中考数学一轮复习专题2.10 实数章末十二大题型总结（培优篇）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.10 实数章末十二大题型总结（培优篇）（北师大版）（解析版），共30页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20349" 【题型1 实数的概念辨析】 PAGEREF _Tc20349 \h 1
\l "_Tc24423" 【题型2 直接求平方根、立方根】 PAGEREF _Tc24423 \h 4
\l "_Tc21823" 【题型3 由平方根、立方根，求该数】 PAGEREF _Tc21823 \h 5
\l "_Tc29985" 【题型4 估算二次根式的取值范围】 PAGEREF _Tc29985 \h 7
\l "_Tc31402" 【题型5 利用平方根、立方根解方程】 PAGEREF _Tc31402 \h 9
\l "_Tc15926" 【题型6 由平方根、立方根求参数的值】 PAGEREF _Tc15926 \h 11
\l "_Tc11273" 【题型7 实数的大小比较】 PAGEREF _Tc11273 \h 14
\l "_Tc23131" 【题型8 实数与数轴综合运用】 PAGEREF _Tc23131 \h 17
\l "_Tc17520" 【题型9 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc17520 \h 20
\l "_Tc20929" 【题型10 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc20929 \h 23
\l "_Tc1808" 【题型11 利用二次根式的性质化简】 PAGEREF _Tc1808 \h 25
\l "_Tc20363" 【题型12 求二次根式中的参数值】 PAGEREF _Tc20363 \h 28
【题型1 实数的概念辨析】
【例1】（2023春·全国·八年级期中）把下列各数分别填入相应的集合里：38，π3，−32，−78，0，−，1.414，−7．
(1)有理数集合：{________________…}；
(2)负无理数集合：{______________…}；
(3)正实数集合：{________________…}．
【答案】(1)38，−78，0，−，1.414
(2)−32，−7
(3)38，π3，1.414
【分析】（1）根据有理数的定义，即可求解；
（2）根据负无理数的定义，即可求解；
（3）根据正实数的定义，即可求解．
【详解】（1）解：38=2，
有理数集合：{38，−78，0，−，1.414，……}；
故答案为：38，−78，0，−，1.414；
（2）解：负无理数集合：{−32，−7，……}；
故答案为：−32，−7；
（3）解：正实数集合：{38，π3，1.414，……}．
故答案为：38，π3，1.414．
【点睛】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数．
【变式1-1】（2023秋·河北承德·八年级校考期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣π2不仅是有理数，而且是分数；④237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【答案】B
【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．
【详解】解：①没有最小的整数，所以原说法错误；
②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；
③﹣π2是无理数，所以原说法错误；
④237是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误；
⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；
⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；
⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；
故其中错误的说法的个数为6个．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
【变式1-2】（2023春·全国·八年级期中）对于−3+5的叙述，下列说法中正确的是（ ）
A．它不能用数轴上的点表示出来B．它是一个无理数
C．它比0大D．它的相反数为3＋5
【答案】B
【分析】根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可．
【详解】A．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意；
B．−3+5是一个无理数，故该说法正确，符合题意；
C．−3+5<0，故该说法错误，不符合题意；
D．−3+5的相反数为3−5，故该说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查实数与数轴，实数的大小比较，无理数的定义，相反数的定义，牢记相关概念是解答本题的关键．
【变式1-3】（2023秋·浙江温州·八年级统考期中）小聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上分别填上一个适合的数．
【答案】见解析
【分析】根据实数的分类填写即可．
【详解】解：实数分为有理数与无理数，也可分为正实数，0，负实数，所以实数下横线填负数；
正数分为正有理数，正无理数，正数下的横线上填正有理数；
整数分为正整数，0，与负整数，整数下横线填0与负整数；
无理数分为正无理数，负无理数，无理数下横线填负无理数，
整数与正数公共部分填正整数，
无理数与正数公共部分填正无理数，
填数如下：
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．
【题型2 直接求平方根、立方根】
【例2】（2023春·四川广元·八年级校联考期中）下列式子正确的是（ ）
A．49=±7B．−32=−3C．−−52=5D．−3−5=35
【答案】D
【分析】分别根据算术平方根的性质、立方根的性质化简即可．
【详解】解：A、49=7，故该选项错误；
B、−32=3，故该选项错误；
C、−−52无意义 ，故该选项错误；
D、−3−5=35，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质、立方根的性质，熟记运算法则是关键．
【变式2-1】（2023春·广西河池·八年级统考期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．2的平方根是±4B．0的平方根是0
C．1的平方根是±1D．−1的立方根是−1
【答案】A
【分析】利用平方根和立方根的定义进行判断即可．
【详解】解：A.2的平方根是±2，则A符合题意；
B.0的平方根是0，则B不符合题意；
C.1的平方根是±1，则C不符合题意；
D.−1的立方根是−1，则D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查平方根和立方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）若x−4+5−y2=0，则x+y的平方根是 ．
【答案】±3
【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．
【详解】解：∵x−4+5−y2=0，
∴x−4=0，5−y=0，
∴x=4，y=5，
∴x+y=9，
∴xy的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点睛】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．
【变式2-3】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）已知64的立方根是m，m的平方根是n，求m+n的值．
【答案】m+n的值为6或2
【分析】由64的立方根是m，可得m=364=4，由m的平方根是n，可得n=±m=±2，然后计算求解即可．
【详解】解：∵64的立方根是m，
∴m=364=4，
∵m的平方根是n，
∴n=±m=±2，
∴当n=2，m+n=6；
当n=−2，m+n=2；
∴m+n的值为6或2．
【点睛】本题考查了立方根，平方根，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
【题型3 由平方根、立方根，求该数】
【例3】（2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为−8.69；x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，则（ ）
A．x=1100a,y=−1000bB．x=1100a,y=100b
C．x=100a,y=1100aD．x=11000a,y=−100b
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．
【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，
∴a=297.5625，b=-656.234909．
∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，
∴x=2.975625，y=656234.909，
∴x=1100a,y=−1000b．
故选：A．
【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．
【变式3-1】（2023春·福建南平·八年级统考期中）已知a的平方根为±3，a+b的算术平方根为2，求a−b的平方根．
【答案】±14
【分析】根据题意，先求得a和a+b的值，进而求得b的值，再代入求得a−b的平方根即可．
【详解】解：∵a的平方根为±3，
∴a=9，
∵ a+b的算术平方根为2，
∴ a+b=4，
∴ b=−5；
当a=9，b=−5时，a−b=14，
∴a−b的平方根为±14．
【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）某正数的两个平方根分别是a+3、2a−15，则这个正数为 ．
【答案】49
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可求出a的值，再根据平方根即可求出这个正数．
【详解】解：∵正数的两个平方根分别是a+3、2a−15，正数的两个平方根互为相反数，
∴a+3+2a−15=0，
解得：a=4，
∴a+3=4+3=7，
则这个正数为72=49，
故答案为：49．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，两个平方根互为相反数，是解答本题的关键．
【变式3-3】（2023春·云南普洱·八年级校考期中）已知a的平方根是±5，2b+4的立方根是2，3c=c．
（1）求a,b,c的值；
（2）求a+2b+c的算术平方根．
【答案】（1）a=5、b=2、c=1或c=0；（2）10或3．
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可确定a、b的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c；
（2）分c=0和c=1两张情况分别解答即可．
【详解】解：（1）∵a的平方根是±5，2b+4的立方根是2
∴a=5，2b+4=8，即b=2
∵3c=c
∴c=1或c=0
∴a=5、b=2、c=1或c=0；
（2）当c=1时，a+2b+c=5+2×2+1=10
当c=0时，a+2b+c=5+2×2+0=3；
∴a+2b+c的算术平方根为10或3．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c的值成为解答本题的关键．
【题型4 估算二次根式的取值范围】
【例4】（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9=18，
则大正方形的边长为：18，
∵16<18<4.52，
∴4＜18＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
【变式4-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）估计230−24⋅16的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】B
【详解】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.
【详解】230−24⋅16
=230×16−24×16，
=25−2，
而25=4×5=20，
4<20<5，
所以2<25−2<3，
所以估计230−24⋅16的值应在2和3之间，
故选B.
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.
【变式4-2】（2023春·新疆塔城·八年级统考期末）已知x是整数，当x−30取最小值时，x的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，找到与30最接近的整数，可得结论．
【详解】解：∵25<30<36，∴5<30<6，
且与30最接近的整数是5，∴当x−30取最小值时，x的值是5，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
【变式4-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）已知m2＜21，若m+2是整数，则m＝ ．
【答案】-1，2，-2.
【分析】根据题意可知m是整数，然后求出m的范围即可得出m的具体数值，然后根据m+2是整数即可求出答案．
【详解】解：∵m+2是整数，
∴m是整数，
∵m2＜21，
∴m2≤4，
∴-2≤m≤2，
∴m=-2，-1，0，1，2
当m=±2或-1时，m+2是整数，
故答案为：-1，2，-2
【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是根据条件求出m的范围，本题属于中等题型．
【题型5 利用平方根、立方根解方程】
【例5】（2023秋·江苏盐城·八年级校联考期中）求下列式子中的x
(1)2x−12=8
(2)3x−33+81=0
【答案】(1)x=3或x=−1
(2)x=0
【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可；
（2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：2x−12=8
(x−1)2=4，
x−1=±2，
x−1=2或x−1=−2，
x=3或x=−1；
（2）解：3(x+1)3+81=0，
(x−3)3=−27，
x−3=−3，
x=0．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键．
【变式5-1】（2023春·广西玉林·八年级统考期中）求下列各式中x的值．
(1)25−x2=0；
(2)(x+1)3=64．
【答案】(1)x=±5
(2)x=3
【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；
（2）根据立方根的定义解答即可．
【详解】（1）解：25−x2=0
移项，得：x2=25，
解得：x=±5；
（2）x+13=64
开立方得：x+1=4，
解得：x=3．
【点睛】本题考查了用平方根，立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键．
【变式5-2】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）求x的值：
(1)25x2−36=0
(2)(x+1)3−3=38
【答案】(1)x=65或x=−65
(2)x=12
【分析】（1）先把方程化为x2=3625,再利用平方根的含义解方程即可；
（2）先把方程化为(x+1)3=278，再利用立方根的含义解方程即可．
(1)
解：25x2−36=0
∴x2=3625,
解得：x=±65，即x=65或x=−65
(2)
解：(x+1)3−3=38
移项得：(x+1)3=278
∴x+1=32
解得：x=12
【点睛】本题考查的是利用平方根的含义，立方根的含义解方程，掌握“平方根与立方根的含义”是解本题的关键．
【变式5-3】（2023秋·江苏·八年级期中）解方程：32(x−1)2=327．
【答案】x=1±2
【分析】先根据立方根的定义得出32(x−1)2=3，再两边都乘以23，继而根据平方根的定义计算即可．
【详解】解：∵32(x−1)2=327，
∴32(x−1)2=3，
∴x−12=2，则x−1=±2，
∴x=1±2．
【点睛】本题主要考查立方根、平方根、等式的基本性质等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键．
【题型6 由平方根、立方根求参数的值】
【例6】（2023春·重庆彭水·八年级统考期中）已知a−4的立方根是1，3a−b−2的算术平方根是3，13的整数部分是c．
(1)求a，b，c的值．
(2)求2a−3b+c的平方根．
【答案】(1)a=5，b=4，c=3
(2)±1
【分析】根据立方根、算术平方根的概念可得a−4、3a−b−2的值，进而可得a、b的值，接着估计13的大小，可得c的值，进而可得2a−3b+c，再根据平方根的求法可得答案．
【详解】（1）解：∵a−4的立方根是1，3a−b−2的算术平方根是3，
∴a−4=1，3a−b−2=9，
解得：a=5，b=4；
∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴c=3．
（2）解：由（1）得：2a−3b+c=10−12+3=1；
故2a−3b+c的平方根为±1．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，求一个数的平方根，灵活运用。“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
【变式6-1】（2023春·甘肃庆阳·八年级校考期中）已知A=a−1a+3b是a＋3b的算术平方根，B=2a−b−11−a2是1－a2的立方根，求A＋B的立方根．
【答案】A＋B的立方根是1
【分析】根据算术平方根和立方根的意义，可列方程组，然后求解即可得到a、b的值，然后代入求解即可.
【详解】解：由题意得:a−1=22a−b−1=3，
解得：a=3b=2，
∴A=9=3，
B=3−8=−2，
∴3A+B=31=1．
【变式6-2】（2023秋·陕西咸阳·八年级统考期中）已知a−1的算术平方根是2，4a+b−3的立方根是3，c是15的整数部分，求ac+b的平方根．
【答案】±5
【分析】根据算术平方根和立方根的定义，求得a、b的值，再根据二次根式的估算，求得c的值，最后求得ac+b的值，进而求得ac+b的平方根．
【详解】解：∵a−1的算术平方根是2，4a+b−3的立方根是3，
∴a−1=4，4a+b−3=27，
解得a=5，b=10．
∵9<15<16，
∴3<15<4，
∴15的整数部分是3，
即c=3，
∴ac+b=5×3+10=25，
∴ac+b的平方根为：±25=±5．
∴ac+b的平方根是±5．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、二次根式的估算、平方根等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是15的整数部分，d是15的小数部分．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)求3a−b+c的平方根．
【答案】(1)a=5，b=2，c=3，d=15−3
(2)±4
【分析】（1）根据立方根，算术平方根的定义求a，b的值，估算无理数的大小得到c，d的值；
（2）求出代数式的值，再求平方根即可．
（1）
解：∵5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，
∴5a+2=27，3a+b−1=16，
∴a=5，b=2，
∵9<15<16，
∴3<15<4，
∴c=3，d=15−3；
（2）
当a=5，b=2，c=3时，
3a−b+c
=3×5−2+3
=15−2+3
=16，
16的平方根为±4，
答：3a−b+c的平方根为±4．
【点睛】本题考查了平方根，立方根，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【题型7 实数的大小比较】
【例7】（2023春·全国·八年级期末）已知a=2022−2021，b=2021−2020，c=2020−2019，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a【答案】A
【分析】先把a,b,c化为12022+2021, 12021+2020, 12020+2019,再结合2022+2021>2021+2020>2020+2019,从而可得答案．
【详解】解：∵a=2022−2021=12022+2021,，
b=2021−2020=12021+2020,，
c=2020−2019=12020+2019,，
而2022+2021>2021+2020>2020+2019,
∴a故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．
【变式7-1】（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比为5−12，下列各数中最接近于5−12的是（ ）
A．25B．12C．35D．34
【答案】C
【分析】先把5−12化成小数约为0.618，再把每一个选项化成小数，通过比较大小即可解答．
【详解】解：∵5−12≈0.618
∵25=0.4， 12=0.5，35=0.6，34=0.75
∴0.4<0.5<0.6<0.618<0.75，
而0.618−0.6=0.018，0.75−0.618=0.133，
∵0.133>0.018
∴0.6更接近0.75，
即35更接近5−12，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数大小比较，估算无理数的大小，准确熟练地估算无理数的大小是解题的关键．
【变式7-2】（2023秋·陕西西安·八年级校考期中）比较下列各组数的大小：−2 1.4；27 5；5 311；5−12 12；
【答案】 < > > >
【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：−2<0<1.4；
∵7>6.25，
∴7>2.5，
∴27>5；
∵11<11.089567，
∴311<2.23，
∵5>4.9729，
∴5>2.23，
∴5>2.23>311；
∵5>4，
∴5>2，
∴5−1>1，
∴5−12>12；
故答案为：<；>；>；>．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：a−b>0，则a>ba−b=0，则a=ba−b<0，则a例如：比较19−2与2的大小．
∵19−2−2=19−4 又∵16<19<25 则4<19<5
∴19−2−2=19−4>0，∴19−2>2．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)29的整数部分是________，7−29的小数部分是_______；
(2)比较2−23与−3的大小．
(3)已知a+ba−b=a2−b2，试用“比差法”比较100+98与299的大小．
【答案】(1)5；6−29
(2)2−23>−3；
(3)100+98<299．
【分析】（1）首先估算出5<29<6，得到29的整数部分是5；推出−6<−29<−5，得到1<7−29<2，据此即可求解；
（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；
（3）根据“比差法”比较得100+98−299=100−99−99−98再得到100−99100+99100+99−99−9899+9899+98，根据a+ba−b=a2−b2，化简比较即可求解．
【详解】（1）解：∵5<29<6，
∴29的整数部分是5；
∴−6<−29<−5，
∴1<7−29<2，
∴7−29的整数部分是1，则7−29的小数部分是7−29−1=6−29，
故答案为：5；6−29；
（2）解：2−23−−3=5−23=25−23>0，
∴2−23>−3；
（3）解：100+98−299=100−99−99−98
=100−99100+99100+99−99−9899+9899+98
=1100+99−199+98
∵100+99>99+98，
∴1100+99−199+98<0，
∴100+98<299．
【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
【题型8 实数与数轴综合运用】
【例8】（2023秋·河北邯郸·八年级校考期中）已知2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分不可能全部写出来，但由于1<2<2，所以2的整数部分为1，将2减去其整数部分1，差即小数部分2−1．根据所获得的信息，解答下列问题．

(1)7的整数部分是__________，小数部分是__________；
(2)若4+3的整数部分是x，小数部分是y．
①填空：y=__________；
②如图，若面积为x的正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和表示−1的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点A，求点A表示的数．
【答案】(1)2，7−2
(2)①3−1；②−1+5
【分析】（1）根据无理数的估算可得2<7<3，由此即可得；
（2）①先根据无理数的估算可得1<3<2，从而可得5<4+3<6，由此即可得；
②先求出x=5，再求出正方形的边长为5，然后根据数轴的性质即可得．
【详解】（1）解：∵4<7<9，
∴2<7<3，
则7的整数部分是2，小数部分是7−2，
故答案为：2，7−2．
（2）解：①∵1<3<4，
∴1<3<2，
∴5<4+3<6，
∴4+3的小数部分y=4+3−5=3−1，
故答案为：3−1；
②由（2）①可知，4+3的整数部分x=5，
∴这个正方形的边长为5，
∵正方形的一个顶点和表示−1的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点A，
∴点A表示的数为−1+5．
【点睛】本题考查了无理数的估算、实数与数轴、算术平方根，熟练掌握无理数的估算是解题关键．
【变式8-1】（2023春·江西上饶·八年级校联考期中）如图，半径为1的圆上有一点P落在数轴上表示−1的点处，若将圆沿数轴向左滚动一周后，点P所处的位置在两个连续的整数m，n之间，则m+n的值为 ．

【答案】−15
【分析】根据圆的周长公式算出P点在数轴上移动的长度，向左移动，原数减去移动的长度即可得到点P新位置表示的数．从而分析在哪两个数之间，进而求出答案．
【详解】解：2π×1≈6.28，
−1−6.28=−7.28，
−7.28在−7和−8之间，
∴m+n=−7−8=−15，
故答案为：−15．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟知实数与数轴上各点一一对应．明确点P新位置表示的数是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·云南曲靖·八年级校考期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：3b3−a2−b+c+(a−b−c)2= ．
【答案】b
【分析】根据数轴可知a0，a−b−c<0，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．
【详解】根据数轴可知a0，a−b−c<0，
3b3−a2−b+c+(a−b−c)2
=b+a−b+c−a−b−c
=b+a−b−c−a+b+c
=b
故答案为：b．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴得出数与0的大小关系是解题的关键．
【变式8-3】（2023秋·浙江衢州·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点B表示的数为−1，正方形ABCD的面积为16．图中阴影部分为正方形．

(1)数轴上点A表示的数为___________；
(2)求图中阴影部分的面积是多少？
(3)阴影部分正方形的边长是多少？并在数轴上表示出点E，使点E表示的数为该正方形的边长．
【答案】(1)−5
(2)10
(3)10，在数轴上表示见解析
【分析】（1）由题意可知AB=4，由图可知点A在点B左侧，进而可知点A表示的数为−1−4=−5；
（2）用正方形ABCD的面积减去周围三个直角三角形的面积即可求解；
（3）由阴影部分的面积即可求得边长，以原点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于一点即可求解．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∵数轴上点B表示的数为−1，由图可知点A在点B左侧，
∴点A表示的数为−1−4=−5，
故答案为：−5；
（2）解：图中阴影部分的面积=16−12×3×1×4=10；
（3）解：∵图中阴影部分的面积10，
∴阴影部分正方形的边长是10，

以原点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于一点E，如图所示，该点即为所求．
【点睛】本题考查在数轴上表示数，在数轴表示无理数的点，掌握无理数在数轴的表示方法是解决问题的关键．
【题型9 二次根式的混合运算】
【例9】（2023春·四川广安·八年级校考期中）计算：
(1)9145÷3235×12223；
(2)(6−1332−1224)×(−26)．
【答案】(1)223
(2)2
【分析】（1）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可；
（2）先根据乘法分配律展开，再计算二次根式的乘法最后计算加减即可．
【详解】（1）9145÷3235×12223
=9×23×12×145×53×83
=3881
=3×229
=223
（2）(6−1332−1224)×(−26)
=−6×26+23×32×6+24×6
=−12+2+12
=2
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
【变式9-1】（2023春·上海·八年级校考期末）计算：12+23−1−413−2+3117÷22×328．
【答案】53213−1
【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.
【详解】12+23−1−413−2+3117÷22×328
=23+(3+1)−433−2+(3×2)87×12×328
=23+3+1−433−2+673
=53213−1.
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
【变式9-2】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算．
(1)5−3+2 5−3−2；
(2)54−11 −411−7 −23+7；
【答案】(1)6−215
(2)1
【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式计算；
（2）先进行分母有理化，再进行加减运算．
【详解】（1）解：5−3+2 5−3−2
=5−32−22
=5−215+3−2
=6−215
（2）解：54−11 −411−7 −23+7
=54+1116−11−411+711−7−23−79−7
=4+11−11+7−3−7
=4+11−11−7−3+7
=1
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式、完全平方公式等，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法．
【变式9-3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算
(1)(a2nm−abmmn+nmmn)÷a2b2nm；
(2)(a+b−aba+b)÷(aab+b+bab−a−a+bab)（a≠b）．
【答案】(1)a2−ab+1a2b2
(2)−a+b
【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：(a2nm−abmmn+nmmn)÷a2b2nm
=(a2nm−abmmn+nmmn)⋅1a2b2mn
＝1b2nm⋅mn−1mabmn⋅mn+nma2b2mn⋅mn
＝1b2－1ab＋1a2b2
=a2−ab+1a2b2．
（2）解：(a+b−aba+b)÷(aab+b+bab−a−a+bab)
=a+ab+b−aba+b÷aa(a−b)−bb(a+b)−(a+b)(a−b)ab(a+b)(a−b)
=a+ba+b÷a2−aab−bab−b2−a2+b2ab(a+b)(a−b)
=a+ba+b÷−ab(a+b)ab(a+b)(a−b)
＝a+ba+b·ab(a−b)(a+b)−ab(a+b)
=−a+b．
【点睛】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．
【题型10 二次根式的化简求值】
【例10】（2023春·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：x−yx−y+x+y+2xyx+y，其中x=3,y=13.
【答案】2x+2y，833
【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．
【详解】解：原式=(x−y)(x+y)x−y+(x+y)2x+y
=x+y+x+y
=2x+2y
当x=3,y=13时，
原式=23+213
=23+233
=833
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．
【变式10-1】（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）已知x+1x=3，且0【答案】5+12．
【分析】利用题目给的x+1x求出x−1x，再把它们相乘得到x−1x，再对原式进行变形凑出x−1x的形式进行计算．
【详解】∵x+1x=3，
∴x+1x2=x+2+1x=32=9，
∴x+1x=7，
∴x−1x2=x−2+1x=7−2=5，
∵0∴x−1x=−5，
∴x+1xx−1x=x−1x=−35，
∴原式=6x+9−1x=69−35=23−5
=6+254=5+25+14=(5+1)24
=5+12．
故答案是：5+12．
【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．
【变式10-2】（2023春·广西南宁·八年级统考期中）先化简，再求值4525x+9x9−2x2⋅1x3，其中x=12.
【答案】5x,522
【分析】先把二次根式为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值即可．
【详解】解：4525x+9x9−2x2⋅1x3
=45×5x+9×13x−2x2⋅1x2⋅x
=4x+3x−2x
=5x
把x=12代入5x，得522
∴当x=12时，原式的值为522
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握把二次根式为最简二次根式是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·湖北武汉·八年级华师一附中初中部校考期中）已知x＝12020−2019，则x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020的值为（ ）
A．0B．1C．2019D．2020
【答案】C
【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．
【详解】∵x=12020−2019=2020+2019，
∴x6−22019x5−x4+x3−22020x2+2x−2020，
=x5x−22019−x4+x2x−22020+2x−2020，
=x52020+2019−22019−x4+x22020+2019−22020+2x−2020，
=x52020−2019−x4+x22019−2020+2x−2020，
=x4x2020−2019−1+x22019−2020+2x−2020，
=x2020+20192019−2020+2x−2020
=−x+2x−2020，
=x−2020，
=2019，
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，对所求式子进行变形，反复代入x的值即可解决.
【题型11 利用二次根式的性质化简】
【例11】（2023春·山东威海·八年级统考期末）已知a>b，则aa−b−b−a2a的化简结果是 ．
【答案】−−a
【分析】先根据被开方数为非负数，得出a<0，再根据a>b得出b−a<0，a−b>0，最后根据二次根式的运算法则进行化简即可．
【详解】解：∵−b−a2a有意义，a>b
∴−b−a2a>0，b−a<0
∵b−a2>0,a≠0，
∴a<0，
∴aa−b−b−a2a=aa−b⋅−1a⋅b−a2
=aa−b⋅b−a⋅−1a
=aa−b⋅a−b⋅−1a
=a−1a
=−−a−1a
=−−a2−1a
=−−1a⋅−a2
=−−a．
故答案为：−−a．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和性质，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，以及二次根式的运算法则．
【变式11-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若xy<0，则x2y化简后的结果是（ ）
A．xyB．x−yC．−x−yD．−xy
【答案】D
【分析】根据x2y有意义可得y≥0，再结合x<0，化简x2y．
【详解】解：∵x2y有意义，
∴y≥0，
∵xy<0
∴x<0，
∴x2y =xy=−xy，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由x<0得到x=−x是解题的关键．
【变式11-2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）化简(3−a)2+(a−3)2的结果是（ ）
A．0B．−2a+6C．2a−6D．2a+6
【答案】B
【分析】由二次根式有意义，可知3−a≥0，从而可判断a−3≤0，化简后，相加，即可得出结果．
【详解】解：∵3−a≥0，
∴a≤3，
∴a−3≤0，
∴(3−a)2+(a−3)2=3−a+3−a=−2a+6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和化简，利用a2=a(a≥0)这一性质是解题的关键．
【变式11-3】（2023春·安徽池州·八年级统考期末）代数式1−a2+3−a2的值为常数2，则a的取值范围是（ ）
A．a≥3B．a≤1C．1≤a≤3D．a=1或a=3
【答案】C
【分析】分a<1，1≤a≤3，a>3三种情况讨论即可．
【详解】解：1−a2+3−a2=1−a+3−a
当a<1时，原式=1−a+3−a=4−2a，
由题意得4−2a=2，
解得a=1，不符合题意，舍去；
当1≤a≤3时，原式=a−1+3−a=2，
当a>3时，原式=a−1+a−1=2a−4，
由题意得2a−4=2，
解得a=3，不符合题意，舍去；
综上，a的取值范围是1≤a≤3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握a2=a是解题的关键．
【题型12 求二次根式中的参数值】
【例12】（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）已知18x+2x2+2x=m，若x的值为整数，则m的值可能为（ ）
A．10B．8C．4D．−25
【答案】A
【分析】由18x+2x2+2x=m，可得32x+2x+2x=m，即52x=m，由x的值为整数，可知m是5的倍数，且为正值，然后进行作答即可．
【详解】解：∵18x+2x2+2x=m，
∴32x+2x+2x=m，即52x=m，
∵x的值为整数，
∴m是5的倍数，且为正值，
∴m的值可能为10，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
【变式12-1】（2023春·湖北十堰·八年级统考期中）已知18−m是整数，则自然数m的所有可能值的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．无数个
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，求出m的取值范围，再根据18−m是整数，即可得出答案．
【详解】解：∵18-m≥0，
∴m≤18，
∵m为自然数，
∴0≤m≤18，
∵18−m是整数，
∴当18-m=0时，m=18；
当18-m=1时，m=17；
当18-m=4时，m=14；
当18-m=9时，m=9；
当18-m=16时，m=2；
∴自然数m的所有可能值的个数为5个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式12-2】（2023春·江西宜春·八年级校联考阶段练习）若二次根式16−2a有意义，且x2+(a−2)x+25是一个完全平方式，则满足条件的a值为（ ）
A．±12B．±8C．12D．−8
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，可得a的取值范围，根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：二次根式16−2a有意义，
∴16−2a≥0，即a≤8，
又∵x2+(a−2)x+25是一个完全平方式，即x2+(a−2)x+52或x2+(a−2)x+(−5)2，
∴a−2=2×5=10或a−2=2×(−5)=−10，
∴a=12或a=−8，且a≤8，
故选：D.
【点睛】本题主要考查二次根式有意义，完全平方公式的综合应用，掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式的中一次项系数的确定方法是解题的关键.
【变式12-3】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）若a+43=m+n32，且a，m，n均为正整数，则a的值为 ．
【答案】13或7
【分析】先利用完全平方公式将m+n32展开，再等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．
【详解】解：∵a+43=(m+n3)2=m2+3n2+23mn，
∴a=m2+3n2，2mn=4，
∵m、n均为正整数，
∴m=1，n=2，或m=2，n=1，
当m=1，n=2时，a=12+3×22=13；
当m=2，n=1时，a=22+3×12=7，
故答案为：13或7．
【点睛】本题考查完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用是解答的关键．