图1，已知直线AMBG，点C为射线BG上一动点，过点C作CDAB交AM于点D，点E在线段AB上，∠DCE＝90°，点F在线段AD上，∠FCG＝90°，点H在线段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°．
(1)写出一个与∠ADC相等的角 （写一个即可）；
(2)如图2，求∠BCD的度数；
(3)若点F是直线AM上的一点，点H是直线BG上的一点，在点C的运动过程中（点C不与点B、H重合），求∠BAF的度数．
【答案】(1)∠DCG
(2)120°
(3)60°或120°
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得；
（2）根据、可得，从而得到；
（3）先计算出，根据得，再根据点F在线段AD上和线段AD的左侧两种情况分别计算出的度数．
【详解】（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵∠ECF＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝30°，
又∵∠BCF＝∠FCG＝90°，
∴∠BCD＝30°+90°＝120°；
（3）如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，
∵∠DCE=90°，∠ECF=60°，
∴∠FCD=30°，
∵∠FCG=90°，
∴∠DCG=60°，
∵ADBC，
∴∠BAF＝∠ABC＝60°；
如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，
∵∠ABC＝60°，ADBC，
∴∠BAF＝180°﹣60°＝120°．
综上所述，∠BAF的度数为60°或120°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行，同旁内角互补．
【变式8-2】（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知，M，N分别是直线AB，CD上一点，点E在直线AB，CD之间．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，F是EM上一点，NE平分，FH平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论；
(3)如图3，P为直线MN上一动点（不与点N重合），过点P作交直线CD于点G，∠PNG的角平分线和∠PGC的角平分线交于点O，则∠O的度数为______（直接写出结果）．
【答案】(1)证明见解析
(2)2∠NHF=180°+∠BME，理由见解析
(3)45°或135°
【分析】（1）如图所示，过点E作，利用平行线的性质得到∠MEF=∠BME，∠NEF=∠DNE，即可证明结论；
（2）如图所示，过点F作，过点H作，同（1）可证∠MFG=∠BME，∠PHN=∠DNE，∠GFN=∠DNF，∠GFH+∠PHF=180°，再根据角平分线的定义得到∠NFE=2∠NFH，∠DNF=2∠DNE，在分别推出，
，即可得到答案；
（3）分点P在点N上方和点P在点N下方，利用平行线的性质与角平分线的定义分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴∠MEF=∠BME，∠NEF=∠DNE，
∴∠BME+∠DME=∠MEF+∠NEF=∠MEN；
（2）解：解：2∠NHF=180°+∠BME，理由如下：
如图所示，过点F作，过点H作，
同（1）可知，
∴∠MFG=∠BME，∠PHN=∠DNE，∠GFN=∠DNF，∠GFH+∠PHF=180°，
∴∠MFN=∠BME+∠DNF，
∵FN平分∠NFE，NE平分∠DNF，
∴∠NFE=2∠NFH，∠DNF=2∠DNE，
∴∠NFE=2∠NFH=180°-∠MFN=180°-∠BME-2∠DNE，
∴，
∵∠GFH+∠PHF=180°，
∴∠GFN+∠NFH+∠PHF=180°，
∴2∠DNE+∠NFH+∠PHF=180°，
∴，
∴，
∴2∠NHF=180°+∠BME；
（3）解：如图1所示，当点P在点N上方时，过点O作，
∴∠KOG=∠∠NGO，∠LON=∠GNO，
∴∠OGN+∠ONG+∠GNO=∠KOG+∠LON+∠GON=180°，
∵∠OGC+∠OGN=180°，
∴∠OGC=∠GON+∠ONG，
同理可证∠OGC=∠GPN+∠PNG，
∵OG平分∠PGC，ON平分∠PNG，
∴∠PNG=2∠ONG，∠PGC=2∠OGC，
∴2∠OGC=∠GPN+2∠ONG，
∵PG⊥MN，
∴∠GPN=90°，
∴∠OGC=45°+∠ONG，
∴∠GON=∠OGC-∠ONG=45°；
如图2所示，当点P在点N下方时，同上可证∠NPG+∠PNG+∠PGN=180°，∠O+∠ONG+∠OGN=180°，∠NPG=90°，
∴∠PNG+∠PGN=90°，
∵NO平分∠PNG，GO平分∠PDN，
∴∠PNG=2∠ONG，∠PGN=2∠OGN，
∴∠ONG+∠OGN=45°，
∴∠O=135°，
综上所述，∠O的度数为45°或135°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．
【变式8-3】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分．
(1)如图，当点在右侧时，求证：；
(2)如图，当点在左侧时，求证：；
(3)如图，在的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数是多少．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）通过证明∠DBF=∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；
（3）设∠BDM=∠MDG=α，则∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α，∠PDE=180°-4α，∠PDM=180°-α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠DBF-∠DNG=∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B=180°-4α，结论可求．
【详解】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点作，交于点，如图，
由（1）可知：，
，
，，
，
；
（3）解：设，
则，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，利用平行线的性质和角平分线的定义得出角度的关系式是解题的关键．
【题型9 与角平分线有关的三角形角的计算问题】
【例9】（2023春·江苏苏州·八年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
(1)若∠A=60°，则∠BDC的度数为_________；
(2)若∠A=α，直线MN经过点D．
①如图2，若MN∥AB，求∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；
②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC−∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由；
③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)120°
(2)①90°-α2 ②不变，90°-α2 ③∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90∘−α2．
【分析】（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，分步计算即可．
（2）①利用平角的定义，变形代入计算，注意与第（1）的结合．
②与 ①结合起来求解即可．
③根据平角的定义，变形后结合前面的计算，求解即可．
【详解】（1）∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD=12∠ACB，
∴∠CBD+∠BCD=12∠ACB+12∠ABC=12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴180°-∠BDC=12(180∘−∠A)，
∴∠BDC=90∘+∠A2，
∵∠A=60°，
∴∠BDC=90∘+30∘=120°，
故答案为：120°．
（2）①∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴∠NDC−∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（90∘+∠A2）
=90∘−α2．
②∠NDC−∠MDB保持不变，恒等于90°-α2．理由如下：
∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴∠NDC−∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（90∘+∠A2）
=90∘−α2．
故保持不变，且为90∘−α2．
③∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90∘−α2．理由如下：
∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，
∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC，
∵∠BDC=90∘+α2，
∴∠NDC+∠MDB=180°-（90∘+α2）=90∘−α2．
【点睛】本题考查了角的平分线的定义，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握三角形内角和定理，平角的定义是解题的关键．
【变式9-1】（2023秋·河南漯河·八年级校考期中）（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；
（2）如果图2中，∠D=40°,∠B=36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的角平分线，试求∠P的度数；
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
【答案】（1）∠A+∠D =∠C+∠B
（2）∠P=38°
（3）∠D+∠B=2∠P
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和对顶角相等就可以得出∠A，∠D，∠C，∠B的数量关系；
（2）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得∠D+∠B=2∠P，再把∠D=40°，∠B=36°代入计算即可得到答案；
（3）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得∠D+∠B=2∠P.
【详解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
且∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D =∠C+∠B；
（2）由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，
∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
∴∠D+∠B=2∠P，
又∵∠D=40°，∠B=36°，
∴40°+36°=2∠P，
∴∠P=38°；
（3）存在的数量关系为：∠D+∠B=2∠P，
由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，
∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
∴∠D+∠B=2∠P.
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理以及角平分线的性质是解题的关键.
【变式9-2】（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)．
(1)如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO=BO时∠AEB= °；
(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．
【答案】(1)135°
(2)∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，值为45°
(3)60°或45°
【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；
（2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出∠EAF=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．
【详解】（1）解：∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，
∴∠EBA=12∠OBA，∠BAE=12∠BAO，
∵∠MON=90°，
∴∠EAB+EBA=90°，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，
∴∠AEB=180°−∠EBA−∠BAE，
=180°−12∠OBA+∠BAO，
=180°−12×90°，
=180°−45°，
=135°；
（2）解： ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；
（3）解：∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE=135°，
∴∠E=180°−∠EAO−∠AOE，
=45°−∠EAO，
=45°−12∠BAO，
=45°−12(180°−90°−∠ABO)，
=12∠ABO
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴∠EAF=12∠BAO+12∠GAO=12×180°=90°，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°；
②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°，
此时∠ABO=120°＞90°，舍去；
③当∠F=3∠E时，得∠E=14×90°=22.5°，
此时∠ABO=45°；．
④当∠E=3∠F时，得∠E=34×90°=67.5°，
此时∠ABO=135°＞90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．
【点睛】前两问熟练运用三角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明∠EAF=90°，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键．
【变式9-3】（2023秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
(1)若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
①若∠BAO=60°，则∠D=______°；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．
(2)如图2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35∠NBA，则∠D=______°；
(3)若将∠MON=90°改为∠MON=120°（如图3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余条件不变，则∠D=______（用含m，n的代数式表示，其中m【答案】(1)①45；②不随A，B的移动发生变化，理由见解析
(2)36
(3)120°n−mn
【分析】（1）①先利用角平分线的定义求出∠BAD，利用三角形内角和定理可得∠ABO，即可得到∠NBA，利用角平分线的定义可得∠ABC，即可求解；
②设∠BAO=α，证明过程与①类似；
（2）设∠BAO=5β，解题过程与（1）类似；
（3）与（1）（2）类似，设出∠BAO的度数，再进行推导即可．
【详解】（1）解：①∵∠BAO=60°，AD平分∠BAO，
∴∠BAD=30°，
∵∠MON=90°，
∴∠ABO=30°，
∴∠ABN=180°−∠ABO=150°，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠ABC=75°，
∴∠ABD=105°，
∵∠ABD+∠BAD+∠D=180°，
∴∠D=45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A，B的移动发生变化，理由如下：
设∠BAO=2α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAD=α，
∵∠MON=90°，
∴∠ABO=90°−2α，
∴∠ABN=180°−∠ABO=90°+2α，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠ABC=45°+α，
∴∠ABD=135°−α，
∵∠ABD+∠BAD+∠D=180°，
∴∠D=45°，
∴∠D的度数不随A，B的移动发生变化；
（2）解：设∠BAO=5β，
∵∠OAD=35∠OAB，
∴∠BAD=25∠OAB，
∴∠BAD=2β，
∵∠MON=90°，
∴∠ABO=90°−5β，
∴∠ABN=180°−∠ABO=90°+5β，
∵∠NBC=35∠NBA，
∴∠ABC=25∠NBA，
∴∠ABC=36°+2β，
∴∠ABD=144°−2β，
∵∠ABD+∠BAD+∠D=180°，
∴∠D=36°，
故答案为：36；
（3）解：设∠BAO=n，
∵∠OAD=mn∠OAB，
∴∠BAD=n−mn∠OAB，
∴∠BAD=n−m，
∵∠MON=120°，
∴∠ABO=60°−n，
∴∠ABN=180°−∠ABO=120°+n，
∵∠NBC=mn∠NBA，
∴∠ABC=n−mn∠NBA，
∴∠ABC=n−mn120°+n，
∴∠ABD=180°−n−mn120°+n，
∵∠ABD+∠BAD+∠D=180°，
∴∠D=120°n−mn，
故答案为：120°n−mn．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，列代数式，角的计算等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．
【题型10 与平行线有关的三角形角的计算问题】
【例10】（2023春·辽宁盘锦·八年级统考期末）（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度数；
（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，∠AMP的角平分线与∠CNP的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为多少？请说明理由；
（3）问题拓展：如图3，AB∥CD，点P在射线OM上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记∠PAB=α，∠PCD=β，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．
【答案】（1）100°；（2）50°，理由见解析；（3）当点P在BD上时，∠APC=α+β；当点P在BD延长线上时，∠APC=α−β；当点P在DB延长线上时，∠APC=β−α．
【分析】（1）过点P作PO∥AB，将∠MPN分成∠MPO和∠NPO两部分，然后根据平行线的性质将两部分的度数相加即可；
（2）分别过点P和点F作PO∥AB，EF∥AB，由（1）知∠AMP+∠CNP的度数，根据角平分线的定义求出∠AMF+∠CNF的度数，然后同第一问用平行线的性质即可求出∠MFN的度数；
（3）分三种情况讨论，根据平行线的性质和“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”以及等量代换即可得到答案．
【详解】解：（1）过点P作PO∥AB，
如图，∵AB∥CD，
∴PO∥AB∥CD，
∴∠MPO=∠AMP，∠OPN=∠CNP，
∵∠PMB=140°，∠PND=120°，
∴∠MPO=∠AMP=180°−∠PMB=180°−140°=40°，
∠OPN=∠CNP=180°−∠PND=180°−120°=60°，
∴∠MPN=∠MPO+∠OPN=40°+60°=100°．
（2）分别过点P和点F作PO∥AB，EF∥AB，
如图，∵AB∥CD，
∴PO∥EF∥AB∥CD，
∴∠AMP=∠MPO，∠CNP=∠OPN，∠MFE＝∠AMF，∠EFN=∠CNF，
由（1）得∠AMP+∠CNP=100°，
∵∠AMP的角平分线与∠CNP的角平分线交于点F，
∴∠AMF=12∠AMP，∠CNF=12∠CNP，
∴∠AMF+∠CNF=12∠AMP+12∠CNP=12(∠AMP+∠CNP)=50°，
∴∠MFN=∠MFE+∠EFN=∠AMF+∠CNF=50°．
（3）当点P在BD上时，如原题图3，和（1）同理可得：∠APC=α+β；
当点P在BD延长线上时，如图所示，AP交CD于点E，
∵AB∥CD，
∴α=∠DEP，
又∵∠DEP=β+∠APC，
∠APC=α−β；
当点P在DB延长线上时，如图所示，CP交AB于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BFP=β，
又∵∠BFP=α+∠APC，
∴∠APC=β−α．
综上所述，当点P在BD上时，∠APC=α+β；当点P在BD延长线上时，∠APC=α−β；当点P在DB延长线上时，∠APC=β−α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，还考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理的推论；解题的关键是：（1）正确作出辅助线，并灵活使用平行线的性质；（2）正确作出两条平行辅助线，并能灵活使用角平分线的定义和平行线的性质；（3）能用分类讨论的数学思想．
【变式10-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，AB∥CD，点P在直线AB上，作∠BPM=50°，交CD于点M，点F是直线CD上的一个动点，连接PF，PE⊥CD于点E，PN平分∠MPF．

(1)若点F在点E左侧且∠PFM=32°，求∠NPE的度数；
(2)当点F在线段EM（不与点M，E重合）上时，设∠PFM=α°，直接写出∠NPE的度数（用含α的代数式表示）；
(3)将射线PF从（1）中的位置开始以每秒10°的速度绕点P逆时针旋转至PM的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，△FPM为直角三角形．
【答案】(1)9°
(2)α−502°
(3)t为45秒或295秒
【分析】（1）平行线的性质得到∠PMF=∠BPM=50°，三角形内角和，得到∠MPF=98°，角平分线得到∠NPM=12∠MPF=49°，垂直得到∠PEM=90°，进而求出∠EPM的度数，利用∠NPE=∠NPM−∠EPM，进行求解即可；
（2）根据题意，画出图形，同法（1）求出∠NPM，∠EPM的度数，利用∠NPE=∠EPM−∠NPM，进行求解即可；
（3）分∠FPM=90°和∠PFM=90°，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解： ∵AB∥CD，
∴∠PMF=∠BPM=50°．
在△MPF中，∠PFM=32°，
∴∠MPF=180°−50°−32°=98°．
∵PN平分∠MPF，
∴∠NPM=12∠MPF=49°．
∵PE⊥CD，
∴∠PEM=90°，
∴∠EPM=90°−50°=40°，
∴∠NPE=∠NPM−∠EPM=49°−40°=9°．
（2）解：如图，

∵AB∥CD，
∴∠PMF=∠BPM=50°．
在△MPF中，∠PFM=α°，
∴∠MPF=180°−50°−α=130°−α°．
∵PN平分∠MPF，
∴∠NPM=12∠MPF=65°−12α．
∵PE⊥CD，
∴∠PEM=90°，
∴∠EPM=90°−50°=40°，
∴∠NPE=∠EPM−∠NPM=40°−65°+12α°=α−502°．
（3）∵∠PMF=50°，
∴当△FPM为直角三角形时，存在两种情况：
情况一：当∠FPM=90°时，
∵初始状态时∠FPM=98°，
∴旋转过的度数为98°−90°=8°．
∴转动的时间为810=45（秒）．
情况二：当∠PFM=90°时，∠FPM=40°．
∵初始状态时∠FPM=98°，
∴旋转过的度数为98°−40°=58°．
∴转动的时间为5810=295（秒）．
综上：当t为45秒或295秒时，△FPM为直角三角形．
【点睛】本题考查平行线的性质，与角平分线和高线有关的三角形的内角和．解题的关键时熟练掌握相关性质和定义，利用数形结合的思想进行求解．
【变式10-2】（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．
（1）求∠BPD的度数（用含α的式子表示）；
（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．
【答案】（1）∠BPD=2α；（2）画图见解析，EF⊥PD，证明见解析；（3）45°−α2或45°−32α
【分析】（1）根据平行线的传递性推出PG//AB//CD，再利用平行线的性质进行求解；
（2）猜测EF⊥PD，根据PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，推导出∠BPD=∠DPQ=2α，再根据DE//PQ、EF平分∠DEP，通过等量代换求解；
（3）分两种情况进行讨论，即当∠PEF:∠DEF=1:3与∠DEF:∠PEF=1:3，充分利用平行线的性质、角平分线的性质、等量代换的思想进行求解．
【详解】（1）过点P作PG//AB，
∵AB//CD,PG//AB，
∴PG//AB//CD，
∴∠BPG=∠ABP=α,∠DPG=∠PDQ=α，
∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=2α．
（2）根据题意，补全图形如下：
猜测EF⊥PD，
由（1）可知：∠BPD=2α，
∵PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，
∴∠BPD=∠DPQ=2α，
∵DE//PQ，
∴∠EDP=∠DPQ=2α，
∴∠DEP=180°−∠BPD−∠EDP=180°−4α，
又EF平分∠DEP，
∠PEF=12∠DEP=90°−2α，
∴∠EFD=180°−∠PEF−∠BPD=90°，
∴EF⊥PD．
（3）①如图1，
∠PEF:∠DEF=1:3，
由（2）可知：∠EPD=∠DPQ=∠EDP=2α,∠DEP=180°−4α，
∵∠PEF:∠DEF=1:3，
∴∠PEF=14∠DEP=45°−α，
∠DEF=34∠DEP=135°−3α，
∵DE//PQ，
∴∠DEQ=∠PQE，
∠EDQ+∠PQD=180°，
∵∠EDP=2α,∠PDQ=α，
∴∠EDQ=∠EDP+∠PDQ=3α，
∠PQD=180°−∠EDQ=180°−3α，
又EQ平分∠PQD，
∴∠PQE=∠DQE=∠DEQ=12∠PQD=90°−32α，
∴∠FEQ=∠DEF−∠DEQ=135°−3α−(90°−32α)=45°−32α；
②如图2，
∠DEP=180°−4α，∠PQD=180°−3α（同①）；
若∠DEF:∠PEF=1:3，
则有∠DEF=14∠DEP=14×(180°−4α)=45°−α，
又∠PQE=∠DQE=12∠PQD=12×(180°−3α)=90°−32α，
∵DE//PQ，
∴∠DEQ=∠PQE=90°−32α，
∴∠FEQ=∠DEQ−∠DEF=45°−12α，
综上所述：∠FEQ=45°−32α或45°−α2，
故答案是：45°−α2或45°−32α．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点，解题的关键是掌握相关知识点，作出适当的辅助线，通过分类讨论及等量代换进行求解．
【变式10-3】（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期中）已知MN∥PQ，点D是直线PQ上一定点．
(1)如图1，现有一块含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），将其点A固定在直线MN上，并按图1位置摆放，使∠MAC=30°，点B恰好落在射线DE上，此时，∠PDE=20°，求∠ABD的度数；
(2)现将射线DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，转到与DQ重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当DE与三角板的一边平行时，求t的值；
(3)若将射线DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，同时，将三角板ABC也从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，∠MAC的角平分线AH与∠PDE的角平分线DF交于点O．
①如图2，当DF∥BC时，∠AOD=________度；
②如图3，当DF∥BA时，∠AOD=________度．
【答案】(1)80°
(2)5或50或65
(3)①37 ②91
【分析】（1）过点B作BK∥MN，利用平行线的性质求解即可；
（2）依题意可知：∠PDE=(20+2t)°，分三种情况讨论即可；
（3）依题意可知：∠PDE=(20+2t)°，∠MAC=(30+4t)°，利用角平分线和第一问的关系可得∠AOD=∠MAO+∠PDO=25+3t；
①当DF∥BC时，延长AB于DF于G，利用∠AOD+∠GAO+∠OGA=180°列方程计算即可；
②当DF∥BA时，延长AC于DF于G，利用∠AOD+∠GAO+∠OGA=180°列方程计算即可．
【详解】（1）如图1，过点B作BK∥MN，
图1
∴∠ABK=∠MAB．
∵PQ∥MN，
∴BK∥PQ，
∴∠KBD=∠PDE．
∵∠PDE=20°，
∴∠KBD=20°，
∵∠MAC=30°，∠CAB=30°，
∴∠MAB=∠MAC+∠CAB=60°，
∴∠ABK=60°，
∴∠ABD=∠ABK+∠KBD=80°．
（2）依题意可知：∠PDE=(20+2t)°，分以下三种情况讨论：
①如图4，当DE∥BC时，DE与AB交于点R，
∵DE∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BRD=∠ABC=90°，
∴∠ARD=180°−∠BRD=90°，
∵∠MAB=60°，
∴∠PDE=∠ARD−∠MAB=30°，
∴20+2t=30，解得t=5．
②如图5，当DE∥AB时，DE与MN交于点S，
∵DE∥AB，∠MAB=60°，
∴∠DSM=∠MAB=60°，
∵MN∥PQ，
∴∠PDE+∠DSM=180°，
∴∠PDE=180°−∠DSM=120°，
∴20+2t=120，解得t=50．
③如图6，当DE∥AC时，DE与MN交于点T，
∵DE∥AC，∠MAC=30°，
∴∠MTD=∠MAC=30°，
∵MN∥PQ，
∴∠MTD+∠PDE=180°，
∴∠PDE=180°−∠MTD=150°，
∴20+2t=150，解得t=65．
综上所述：t的值为5或50或65．
（3）依题意可知：∠PDE=(20+2t)°，∠MAC=(30+4t)°，
∵∠MAC的角平分线AH与∠PDE的角平分线DF交于点O，
∴∠PDO=12∠PDE=10+t，∠MAO=∠OAC=12∠MAC=15+2t，
由（1）的模型可得∠AOD=∠MAO+∠PDO=25+3t，
①当DF∥BC时，延长AB于DF于G，
∴∠ABC=∠OGA=90°，∠OAG=∠OAC+∠BAC=45+2t
∵∠AOD+∠GAO+∠OGA=180°，
∴25+3t+90+45+2t=180，
解得t=4，
∠AOD=∠MAO+∠PDO=25+3t=37°，
故答案为：37；
②当DF∥BA时，延长AC于DF于G，
∴∠BAC=∠OGA=30°，∠OAG=∠OAC=15+2t
∵∠AOD+∠GAO+∠OGA=180°，
∴25+3t+30+15+2t=180，
解得t=22，
∠AOD=∠MAO+∠PDO=25+3t=91°，
故答案为：91；
【点睛】本题考查作图-平移变换，平行线的判定和性质，三角形的内角和等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【题型11 与折叠有关的三角形角的计算问题】
【例11】（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．
(1)如图1，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．
(2)当∠A′EB′=13∠B′EB时，设∠A′EB′=x．
①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．
②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)∠FEG=90°，理由见解析
(2)①当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=90°+x2；当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=90°−x2；②EB′可能平分∠FEG，当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=108°；
当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=(5407)°．
【分析】（1）由折叠的性质结合平角的性质即可求解；
（2）①分当点B′落在∠A′EG内部和点B′落在∠A′EF内部时两种情况讨论求解即可；
②分点B′落在∠A′EG内部和点B′落在∠A′EF内部时两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∠FEG=90°．
由折叠可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG．
又∵∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG=180°，
∴∠A′EF+∠B′EG=90°，∠FEG=90°；
（2）解：由折叠可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG．
①（i）如图，当点B′落在∠A′EG内部时，
∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=13∠B′EB，
∴∠B′EB=3x．
∴∠AEA′=180°−∠A′EB=180°−(∠B′EB+∠A′EB′)=180°−4x，
∴∠BEG=12∠BEB′=3x2，∠AEF=12∠AEA′=90°−2x，
∴∠FEG=180°−∠BEG−∠AEF=90°+x2．
（ⅱ）如图2，当点B′落在∠A′EF内部时，
∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=13∠B′EB，
∴∠B′EB=3x，
∴∠AEA′=180°−∠A′EB=180°−(∠B′EB−∠A′EB′)=180°−2x，
∴∠BEG=12∠BEB′=3x2，∠AEF=12∠AEA′=90°−x．
∴∠FEG=180°−∠BEG−∠AEF=90°−x2．
综上所述，当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=90°+x2；
当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=90°−x2．
②EB′可能平分∠FEG，理由如下：
（i）当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=90°+x2．
∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG=12∠FEG=45°+x4．
又∵∠B′EG=12∠BEB′=3x2，
∴45°+x4=3x2，解得x=36°．
此时∠FEG=90°+x2=108°．
（ⅱ）当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=90°−x2．
∵EB′平分∠FEG，
∴∠B′EG=12∠FEG=45°−x4．
又∵∠B′EG=12∠BEB′=3x2，
∴45°−x4=3x2，
解得x=(1807)°．
此时∠FEG=90°−x2=(5407)°．
综上所述，当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=108°；
当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=(5407)°．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．
【变式11-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）（1）如图1，将一张三角形纸片ABC沿着AD折叠，使点C落在边AB上的C处，若∠CAB=70°，则∠CAD= ______°；
（2）如图2，将一张三角形纸片ABC沿着DE折叠(点D，E分别在边AB和AC上)，并使得点A和点A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2= ______°；
（3）如图3，将长方形纸片沿着BC和BD折叠成如图所示的形状，BE和BI重合，
①∠CBD的度数是多少？请说明理由；
②如果∠IBD=58°17′，求∠ABC的度数．
【答案】（1）35°；（2）140°；（3）①90°；②31°43'
【分析】（1）利用对折性质可知AD是∠CAB角平分线，由此即可求解；
（2）根据三角形的内角和可知∠AED+∠ADE=180°−∠A，根据折叠可知∠AEA′+∠ADA′的度数，利用两个平角和等于360°，由此即可求解；；
（3）①根据折叠可得∠IBD=∠FBD，∠ABC=∠EBC，且∠IBD+∠FBD+∠ABC+∠EBC=180°，代入计算即可；
②∠ABC=12∠ABE=12180°−∠IBF=12180°−2∠IBD，代入计算即可．
【详解】解：（1）由对折性质可知，AD是∠CAB角平分线，
∴∠CAD=12∠CAB=12×70°=35°，
故答案为：35°．
（2）在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∠A=70°，
∴∠AED+∠ADE=180°−∠A=180°−70°=110°，
根据折叠的性质得，∠A′ED+∠A′DE=110°，
∴∠AEA′+∠ADA′=110°+110°=220°，
∵∠AEA′+∠1+∠ADA′+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°−220°=140°，
故答案为：140°．
（3）①由折叠的性质可知：∠IBD=∠FBD，∠ABC=∠EBC，且∠IBD+∠FBD+∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=12×180°=90°，
②根据折叠的性质及上述知识可知，
∠ABC=12∠ABE
=12180°−∠IBF
=12180°−2∠IBD
=12180°−2×58°17'
=31°43'．
【点睛】本题考查折叠问题中角的计算问题，掌握翻折的性质是本题的关键．
【变式11-2】（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．
(1)如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC′=58°，则∠C=______，可以发现∠ADC′与∠C的数量关系是 ；
(2)如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC′=42°，∠ADC′=20°，求∠C的度数；
(3)如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC′的度数为x，∠ADC'的度数为y，请求出∠C与x，y之间的数量关系．
【答案】(1)29°，∠ADC′=2∠C
(2)31°
(3)∠C=12x−12y
【分析】（1）根据邻补角得出∠CDC′，根据折叠的性质得出∠CDE=∠C′DE=12∠CDC′，∠DEC=∠DEC′=90°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）方法一：根据平角的定义得出∠CEC′，∠CDC′，根据折叠的性质得出∠EDC，∠DEC，然后根据三角形内角和定理即可求解．
方法二：根据（1）的结论得出∠DCC′=10°，∠C′CE=21°，进而即可求解；
（3）方法一：根据（2）的方法一进行计算即可求解；
方法二：根据（2）的方法二，即可求解．
【详解】（1）∵∠ADC′=58°，
∴∠CDC′=180°−∠ADC′=122°，
由折叠得：∠CDE=∠C′DE=12∠CDC′=61°，
∠DEC=∠DEC′=12×180°=90°，
∴∠C=180°−∠EDC−∠DEC=29°，
设∵∠ADC′=α，
∴∠CDC′=180°−∠ADC′=180°−α，
由折叠得：∠CDE=∠C′DE=12∠CDC′=90°−12α，
∠DEC=∠DEC′=12×180°=90°，
∴∠C=180°−∠EDC−∠DEC=90°−90°−12α，
∴∠ADC′=2∠C；
故答案为：29°，∠ADC′=2∠C；
（2）∵∠BEC′=42°，∠ADC′=20°，
∴∠CEC′=180°−∠BEC′=138°，∠CDC′=180°−∠ADC′=160°，
由折叠得：∠CDE=∠C′DE=12∠CDC′=80°，∠DEC=∠DEC′=12∠CEC′=69°，
∴∠C=180°−∠EDC−∠DEC=31°，
方法二：连接CC′
由①结论可知：∠ADC′=2∠DCC′=20°，
∴∠DCC′=10°
同理，由①结论可知：∠BEC′=2∠C′CE=42°，
∴∠C′CE=21°
∴∠ACB=∠DCC′+∠C′CE=10°+21°=31°．
（3）∵∠BEC′=x，∠ADC′=y，
∴∠CEC′=180°−x，∠EDC'+∠EDC=180°+∠ADC'=180°+y，
由折叠得：∠CDE=∠C′DE=12∠CDC′=90°+12y，
∠DEC=∠DEC′=12∠CEC′=90°−12x，
∴∠C=180°−∠EDC−∠DEC=180°−90°+12y−90°−12x=12x−12y，
∴∠C与x，y之间的数量关系：∠C=12x−12y．
方法二：连接CC′，
由①结论可知：∠BEC′=2∠ECC′=x，
∴∠ECC′=12x
同理，由①结论可知：∠ADC′=2∠DCC′=y，
∴∠DCC′=12y
∴∠ACB=∠ECC′−∠DCC′=12x−12y．
【点睛】本题考查了三角形折叠问题，三角形内角和定理，掌握三角形的内角和定理与折叠的性质是解题的关键．
【变式11-3】（2023春·江苏·八年级统考期中）将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落A′的位置，折痕为DE．
(1)当点A落在四边形BCDE的外部A′的位置且A′与点C在直线AB的两侧．
①如图1，若∠C=90°，∠A=30°，求∠1−∠2的度数；
②如图2，请写出∠1、∠2和∠A的关系并证明；
(2)如图3，有一张三角形纸片ABC，∠A=30°，∠C=50°，若点E是AB边上的固定点（AE<12AB），请在AC上找一点D，将纸片沿DE折叠，DE为折痕点A落在A′处，使A′ D与三角形ABC的其中一边平行，求∠AED的度数．
【答案】(1)①60°；②∠1−∠2=2∠A
(2)∠AED= 75°或125°或35°
【分析】（1）①先求出∠B的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD的度数，由∠BFD=∠ A′ FE和∠ A′的度数可求出答案；
②同①的方法即可求解．
（2）分三种情况讨论，当A′D∥AB时，当A′D∥BC，A′在AC上方时，当A′D∥BC，A′在AC下方时，画出图形，根据平行线的性质以及三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）由折叠可知，∠A′=∠A=30°
在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE=180°
∴∠2=180°−∠A′−∠AFE=150°−∠A′FE
在△ABC中，∠B=180°−∠C−∠A=60°
在四边形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD=360°
∴∠1=360°−∠C−∠B−∠BFD=210°−∠BFD
∵ ∠BFD=∠A′FE
∴∠1−∠2=210°−150°=60°；
②由折叠可知，∠A′=∠A
在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE=180°
∴∠2=180°−∠A′−∠AFE=180°−∠A−∠AFE
在△ABC中，∠B=180°−∠C−∠A
在四边形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD=360°
∴∠1=360°−∠C−∠B−∠BFD
∵ ∠BFD=∠A′FE
∴∠1−∠2=360°−∠C−∠B−∠BFD−180°−∠A−∠AFE
=360°−∠C−∠B−∠BFD−180°+∠A+∠AFE；
=180°−∠C+∠B+∠A
=2∠A
（2）解：①当A′D∥AB时，如图所示，
∴∠BEA′=∠A′，
∵由折叠可知，∠A′=∠A =30°，∠AED=∠A′ED，
∵∠AED+∠A′ED+∠BEA′=180°，
∴∠AED=12180°−∠BEA′=12180°−30°=75°；
②当A′D∥BC，A′在AC上方时，如图所示，
∵∠C=50°,∠C+∠1=180°，
∴∠1=130°，
由（1）可得∠1−∠2=2∠A=60°，
∴∠2=70°，
由折叠可知， ∠AED=∠A′ED，
∴∠2+180°=2∠AED，
∴∠AED=125°；
③当A′D∥BC，A′在AC下方时，如图所示，，
则∠CDA′=∠C=50°，
∴∠AGE=∠A′+∠CDA′=30°+50°=80°，
∴∠AEG=180°−∠A−∠AGE=180°−30°−80°=70°，
由折叠可知， ∠AED=∠A′ED，
∴∠AED=12∠AEG=35°，
综上所述，∠AED= 75°或125°或35°．
【点睛】本题考查了四边形内角和公式，三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识，并能分类讨论是解题的关键．